Theorem uspgredgiedg 16022

Description: In a simple pseudograph, for each edge there is exactly one indexed edge. (Contributed by AV, 20-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgredgiedg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
uspgredgiedg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
uspgredgiedg	⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝐸) → ∃!𝑥 ∈ dom 𝐼 𝐾 = (𝐼‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem uspgredgiedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgredgiedg.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	uspgrf1oedg 16020	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→(Edg‘𝐺))
3		uspgredgiedg.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4		f1oeq3 5570	. . . . 5 ⊢ (𝐸 = (Edg‘𝐺) → (𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→𝐸 ↔ 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→(Edg‘𝐺)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→𝐸 ↔ 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→(Edg‘𝐺))
6	2, 5	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→𝐸)
7		f1ofveu 6001	. . 3 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→𝐸 ∧ 𝐾 ∈ 𝐸) → ∃!𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼‘𝑥) = 𝐾)
8	6, 7	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝐸) → ∃!𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼‘𝑥) = 𝐾)
9		eqcom 2231	. . 3 ⊢ (𝐾 = (𝐼‘𝑥) ↔ (𝐼‘𝑥) = 𝐾)
10	9	reubii 2718	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ dom 𝐼 𝐾 = (𝐼‘𝑥) ↔ ∃!𝑥 ∈ dom 𝐼(𝐼‘𝑥) = 𝐾)
11	8, 10	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝐾 ∈ 𝐸) → ∃!𝑥 ∈ dom 𝐼 𝐾 = (𝐼‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃!wreu 2510  dom cdm 4723  –1-1-onto→wf1o 5323  ‘cfv 5324  iEdgciedg 15857  Edgcedg 15901  USPGraphcuspgr 15997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-sub 8345  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-dec 9605  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-edgf 15849  df-vtx 15858  df-iedg 15859  df-edg 15902  df-uspgren 15999

This theorem is referenced by: (None)