Theorem uz3m2nn 9729

Description: An integer greater than or equal to 3 decreased by 2 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
uz3m2nn	|- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( N - 2 ) e. NN )

Proof of Theorem uz3m2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9689	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> ( 3 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 3 <_ N ) )
2		2lt3 9242	. . . . . 6 |- 2 < 3
3		2re 9141	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
4	3	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> 2 e. RR )
5		3re 9145	. . . . . . . 8 |- 3 e. RR
6	5	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> 3 e. RR )
7		zre 9411	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
8		ltletr 8197	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. RR /\ 3 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 2 < 3 /\ 3 <_ N ) -> 2 < N ) )
9	4, 6, 7, 8	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 < 3 /\ 3 <_ N ) -> 2 < N ) )
10	2, 9	mpani 430	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 3 <_ N -> 2 < N ) )
11	10	imp 124	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 3 <_ N ) -> 2 < N )
12	11	3adant1 1018	. . 3 |- ( ( 3 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 3 <_ N ) -> 2 < N )
13	1, 12	sylbi 121	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 2 < N )
14		2nn 9233	. . 3 |- 2 e. NN
15		eluzge3nn 9728	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> N e. NN )
16		nnsub 9110	. . 3 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 < N <-> ( N - 2 ) e. NN ) )
17	14, 15, 16	sylancr 414	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 2 < N <-> ( N - 2 ) e. NN ) )
18	13, 17	mpbid 147	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( N - 2 ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   RRcr 7959   < clt 8142   <_ cle 8143   - cmin 8278   NNcn 9071   2c2 9122   3c3 9123   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-z 9408  df-uz 9684

This theorem is referenced by: (None)