Theorem eluzle 9913

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9906	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
2	1	simp3bi 1045	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   ` cfv 5372   <_ cle 8351   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078  df-neg 8490  df-z 9624  df-uz 9901

This theorem is referenced by:  uztrn  9918  uzneg  9920  uzss  9922  uz11  9924  eluzp1l  9926  uzm1  9932  uzin  9934  uzind4  9967  elfz5  10399  elfzle1  10410  elfzle2  10411  elfzle3  10413  uzsplit  10477  uzdisj  10478  uznfz  10488  elfz2nn0  10497  uzsubfz0  10514  nn0disj  10523  fzouzdisj  10567  fzoun  10568  elfzonelfzo  10626  infssuzex  10644  suprzubdc  10649  fldiv4lem1div2uz2  10719  mulp1mod1  10780  m1modge3gt1  10786  uzennn  10851  seq3split  10903  seq3f1olemqsumk  10927  seq3f1o  10932  seq3coll  11272  swrdlen2  11412  swrdfv2  11413  seq3shft  11581  cvg1nlemcau  11728  resqrexlemcvg  11763  resqrexlemga  11767  summodclem2a  12126  fsum3  12132  fsum3cvg3  12141  fsumadd  12151  sumsnf  12154  fsummulc2  12193  isumshft  12235  divcnv  12242  geolim2  12257  cvgratnnlemseq  12271  cvgratnnlemsumlt  12273  cvgratz  12277  mertenslemi1  12280  prodmodclem3  12320  prodmodclem2a  12321  fprodntrivap  12329  prodsnf  12337  fprodeq0  12362  efcllemp  12403  dvdsbnd  12711  uzwodc  12792  ncoprmgcdne1b  12845  isprm5  12898  hashdvds  12977  pcmpt2  13101  pcfaclem  13106  pcfac  13107  nninfdclemp1  13319  strext  13436  gzsumfzval  13688  gzsumshift  14126  znidom  14964  lgslem1  16033  lgsdirprm  16067  lgseisen  16107  cvgcmp2nlemabs  16986