Theorem vtxex 15872

Description: Applying the vertex function yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
vtxex	|- ( G e. V -> (Vtx ` G ) e. _V )

Proof of Theorem vtxex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxvalg 15870	. 2 |- ( G e. V -> (Vtx ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` G ) , ( Base ` G ) ) )
2		1stexg 6330	. . 3 |- ( G e. V -> ( 1st ` G ) e. _V )
3		basfn 13143	. . . 4 |- Base Fn _V
4		elex 2814	. . . 4 |- ( G e. V -> G e. _V )
5		funfvex 5656	. . . . 5 |- ( ( Fun Base /\ G e. dom Base ) -> ( Base ` G ) e. _V )
6	5	funfni 5432	. . . 4 |- ( ( Base Fn _V /\ G e. _V ) -> ( Base ` G ) e. _V )
7	3, 4, 6	sylancr 414	. . 3 |- ( G e. V -> ( Base ` G ) e. _V )
8	2, 7	ifexd 4581	. 2 |- ( G e. V -> if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` G ) , ( Base ` G ) ) e. _V )
9	1, 8	eqeltrd 2308	1 |- ( G e. V -> (Vtx ` G ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   ifcif 3605   X. cxp 4723   Fn wfn 5321   ` cfv 5326   1stc1st 6301   Basecbs 13084  Vtxcvtx 15866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fo 5332  df-fv 5334  df-1st 6303  df-inn 9144  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-vtx 15868

This theorem is referenced by:  isuhgrm  15925  isushgrm  15926  uhgrunop  15941  incistruhgr  15944  isupgren  15949  upgrop  15958  isumgren  15959  upgrunop  15981  umgrunop  15983  isuspgren  16011  isusgren  16012  usgrop  16020  usgrausgrien  16023  ausgrumgrien  16024  ausgrusgrien  16025  usgredg2v  16078  usgriedgdomord  16079  uspgredgdomord  16083  uhgrspanop  16136  upgrspanop  16137  umgrspanop  16138  usgrspanop  16139  vtxdgfval  16142  vtxdgop  16146  wksfval  16176  wlkex  16179  clwwlkg  16247  clwwlkex  16252  clwwlknonmpo  16282  eupthvdres  16329