Theorem uz3m2nn 9638

Description: An integer greater than or equal to 3 decreased by 2 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
uz3m2nn	|- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( N - 2 ) e. NN )

Proof of Theorem uz3m2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9598	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> ( 3 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 3 <_ N ) )
2		2lt3 9152	. . . . . 6 |- 2 < 3
3		2re 9052	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
4	3	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> 2 e. RR )
5		3re 9056	. . . . . . . 8 |- 3 e. RR
6	5	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> 3 e. RR )
7		zre 9321	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
8		ltletr 8109	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. RR /\ 3 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 2 < 3 /\ 3 <_ N ) -> 2 < N ) )
9	4, 6, 7, 8	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 < 3 /\ 3 <_ N ) -> 2 < N ) )
10	2, 9	mpani 430	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 3 <_ N -> 2 < N ) )
11	10	imp 124	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 3 <_ N ) -> 2 < N )
12	11	3adant1 1017	. . 3 |- ( ( 3 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 3 <_ N ) -> 2 < N )
13	1, 12	sylbi 121	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 2 < N )
14		2nn 9143	. . 3 |- 2 e. NN
15		eluzge3nn 9637	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> N e. NN )
16		nnsub 9021	. . 3 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 < N <-> ( N - 2 ) e. NN ) )
17	14, 15, 16	sylancr 414	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 2 < N <-> ( N - 2 ) e. NN ) )
18	13, 17	mpbid 147	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( N - 2 ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2164   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   RRcr 7871   < clt 8054   <_ cle 8055   - cmin 8190   NNcn 8982   2c2 9033   3c3 9034   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-z 9318  df-uz 9593

This theorem is referenced by: (None)