Theorem vtxex 15835

Description: Applying the vertex function yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
vtxex	|- ( G e. V -> (Vtx ` G ) e. _V )

Proof of Theorem vtxex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxvalg 15833	. 2 |- ( G e. V -> (Vtx ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` G ) , ( Base ` G ) ) )
2		1stexg 6319	. . 3 |- ( G e. V -> ( 1st ` G ) e. _V )
3		basfn 13107	. . . 4 |- Base Fn _V
4		elex 2811	. . . 4 |- ( G e. V -> G e. _V )
5		funfvex 5646	. . . . 5 |- ( ( Fun Base /\ G e. dom Base ) -> ( Base ` G ) e. _V )
6	5	funfni 5423	. . . 4 |- ( ( Base Fn _V /\ G e. _V ) -> ( Base ` G ) e. _V )
7	3, 4, 6	sylancr 414	. . 3 |- ( G e. V -> ( Base ` G ) e. _V )
8	2, 7	ifexd 4575	. 2 |- ( G e. V -> if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` G ) , ( Base ` G ) ) e. _V )
9	1, 8	eqeltrd 2306	1 |- ( G e. V -> (Vtx ` G ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   ifcif 3602   X. cxp 4717   Fn wfn 5313   ` cfv 5318   1stc1st 6290   Basecbs 13048  Vtxcvtx 15829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fo 5324  df-fv 5326  df-1st 6292  df-inn 9122  df-ndx 13051  df-slot 13052  df-base 13054  df-vtx 15831

This theorem is referenced by:  isuhgrm  15887  isushgrm  15888  uhgrunop  15903  incistruhgr  15906  isupgren  15911  upgrop  15920  isumgren  15921  upgrunop  15941  umgrunop  15943  isuspgren  15971  isusgren  15972  usgrop  15980  usgrausgrien  15983  ausgrumgrien  15984  ausgrusgrien  15985  usgredg2v  16038  usgriedgdomord  16039  uspgredgdomord  16043  vtxdgfval  16048  vtxdgop  16052  wksfval  16068  wlkex  16071  clwwlkg  16136  clwwlkex  16141