Theorem uspgredgiedg 15976

Description: In a simple pseudograph, for each edge there is exactly one indexed edge. (Contributed by AV, 20-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgredgiedg.e	|- E = (Edg ` G )
uspgredgiedg.i	|- I = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
uspgredgiedg	|- ( ( G e. USPGraph /\ K e. E ) -> E! x e. dom I K = ( I ` x ) )

Distinct variable groups:   x, E   x, I   x, K

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem uspgredgiedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgredgiedg.i	. . . . 5 |- I = (iEdg ` G )
2	1	uspgrf1oedg 15974	. . . 4 |- ( G e. USPGraph -> I : dom I -1-1-onto-> (Edg ` G ) )
3		uspgredgiedg.e	. . . . 5 |- E = (Edg ` G )
4		f1oeq3 5562	. . . . 5 |- ( E = (Edg ` G ) -> ( I : dom I -1-1-onto-> E <-> I : dom I -1-1-onto-> (Edg ` G ) ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- ( I : dom I -1-1-onto-> E <-> I : dom I -1-1-onto-> (Edg ` G ) )
6	2, 5	sylibr 134	. . 3 |- ( G e. USPGraph -> I : dom I -1-1-onto-> E )
7		f1ofveu 5989	. . 3 |- ( ( I : dom I -1-1-onto-> E /\ K e. E ) -> E! x e. dom I ( I ` x ) = K )
8	6, 7	sylan 283	. 2 |- ( ( G e. USPGraph /\ K e. E ) -> E! x e. dom I ( I ` x ) = K )
9		eqcom 2231	. . 3 |- ( K = ( I ` x ) <-> ( I ` x ) = K )
10	9	reubii 2718	. 2 |- ( E! x e. dom I K = ( I ` x ) <-> E! x e. dom I ( I ` x ) = K )
11	8, 10	sylibr 134	1 |- ( ( G e. USPGraph /\ K e. E ) -> E! x e. dom I K = ( I ` x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   E!wreu 2510   dom cdm 4719   -1-1-onto->wf1o 5317   ` cfv 5318  iEdgciedg 15814  Edgcedg 15858  USPGraphcuspgr 15951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-sub 8319  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-7 9174  df-8 9175  df-9 9176  df-n0 9370  df-dec 9579  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-edgf 15806  df-vtx 15815  df-iedg 15816  df-edg 15859  df-uspgren 15953

This theorem is referenced by: (None)