Theorem vtxex 16381

Description: Applying the vertex function yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
vtxex	|- ( G e. V -> (Vtx ` G ) e. _V )

Proof of Theorem vtxex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxvalg 16379	. 2 |- ( G e. V -> (Vtx ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` G ) , ( Base ` G ) ) )
2		1stexg 6401	. . 3 |- ( G e. V -> ( 1st ` G ) e. _V )
3		basfn 13462	. . . 4 |- Base Fn _V
4		elex 2833	. . . 4 |- ( G e. V -> G e. _V )
5		funfvex 5712	. . . . 5 |- ( ( Fun Base /\ G e. dom Base ) -> ( Base ` G ) e. _V )
6	5	funfni 5483	. . . 4 |- ( ( Base Fn _V /\ G e. _V ) -> ( Base ` G ) e. _V )
7	3, 4, 6	sylancr 418	. . 3 |- ( G e. V -> ( Base ` G ) e. _V )
8	2, 7	ifexd 4630	. 2 |- ( G e. V -> if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` G ) , ( Base ` G ) ) e. _V )
9	1, 8	eqeltrd 2315	1 |- ( G e. V -> (Vtx ` G ) e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   ifcif 3638   X. cxp 4772   Fn wfn 5372   ` cfv 5377   1stc1st 6372   Basecbs 13403  Vtxcvtx 16375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fo 5383  df-fv 5385  df-1st 6374  df-inn 9308  df-ndx 13406  df-slot 13407  df-base 13409  df-vtx 16377

This theorem is used by:  isuhgrm  16434  isushgrm  16435  uhgrunop  16450  incistruhgr  16453  isupgren  16458  upgrop  16467  isumgren  16468  upgrunop  16490  umgrunop  16492  isuspgren  16520  isusgren  16521  usgrop  16529  usgrausgrien  16532  ausgrumgrien  16533  ausgrusgrien  16534  usgredg2v  16587  usgriedgdomord  16588  uspgredgdomord  16592  uhgrspanop  16645  upgrspanop  16646  umgrspanop  16647  usgrspanop  16648  vtxdgfval  16651  vtxdgop  16655  wksfval  16685  wlkex  16688  clwwlkg  16756  clwwlkex  16761  clwwlknonmpo  16791  eupthvdres  16838