Theorem eluzle 9662

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9656	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
2	1	simp3bi 1017	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   ` cfv 5272   <_ cle 8110   ZZcz 9374   ZZ>=cuz 9650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-ov 5949  df-neg 8248  df-z 9375  df-uz 9651

This theorem is referenced by:  uztrn  9667  uzneg  9669  uzss  9671  uz11  9673  eluzp1l  9675  uzm1  9681  uzin  9683  uzind4  9711  elfz5  10141  elfzle1  10151  elfzle2  10152  elfzle3  10154  uzsplit  10216  uzdisj  10217  uznfz  10227  elfz2nn0  10236  uzsubfz0  10253  nn0disj  10262  fzouzdisj  10306  elfzonelfzo  10361  infssuzex  10378  suprzubdc  10381  fldiv4lem1div2uz2  10451  mulp1mod1  10512  m1modge3gt1  10518  uzennn  10583  seq3split  10635  seq3f1olemqsumk  10659  seq3f1o  10664  seq3coll  10989  swrdlen2  11118  swrdfv2  11119  seq3shft  11182  cvg1nlemcau  11328  resqrexlemcvg  11363  resqrexlemga  11367  summodclem2a  11725  fsum3  11731  fsum3cvg3  11740  fsumadd  11750  sumsnf  11753  fsummulc2  11792  isumshft  11834  divcnv  11841  geolim2  11856  cvgratnnlemseq  11870  cvgratnnlemsumlt  11872  cvgratz  11876  mertenslemi1  11879  prodmodclem3  11919  prodmodclem2a  11920  fprodntrivap  11928  prodsnf  11936  fprodeq0  11961  efcllemp  12002  dvdsbnd  12310  uzwodc  12391  ncoprmgcdne1b  12444  isprm5  12497  hashdvds  12576  pcmpt2  12700  pcfaclem  12705  pcfac  12706  nninfdclemp1  12854  strext  12970  gsumfzval  13256  znidom  14452  lgslem1  15510  lgsdirprm  15544  lgseisen  15584  cvgcmp2nlemabs  16008