Theorem eluzle 9866

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9859	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
2	1	simp3bi 1041	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2203   class class class wbr 4109   ` cfv 5352   <_ cle 8309   ZZcz 9577   ZZ>=cuz 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-neg 8447  df-z 9578  df-uz 9854

This theorem is referenced by:  uztrn  9871  uzneg  9873  uzss  9875  uz11  9877  eluzp1l  9879  uzm1  9885  uzin  9887  uzind4  9920  elfz5  10351  elfzle1  10361  elfzle2  10362  elfzle3  10364  uzsplit  10426  uzdisj  10427  uznfz  10437  elfz2nn0  10446  uzsubfz0  10463  nn0disj  10472  fzouzdisj  10516  fzoun  10517  elfzonelfzo  10575  infssuzex  10593  suprzubdc  10596  fldiv4lem1div2uz2  10666  mulp1mod1  10727  m1modge3gt1  10733  uzennn  10798  seq3split  10850  seq3f1olemqsumk  10874  seq3f1o  10879  seq3coll  11214  swrdlen2  11354  swrdfv2  11355  seq3shft  11523  cvg1nlemcau  11669  resqrexlemcvg  11704  resqrexlemga  11708  summodclem2a  12067  fsum3  12073  fsum3cvg3  12082  fsumadd  12092  sumsnf  12095  fsummulc2  12134  isumshft  12176  divcnv  12183  geolim2  12198  cvgratnnlemseq  12212  cvgratnnlemsumlt  12214  cvgratz  12218  mertenslemi1  12221  prodmodclem3  12261  prodmodclem2a  12262  fprodntrivap  12270  prodsnf  12278  fprodeq0  12303  efcllemp  12344  dvdsbnd  12652  uzwodc  12733  ncoprmgcdne1b  12786  isprm5  12839  hashdvds  12918  pcmpt2  13042  pcfaclem  13047  pcfac  13048  nninfdclemp1  13201  strext  13318  gsumfzval  13604  znidom  14805  lgslem1  15873  lgsdirprm  15907  lgseisen  15947  cvgcmp2nlemabs  16816  gsumgfsumlem  16865