Theorem eluzle 9950

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9943	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
2	1	simp3bi 1045	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   ` cfv 5380   <_ cle 8367   ZZcz 9655   ZZ>=cuz 9937

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-neg 8507  df-z 9656  df-uz 9938

This theorem is used by:  uztrn  9955  uzneg  9957  uzss  9959  uz11  9961  eluzp1l  9963  uzm1  9969  uzin  9971  uzind4  10004  elfz5  10437  elfzle1  10448  elfzle2  10449  elfzle3  10451  uzsplit  10516  uzdisj  10517  uznfz  10527  elfz2nn0  10536  uzsubfz0  10553  nn0disj  10562  fzouzdisj  10606  fzoun  10607  elfzonelfzo  10665  infssuzex  10683  suprzubdc  10688  fldiv4lem1div2uz2  10762  mulp1mod1  10823  m1modge3gt1  10829  uzennn  10894  seq3split  10946  seq3f1olemqsumk  10970  seq3f1o  10975  seq3coll  11316  swrdlen2  11456  swrdfv2  11457  seq3shft  11625  cvg1nlemcau  11772  resqrexlemcvg  11807  resqrexlemga  11811  summodclem2a  12173  fsum3  12179  fsum3cvg3  12188  fsumadd  12198  sumsnf  12201  fsummulc2  12240  isumshft  12282  divcnv  12289  geolim2  12304  cvgratnnlemseq  12318  cvgratnnlemsumlt  12320  cvgratz  12324  mertenslemi1  12327  prodmodclem3  12367  prodmodclem2a  12368  fprodntrivap  12376  prodsnf  12384  fprodeq0  12409  efcllemp  12450  dvdsbnd  12758  uzwodc  12839  ncoprmgcdne1b  12892  isprm5  12946  hashdvds  13028  pcmpt2  13152  pcfaclem  13157  pcfac  13158  prmlem1  13251  prmlem2  13263  nninfdclemp1  13399  strext  13518  gzsumfzval  13770  gzsumshift  14239  znidom  15101  log2tlbndlog2  16220  chtqub  16296  bcmax  16305  bpos1lem  16309  bpos1  16310  bposlem3  16313  bposlem4  16314  bposlem5  16315  bposlem6  16316  lgslem1  16324  lgsdirprm  16358  lgseisen  16398  cvgcmp2nlemabs  17287