Theorem eluzle 9362

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9356	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
2	1	simp3bi 999	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   ` cfv 5131   <_ cle 7825   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-neg 7960  df-z 9079  df-uz 9351

This theorem is referenced by:  uztrn  9366  uzneg  9368  uzss  9370  uz11  9372  eluzp1l  9374  uzm1  9380  uzin  9382  uzind4  9410  elfz5  9829  elfzle1  9838  elfzle2  9839  elfzle3  9841  uzsplit  9903  uzdisj  9904  uznfz  9914  elfz2nn0  9923  uzsubfz0  9937  nn0disj  9946  fzouzdisj  9988  elfzonelfzo  10038  mulp1mod1  10169  m1modge3gt1  10175  uzennn  10240  seq3split  10283  seq3f1olemqsumk  10303  seq3f1o  10308  seq3coll  10617  seq3shft  10642  cvg1nlemcau  10788  resqrexlemcvg  10823  resqrexlemga  10827  summodclem2a  11182  fsum3  11188  fsum3cvg3  11197  fsumadd  11207  sumsnf  11210  fsummulc2  11249  isumshft  11291  divcnv  11298  geolim2  11313  cvgratnnlemseq  11327  cvgratnnlemsumlt  11329  cvgratz  11333  mertenslemi1  11336  prodmodclem3  11376  prodmodclem2a  11377  efcllemp  11401  infssuzex  11678  dvdsbnd  11681  ncoprmgcdne1b  11806  hashdvds  11933  cvgcmp2nlemabs  13402