Theorem uz3m2nn 9575

Description: An integer greater than or equal to 3 decreased by 2 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
uz3m2nn	|- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( N - 2 ) e. NN )

Proof of Theorem uz3m2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9536	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> ( 3 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 3 <_ N ) )
2		2lt3 9091	. . . . . 6 |- 2 < 3
3		2re 8991	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
4	3	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> 2 e. RR )
5		3re 8995	. . . . . . . 8 |- 3 e. RR
6	5	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> 3 e. RR )
7		zre 9259	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
8		ltletr 8049	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. RR /\ 3 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 2 < 3 /\ 3 <_ N ) -> 2 < N ) )
9	4, 6, 7, 8	syl3anc 1238	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 < 3 /\ 3 <_ N ) -> 2 < N ) )
10	2, 9	mpani 430	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 3 <_ N -> 2 < N ) )
11	10	imp 124	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 3 <_ N ) -> 2 < N )
12	11	3adant1 1015	. . 3 |- ( ( 3 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 3 <_ N ) -> 2 < N )
13	1, 12	sylbi 121	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 2 < N )
14		2nn 9082	. . 3 |- 2 e. NN
15		eluzge3nn 9574	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> N e. NN )
16		nnsub 8960	. . 3 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 < N <-> ( N - 2 ) e. NN ) )
17	14, 15, 16	sylancr 414	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 2 < N <-> ( N - 2 ) e. NN ) )
18	13, 17	mpbid 147	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( N - 2 ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   RRcr 7812   < clt 7994   <_ cle 7995   - cmin 8130   NNcn 8921   2c2 8972   3c3 8973   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-z 9256  df-uz 9531

This theorem is referenced by: (None)