Theorem uz3m2nn 9395

Description: An integer greater than or equal to 3 decreased by 2 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
uz3m2nn	|- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( N - 2 ) e. NN )

Proof of Theorem uz3m2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9356	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> ( 3 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 3 <_ N ) )
2		2lt3 8914	. . . . . 6 |- 2 < 3
3		2re 8814	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
4	3	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> 2 e. RR )
5		3re 8818	. . . . . . . 8 |- 3 e. RR
6	5	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> 3 e. RR )
7		zre 9082	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
8		ltletr 7877	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. RR /\ 3 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 2 < 3 /\ 3 <_ N ) -> 2 < N ) )
9	4, 6, 7, 8	syl3anc 1217	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 < 3 /\ 3 <_ N ) -> 2 < N ) )
10	2, 9	mpani 427	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 3 <_ N -> 2 < N ) )
11	10	imp 123	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 3 <_ N ) -> 2 < N )
12	11	3adant1 1000	. . 3 |- ( ( 3 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 3 <_ N ) -> 2 < N )
13	1, 12	sylbi 120	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 2 < N )
14		2nn 8905	. . 3 |- 2 e. NN
15		eluzge3nn 9394	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> N e. NN )
16		nnsub 8783	. . 3 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 < N <-> ( N - 2 ) e. NN ) )
17	14, 15, 16	sylancr 411	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 2 < N <-> ( N - 2 ) e. NN ) )
18	13, 17	mpbid 146	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( N - 2 ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   RRcr 7643   < clt 7824   <_ cle 7825   - cmin 7957   NNcn 8744   2c2 8795   3c3 8796   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-z 9079  df-uz 9351

This theorem is referenced by: (None)