Theorem eluzle 9474

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9468	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
2	1	simp3bi 1004	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2136   class class class wbr 3981   ` cfv 5187   <_ cle 7930   ZZcz 9187   ZZ>=cuz 9462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ral 2448  df-rex 2449  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-fv 5195  df-ov 5844  df-neg 8068  df-z 9188  df-uz 9463

This theorem is referenced by:  uztrn  9478  uzneg  9480  uzss  9482  uz11  9484  eluzp1l  9486  uzm1  9492  uzin  9494  uzind4  9522  elfz5  9948  elfzle1  9958  elfzle2  9959  elfzle3  9961  uzsplit  10023  uzdisj  10024  uznfz  10034  elfz2nn0  10043  uzsubfz0  10060  nn0disj  10069  fzouzdisj  10111  elfzonelfzo  10161  mulp1mod1  10296  m1modge3gt1  10302  uzennn  10367  seq3split  10410  seq3f1olemqsumk  10430  seq3f1o  10435  seq3coll  10751  seq3shft  10776  cvg1nlemcau  10922  resqrexlemcvg  10957  resqrexlemga  10961  summodclem2a  11318  fsum3  11324  fsum3cvg3  11333  fsumadd  11343  sumsnf  11346  fsummulc2  11385  isumshft  11427  divcnv  11434  geolim2  11449  cvgratnnlemseq  11463  cvgratnnlemsumlt  11465  cvgratz  11469  mertenslemi1  11472  prodmodclem3  11512  prodmodclem2a  11513  fprodntrivap  11521  prodsnf  11529  fprodeq0  11554  efcllemp  11595  infssuzex  11878  suprzubdc  11881  dvdsbnd  11885  uzwodc  11966  ncoprmgcdne1b  12017  isprm5  12070  hashdvds  12149  pcmpt2  12270  pcfaclem  12275  pcfac  12276  nninfdclemp1  12379  lgslem1  13501  lgsdirprm  13535  cvgcmp2nlemabs  13871