Theorem uz3m2nn 9780

Description: An integer greater than or equal to 3 decreased by 2 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
uz3m2nn	|- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( N - 2 ) e. NN )

Proof of Theorem uz3m2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9739	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> ( 3 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 3 <_ N ) )
2		2lt3 9292	. . . . . 6 |- 2 < 3
3		2re 9191	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
4	3	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> 2 e. RR )
5		3re 9195	. . . . . . . 8 |- 3 e. RR
6	5	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> 3 e. RR )
7		zre 9461	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
8		ltletr 8247	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. RR /\ 3 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 2 < 3 /\ 3 <_ N ) -> 2 < N ) )
9	4, 6, 7, 8	syl3anc 1271	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 < 3 /\ 3 <_ N ) -> 2 < N ) )
10	2, 9	mpani 430	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 3 <_ N -> 2 < N ) )
11	10	imp 124	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 3 <_ N ) -> 2 < N )
12	11	3adant1 1039	. . 3 |- ( ( 3 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 3 <_ N ) -> 2 < N )
13	1, 12	sylbi 121	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 2 < N )
14		2nn 9283	. . 3 |- 2 e. NN
15		eluzge3nn 9779	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> N e. NN )
16		nnsub 9160	. . 3 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 < N <-> ( N - 2 ) e. NN ) )
17	14, 15, 16	sylancr 414	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 2 < N <-> ( N - 2 ) e. NN ) )
18	13, 17	mpbid 147	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( N - 2 ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   RRcr 8009   < clt 8192   <_ cle 8193   - cmin 8328   NNcn 9121   2c2 9172   3c3 9173   ZZcz 9457   ZZ>=cuz 9733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-z 9458  df-uz 9734

This theorem is referenced by: (None)