Theorem uzneg 9548

Description: Contraposition law for upper integers. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzneg	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -u M e. ( ZZ>= ` -u N ) )

Proof of Theorem uzneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzle 9542	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )
2		eluzel2 9535	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3		eluzelz 9539	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
4		zre 9259	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
5		zre 9259	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6		leneg 8424	. . . . 5 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M <_ N <-> -u N <_ -u M ) )
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> -u N <_ -u M ) )
8	2, 3, 7	syl2anc 411	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M <_ N <-> -u N <_ -u M ) )
9	1, 8	mpbid 147	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -u N <_ -u M )
10		znegcl 9286	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> -u N e. ZZ )
11		znegcl 9286	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> -u M e. ZZ )
12		eluz 9543	. . . 4 |- ( ( -u N e. ZZ /\ -u M e. ZZ ) -> ( -u M e. ( ZZ>= ` -u N ) <-> -u N <_ -u M ) )
13	10, 11, 12	syl2an 289	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( -u M e. ( ZZ>= ` -u N ) <-> -u N <_ -u M ) )
14	3, 2, 13	syl2anc 411	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( -u M e. ( ZZ>= ` -u N ) <-> -u N <_ -u M ) )
15	9, 14	mpbird 167	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> -u M e. ( ZZ>= ` -u N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   ` cfv 5218   RRcr 7812   <_ cle 7995   -ucneg 8131   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-z 9256  df-uz 9531

This theorem is referenced by: (None)