Theorem vtxex 16271

Description: Applying the vertex function yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
vtxex	|- ( G e. V -> (Vtx ` G ) e. _V )

Proof of Theorem vtxex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxvalg 16269	. 2 |- ( G e. V -> (Vtx ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` G ) , ( Base ` G ) ) )
2		1stexg 6401	. . 3 |- ( G e. V -> ( 1st ` G ) e. _V )
3		basfn 13413	. . . 4 |- Base Fn _V
4		elex 2833	. . . 4 |- ( G e. V -> G e. _V )
5		funfvex 5712	. . . . 5 |- ( ( Fun Base /\ G e. dom Base ) -> ( Base ` G ) e. _V )
6	5	funfni 5483	. . . 4 |- ( ( Base Fn _V /\ G e. _V ) -> ( Base ` G ) e. _V )
7	3, 4, 6	sylancr 418	. . 3 |- ( G e. V -> ( Base ` G ) e. _V )
8	2, 7	ifexd 4630	. 2 |- ( G e. V -> if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` G ) , ( Base ` G ) ) e. _V )
9	1, 8	eqeltrd 2315	1 |- ( G e. V -> (Vtx ` G ) e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   ifcif 3638   X. cxp 4772   Fn wfn 5372   ` cfv 5377   1stc1st 6372   Basecbs 13354  Vtxcvtx 16265

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fo 5383  df-fv 5385  df-1st 6374  df-inn 9306  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-vtx 16267

This theorem is used by:  isuhgrm  16324  isushgrm  16325  uhgrunop  16340  incistruhgr  16343  isupgren  16348  upgrop  16357  isumgren  16358  upgrunop  16380  umgrunop  16382  isuspgren  16410  isusgren  16411  usgrop  16419  usgrausgrien  16422  ausgrumgrien  16423  ausgrusgrien  16424  usgredg2v  16477  usgriedgdomord  16478  uspgredgdomord  16482  uhgrspanop  16535  upgrspanop  16536  umgrspanop  16537  usgrspanop  16538  vtxdgfval  16541  vtxdgop  16545  wksfval  16575  wlkex  16578  clwwlkg  16646  clwwlkex  16651  clwwlknonmpo  16681  eupthvdres  16728