Theorem eluzle 9934

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9927	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
2	1	simp3bi 1045	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377   <_ cle 8361   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-neg 8500  df-z 9645  df-uz 9922

This theorem is used by:  uztrn  9939  uzneg  9941  uzss  9943  uz11  9945  eluzp1l  9947  uzm1  9953  uzin  9955  uzind4  9988  elfz5  10420  elfzle1  10431  elfzle2  10432  elfzle3  10434  uzsplit  10499  uzdisj  10500  uznfz  10510  elfz2nn0  10519  uzsubfz0  10536  nn0disj  10545  fzouzdisj  10589  fzoun  10590  elfzonelfzo  10648  infssuzex  10666  suprzubdc  10671  fldiv4lem1div2uz2  10741  mulp1mod1  10802  m1modge3gt1  10808  uzennn  10873  seq3split  10925  seq3f1olemqsumk  10949  seq3f1o  10954  seq3coll  11294  swrdlen2  11434  swrdfv2  11435  seq3shft  11603  cvg1nlemcau  11750  resqrexlemcvg  11785  resqrexlemga  11789  summodclem2a  12148  fsum3  12154  fsum3cvg3  12163  fsumadd  12173  sumsnf  12176  fsummulc2  12215  isumshft  12257  divcnv  12264  geolim2  12279  cvgratnnlemseq  12293  cvgratnnlemsumlt  12295  cvgratz  12299  mertenslemi1  12302  prodmodclem3  12342  prodmodclem2a  12343  fprodntrivap  12351  prodsnf  12359  fprodeq0  12384  efcllemp  12425  dvdsbnd  12733  uzwodc  12814  ncoprmgcdne1b  12867  isprm5  12920  hashdvds  12999  pcmpt2  13123  pcfaclem  13128  pcfac  13129  nninfdclemp1  13341  strext  13459  gzsumfzval  13711  gzsumshift  14149  znidom  14992  log2tlbndlog2  16082  lgslem1  16119  lgsdirprm  16153  lgseisen  16193  cvgcmp2nlemabs  17081