Theorem eluzle 9829

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9822	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
2	1	simp3bi 1041	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   ` cfv 5333   <_ cle 8274   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-neg 8412  df-z 9541  df-uz 9817

This theorem is referenced by:  uztrn  9834  uzneg  9836  uzss  9838  uz11  9840  eluzp1l  9842  uzm1  9848  uzin  9850  uzind4  9883  elfz5  10314  elfzle1  10324  elfzle2  10325  elfzle3  10327  uzsplit  10389  uzdisj  10390  uznfz  10400  elfz2nn0  10409  uzsubfz0  10426  nn0disj  10435  fzouzdisj  10479  fzoun  10480  elfzonelfzo  10538  infssuzex  10556  suprzubdc  10559  fldiv4lem1div2uz2  10629  mulp1mod1  10690  m1modge3gt1  10696  uzennn  10761  seq3split  10813  seq3f1olemqsumk  10837  seq3f1o  10842  seq3coll  11169  swrdlen2  11309  swrdfv2  11310  seq3shft  11478  cvg1nlemcau  11624  resqrexlemcvg  11659  resqrexlemga  11663  summodclem2a  12022  fsum3  12028  fsum3cvg3  12037  fsumadd  12047  sumsnf  12050  fsummulc2  12089  isumshft  12131  divcnv  12138  geolim2  12153  cvgratnnlemseq  12167  cvgratnnlemsumlt  12169  cvgratz  12173  mertenslemi1  12176  prodmodclem3  12216  prodmodclem2a  12217  fprodntrivap  12225  prodsnf  12233  fprodeq0  12258  efcllemp  12299  dvdsbnd  12607  uzwodc  12688  ncoprmgcdne1b  12741  isprm5  12794  hashdvds  12873  pcmpt2  12997  pcfaclem  13002  pcfac  13003  nninfdclemp1  13151  strext  13268  gsumfzval  13554  znidom  14753  lgslem1  15819  lgsdirprm  15853  lgseisen  15893  cvgcmp2nlemabs  16764  gsumgfsumlem  16812