Theorem uz3m2nn 9511

Description: An integer greater than or equal to 3 decreased by 2 is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
uz3m2nn	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)

Proof of Theorem uz3m2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9472	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁))
2		2lt3 9027	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
3		2re 8927	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
5		3re 8931	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
6	5	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
7		zre 9195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8		ltletr 7988	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((2 < 3 ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁))
9	4, 6, 7, 8	syl3anc 1228	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 < 3 ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁))
10	2, 9	mpani 427	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 → 2 < 𝑁))
11	10	imp 123	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁)
12	11	3adant1 1005	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 < 𝑁)
13	1, 12	sylbi 120	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 < 𝑁)
14		2nn 9018	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
15		eluzge3nn 9510	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
16		nnsub 8896	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℕ))
17	14, 15, 16	sylancr 411	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (2 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 2) ∈ ℕ))
18	13, 17	mpbid 146	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 968   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℝcr 7752   < clt 7933   ≤ cle 7934   − cmin 8069  ℕcn 8857  2c2 8908  3c3 8909  ℤcz 9191  ℤ_≥cuz 9466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-z 9192  df-uz 9467

This theorem is referenced by: (None)