Theorem eluzle 9734

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9728	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
2	1	simp3bi 1038	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   ` cfv 5318   <_ cle 8182   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-ov 6004  df-neg 8320  df-z 9447  df-uz 9723

This theorem is referenced by:  uztrn  9739  uzneg  9741  uzss  9743  uz11  9745  eluzp1l  9747  uzm1  9753  uzin  9755  uzind4  9783  elfz5  10213  elfzle1  10223  elfzle2  10224  elfzle3  10226  uzsplit  10288  uzdisj  10289  uznfz  10299  elfz2nn0  10308  uzsubfz0  10325  nn0disj  10334  fzouzdisj  10378  fzoun  10379  elfzonelfzo  10436  infssuzex  10453  suprzubdc  10456  fldiv4lem1div2uz2  10526  mulp1mod1  10587  m1modge3gt1  10593  uzennn  10658  seq3split  10710  seq3f1olemqsumk  10734  seq3f1o  10739  seq3coll  11064  swrdlen2  11194  swrdfv2  11195  seq3shft  11349  cvg1nlemcau  11495  resqrexlemcvg  11530  resqrexlemga  11534  summodclem2a  11892  fsum3  11898  fsum3cvg3  11907  fsumadd  11917  sumsnf  11920  fsummulc2  11959  isumshft  12001  divcnv  12008  geolim2  12023  cvgratnnlemseq  12037  cvgratnnlemsumlt  12039  cvgratz  12043  mertenslemi1  12046  prodmodclem3  12086  prodmodclem2a  12087  fprodntrivap  12095  prodsnf  12103  fprodeq0  12128  efcllemp  12169  dvdsbnd  12477  uzwodc  12558  ncoprmgcdne1b  12611  isprm5  12664  hashdvds  12743  pcmpt2  12867  pcfaclem  12872  pcfac  12873  nninfdclemp1  13021  strext  13138  gsumfzval  13424  znidom  14621  lgslem1  15679  lgsdirprm  15713  lgseisen  15753  cvgcmp2nlemabs  16400