Theorem uz3m2nn 9901

Description: An integer greater than or equal to 3 decreased by 2 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
uz3m2nn	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)

Proof of Theorem uz3m2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9855	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁))
2		2lt3 9404	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
3		2re 9303	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
5		3re 9307	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
6	5	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
7		zre 9577	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8		ltletr 8359	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((2 < 3 ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁))
9	4, 6, 7, 8	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 < 3 ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁))
10	2, 9	mpani 430	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 → 2 < 𝑁))
11	10	imp 124	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁)
12	11	3adant1 1042	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁)
13	1, 12	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 < 𝑁)
14		2nn 9395	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
15		eluzge3nn 9900	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
16		nnsub 9272	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℕ))
17	14, 15, 16	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℕ))
18	13, 17	mpbid 147	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℝcr 8122   < clt 8304   ≤ cle 8305   − cmin 8440  ℕcn 9233  2c2 9284  3c3 9285  ℤcz 9573  ℤ_≥cuz 9849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-z 9574  df-uz 9850

This theorem is referenced by:  clwwlknonex2  16421