Theorem eluzle 9869

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9862	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
2	1	simp3bi 1041	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   class class class wbr 4111   ` cfv 5354   <_ cle 8311   ZZcz 9579   ZZ>=cuz 9856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-ov 6055  df-neg 8449  df-z 9580  df-uz 9857

This theorem is referenced by:  uztrn  9874  uzneg  9876  uzss  9878  uz11  9880  eluzp1l  9882  uzm1  9888  uzin  9890  uzind4  9923  elfz5  10354  elfzle1  10364  elfzle2  10365  elfzle3  10367  uzsplit  10430  uzdisj  10431  uznfz  10441  elfz2nn0  10450  uzsubfz0  10467  nn0disj  10476  fzouzdisj  10520  fzoun  10521  elfzonelfzo  10579  infssuzex  10597  suprzubdc  10600  fldiv4lem1div2uz2  10670  mulp1mod1  10731  m1modge3gt1  10737  uzennn  10802  seq3split  10854  seq3f1olemqsumk  10878  seq3f1o  10883  seq3coll  11218  swrdlen2  11358  swrdfv2  11359  seq3shft  11527  cvg1nlemcau  11673  resqrexlemcvg  11708  resqrexlemga  11712  summodclem2a  12071  fsum3  12077  fsum3cvg3  12086  fsumadd  12096  sumsnf  12099  fsummulc2  12138  isumshft  12180  divcnv  12187  geolim2  12202  cvgratnnlemseq  12216  cvgratnnlemsumlt  12218  cvgratz  12222  mertenslemi1  12225  prodmodclem3  12265  prodmodclem2a  12266  fprodntrivap  12274  prodsnf  12282  fprodeq0  12307  efcllemp  12348  dvdsbnd  12656  uzwodc  12737  ncoprmgcdne1b  12790  isprm5  12843  hashdvds  12922  pcmpt2  13046  pcfaclem  13051  pcfac  13052  nninfdclemp1  13218  strext  13335  gsumfzval  13621  znidom  14822  lgslem1  15890  lgsdirprm  15924  lgseisen  15964  cvgcmp2nlemabs  16833  gsumgfsumlem  16882