Theorem eluzle 9492

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9486	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
2	1	simp3bi 1009	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2141   class class class wbr 3987   ` cfv 5196   <_ cle 7948   ZZcz 9205   ZZ>=cuz 9480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-ov 5854  df-neg 8086  df-z 9206  df-uz 9481

This theorem is referenced by:  uztrn  9496  uzneg  9498  uzss  9500  uz11  9502  eluzp1l  9504  uzm1  9510  uzin  9512  uzind4  9540  elfz5  9966  elfzle1  9976  elfzle2  9977  elfzle3  9979  uzsplit  10041  uzdisj  10042  uznfz  10052  elfz2nn0  10061  uzsubfz0  10078  nn0disj  10087  fzouzdisj  10129  elfzonelfzo  10179  mulp1mod1  10314  m1modge3gt1  10320  uzennn  10385  seq3split  10428  seq3f1olemqsumk  10448  seq3f1o  10453  seq3coll  10770  seq3shft  10795  cvg1nlemcau  10941  resqrexlemcvg  10976  resqrexlemga  10980  summodclem2a  11337  fsum3  11343  fsum3cvg3  11352  fsumadd  11362  sumsnf  11365  fsummulc2  11404  isumshft  11446  divcnv  11453  geolim2  11468  cvgratnnlemseq  11482  cvgratnnlemsumlt  11484  cvgratz  11488  mertenslemi1  11491  prodmodclem3  11531  prodmodclem2a  11532  fprodntrivap  11540  prodsnf  11548  fprodeq0  11573  efcllemp  11614  infssuzex  11897  suprzubdc  11900  dvdsbnd  11904  uzwodc  11985  ncoprmgcdne1b  12036  isprm5  12089  hashdvds  12168  pcmpt2  12289  pcfaclem  12294  pcfac  12295  nninfdclemp1  12398  lgslem1  13660  lgsdirprm  13694  cvgcmp2nlemabs  14029