Theorem uspgredgiedg 16190

Description: In a simple pseudograph, for each edge there is exactly one indexed edge. (Contributed by AV, 20-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgredgiedg.e	|- E = (Edg ` G )
uspgredgiedg.i	|- I = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
uspgredgiedg	|- ( ( G e. USPGraph /\ K e. E ) -> E! x e. dom I K = ( I ` x ) )

Distinct variable groups:   x, E   x, I   x, K

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem uspgredgiedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgredgiedg.i	. . . . 5 |- I = (iEdg ` G )
2	1	uspgrf1oedg 16188	. . . 4 |- ( G e. USPGraph -> I : dom I -1-1-onto-> (Edg ` G ) )
3		uspgredgiedg.e	. . . . 5 |- E = (Edg ` G )
4		f1oeq3 5606	. . . . 5 |- ( E = (Edg ` G ) -> ( I : dom I -1-1-onto-> E <-> I : dom I -1-1-onto-> (Edg ` G ) ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- ( I : dom I -1-1-onto-> E <-> I : dom I -1-1-onto-> (Edg ` G ) )
6	2, 5	sylibr 134	. . 3 |- ( G e. USPGraph -> I : dom I -1-1-onto-> E )
7		f1ofveu 6040	. . 3 |- ( ( I : dom I -1-1-onto-> E /\ K e. E ) -> E! x e. dom I ( I ` x ) = K )
8	6, 7	sylan 283	. 2 |- ( ( G e. USPGraph /\ K e. E ) -> E! x e. dom I ( I ` x ) = K )
9		eqcom 2236	. . 3 |- ( K = ( I ` x ) <-> ( I ` x ) = K )
10	9	reubii 2733	. 2 |- ( E! x e. dom I K = ( I ` x ) <-> E! x e. dom I ( I ` x ) = K )
11	8, 10	sylibr 134	1 |- ( ( G e. USPGraph /\ K e. E ) -> E! x e. dom I K = ( I ` x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   E!wreu 2524   dom cdm 4751   -1-1-onto->wf1o 5353   ` cfv 5354  iEdgciedg 16025  Edgcedg 16069  USPGraphcuspgr 16165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-sub 8448  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-7 9303  df-8 9304  df-9 9305  df-n0 9499  df-dec 9713  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-edgf 16017  df-vtx 16026  df-iedg 16027  df-edg 16070  df-uspgren 16167

This theorem is referenced by: (None)