Theorem eluzle 9615

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9609	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
2	1	simp3bi 1016	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   ` cfv 5259   <_ cle 8064   ZZcz 9328   ZZ>=cuz 9603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5926  df-neg 8202  df-z 9329  df-uz 9604

This theorem is referenced by:  uztrn  9620  uzneg  9622  uzss  9624  uz11  9626  eluzp1l  9628  uzm1  9634  uzin  9636  uzind4  9664  elfz5  10094  elfzle1  10104  elfzle2  10105  elfzle3  10107  uzsplit  10169  uzdisj  10170  uznfz  10180  elfz2nn0  10189  uzsubfz0  10206  nn0disj  10215  fzouzdisj  10258  elfzonelfzo  10308  infssuzex  10325  suprzubdc  10328  fldiv4lem1div2uz2  10398  mulp1mod1  10459  m1modge3gt1  10465  uzennn  10530  seq3split  10582  seq3f1olemqsumk  10606  seq3f1o  10611  seq3coll  10936  seq3shft  11005  cvg1nlemcau  11151  resqrexlemcvg  11186  resqrexlemga  11190  summodclem2a  11548  fsum3  11554  fsum3cvg3  11563  fsumadd  11573  sumsnf  11576  fsummulc2  11615  isumshft  11657  divcnv  11664  geolim2  11679  cvgratnnlemseq  11693  cvgratnnlemsumlt  11695  cvgratz  11699  mertenslemi1  11702  prodmodclem3  11742  prodmodclem2a  11743  fprodntrivap  11751  prodsnf  11759  fprodeq0  11784  efcllemp  11825  dvdsbnd  12133  uzwodc  12214  ncoprmgcdne1b  12267  isprm5  12320  hashdvds  12399  pcmpt2  12523  pcfaclem  12528  pcfac  12529  nninfdclemp1  12677  strext  12793  gsumfzval  13044  znidom  14223  lgslem1  15251  lgsdirprm  15285  lgseisen  15325  cvgcmp2nlemabs  15686