ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uz3m2nn GIF version

Theorem uz3m2nn 9375
Description: An integer greater than or equal to 3 decreased by 2 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
uz3m2nn (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)

Proof of Theorem uz3m2nn
StepHypRef Expression
1 eluz2 9339 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁))
2 2lt3 8897 . . . . . 6 2 < 3
3 2re 8797 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
43a1i 9 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
5 3re 8801 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
65a1i 9 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
7 zre 9065 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8 ltletr 7860 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((2 < 3 ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁))
94, 6, 7, 8syl3anc 1216 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 < 3 ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁))
102, 9mpani 426 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 → 2 < 𝑁))
1110imp 123 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁)
12113adant1 999 . . 3 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁)
131, 12sylbi 120 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 < 𝑁)
14 2nn 8888 . . 3 2 ∈ ℕ
15 eluzge3nn 9374 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
16 nnsub 8766 . . 3 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℕ))
1714, 15, 16sylancr 410 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (2 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℕ))
1813, 17mpbid 146 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 962  wcel 1480   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  cr 7626   < clt 7807  cle 7808  cmin 7940  cn 8727  2c2 8778  3c3 8779  cz 9061  cuz 9333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-z 9062  df-uz 9334
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator