Theorem uzneg 9344

Description: Contraposition law for upper integers. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzneg	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -u M e. ( ZZ>= ` -u N ) )

Proof of Theorem uzneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzle 9338	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
2		eluzel2 9331	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3		eluzelz 9335	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
4		zre 9058	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
5		zre 9058	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6		leneg 8227	. . . . 5 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M <_ N <-> -u N <_ -u M ) )
7	4, 5, 6	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> -u N <_ -u M ) )
8	2, 3, 7	syl2anc 408	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M <_ N <-> -u N <_ -u M ) )
9	1, 8	mpbid 146	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -u N <_ -u M )
10		znegcl 9085	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )
11		znegcl 9085	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> -u M e. ZZ )
12		eluz 9339	. . . 4 |- ( ( -u N e. ZZ /\ -u M e. ZZ ) -> ( -u M e. ( ZZ>= ` -u N ) <-> -u N <_ -u M ) )
13	10, 11, 12	syl2an 287	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( -u M e. ( ZZ>= ` -u N ) <-> -u N <_ -u M ) )
14	3, 2, 13	syl2anc 408	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( -u M e. ( ZZ>= ` -u N ) <-> -u N <_ -u M ) )
15	9, 14	mpbird 166	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -u M e. ( ZZ>= ` -u N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123   RRcr 7619   <_ cle 7801   -ucneg 7934   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-z 9055  df-uz 9327

This theorem is referenced by: (None)