Theorem usgrop 15980

Description: A simple graph represented by an ordered pair. (Contributed by AV, 23-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 30-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
usgrop	|- ( G e. USGraph -> <. (Vtx ` G ) , (iEdg ` G ) >. e. USGraph )

Proof of Theorem usgrop

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
2		eqid 2229	. . 3 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
3	1, 2	usgrfen 15974	. 2 |- ( G e. USGraph -> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | x ~~ 2o } )
4		vtxex 15835	. . 3 |- ( G e. USGraph -> (Vtx ` G ) e. _V )
5		iedgex 15836	. . 3 |- ( G e. USGraph -> (iEdg ` G ) e. _V )
6		isusgropen 15979	. . 3 |- ( ( (Vtx ` G ) e. _V /\ (iEdg ` G ) e. _V ) -> ( <. (Vtx ` G ) , (iEdg ` G ) >. e. USGraph <-> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | x ~~ 2o } ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( G e. USGraph -> ( <. (Vtx ` G ) , (iEdg ` G ) >. e. USGraph <-> (iEdg ` G ) : dom (iEdg ` G ) -1-1-> { x e. ~P (Vtx ` G ) | x ~~ 2o } ) )
8	3, 7	mpbird 167	1 |- ( G e. USGraph -> <. (Vtx ` G ) , (iEdg ` G ) >. e. USGraph )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2200   {crab 2512   _Vcvv 2799   ~Pcpw 3649   <.cop 3669   class class class wbr 4083   dom cdm 4719   -1-1->wf1 5315   ` cfv 5318   2oc2o 6562   ~~ cen 6893  Vtxcvtx 15829  iEdgciedg 15830  USGraphcusgr 15968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-sub 8330  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-dec 9590  df-ndx 13051  df-slot 13052  df-base 13054  df-edgf 15822  df-vtx 15831  df-iedg 15832  df-usgren 15970

This theorem is referenced by: (None)