Theorem eluzle 9695

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9689	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
2	1	simp3bi 1017	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   ` cfv 5290   <_ cle 8143   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-ov 5970  df-neg 8281  df-z 9408  df-uz 9684

This theorem is referenced by:  uztrn  9700  uzneg  9702  uzss  9704  uz11  9706  eluzp1l  9708  uzm1  9714  uzin  9716  uzind4  9744  elfz5  10174  elfzle1  10184  elfzle2  10185  elfzle3  10187  uzsplit  10249  uzdisj  10250  uznfz  10260  elfz2nn0  10269  uzsubfz0  10286  nn0disj  10295  fzouzdisj  10339  fzoun  10340  elfzonelfzo  10396  infssuzex  10413  suprzubdc  10416  fldiv4lem1div2uz2  10486  mulp1mod1  10547  m1modge3gt1  10553  uzennn  10618  seq3split  10670  seq3f1olemqsumk  10694  seq3f1o  10699  seq3coll  11024  swrdlen2  11153  swrdfv2  11154  seq3shft  11264  cvg1nlemcau  11410  resqrexlemcvg  11445  resqrexlemga  11449  summodclem2a  11807  fsum3  11813  fsum3cvg3  11822  fsumadd  11832  sumsnf  11835  fsummulc2  11874  isumshft  11916  divcnv  11923  geolim2  11938  cvgratnnlemseq  11952  cvgratnnlemsumlt  11954  cvgratz  11958  mertenslemi1  11961  prodmodclem3  12001  prodmodclem2a  12002  fprodntrivap  12010  prodsnf  12018  fprodeq0  12043  efcllemp  12084  dvdsbnd  12392  uzwodc  12473  ncoprmgcdne1b  12526  isprm5  12579  hashdvds  12658  pcmpt2  12782  pcfaclem  12787  pcfac  12788  nninfdclemp1  12936  strext  13052  gsumfzval  13338  znidom  14534  lgslem1  15592  lgsdirprm  15626  lgseisen  15666  cvgcmp2nlemabs  16173