Theorem xmeterval 14603

Description: Value of the "finitely separated" relation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	|- .~ = ( `' D " RR )

Assertion

Ref	Expression
xmeterval	|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A .~ B <-> ( A e. X /\ B e. X /\ ( A D B ) e. RR ) ) )

Proof of Theorem xmeterval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 14518	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
2		ffn 5403	. . 3 |- ( D : ( X X. X ) --> RR* -> D Fn ( X X. X ) )
3		elpreima 5677	. . 3 |- ( D Fn ( X X. X ) -> ( <. A , B >. e. ( `' D " RR ) <-> ( <. A , B >. e. ( X X. X ) /\ ( D ` <. A , B >. ) e. RR ) ) )
4	1, 2, 3	3syl 17	. 2 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( <. A , B >. e. ( `' D " RR ) <-> ( <. A , B >. e. ( X X. X ) /\ ( D ` <. A , B >. ) e. RR ) ) )
5		xmeter.1	. . . 4 |- .~ = ( `' D " RR )
6	5	breqi 4035	. . 3 |- ( A .~ B <-> A ( `' D " RR ) B )
7		df-br 4030	. . 3 |- ( A ( `' D " RR ) B <-> <. A , B >. e. ( `' D " RR ) )
8	6, 7	bitri 184	. 2 |- ( A .~ B <-> <. A , B >. e. ( `' D " RR ) )
9		df-3an 982	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. X /\ ( A D B ) e. RR ) <-> ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( A D B ) e. RR ) )
10		opelxp 4689	. . . . 5 |- ( <. A , B >. e. ( X X. X ) <-> ( A e. X /\ B e. X ) )
11	10	bicomi 132	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ B e. X ) <-> <. A , B >. e. ( X X. X ) )
12		df-ov 5921	. . . . 5 |- ( A D B ) = ( D ` <. A , B >. )
13	12	eleq1i 2259	. . . 4 |- ( ( A D B ) e. RR <-> ( D ` <. A , B >. ) e. RR )
14	11, 13	anbi12i 460	. . 3 |- ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( A D B ) e. RR ) <-> ( <. A , B >. e. ( X X. X ) /\ ( D ` <. A , B >. ) e. RR ) )
15	9, 14	bitri 184	. 2 |- ( ( A e. X /\ B e. X /\ ( A D B ) e. RR ) <-> ( <. A , B >. e. ( X X. X ) /\ ( D ` <. A , B >. ) e. RR ) )
16	4, 8, 15	3bitr4g 223	1 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A .~ B <-> ( A e. X /\ B e. X /\ ( A D B ) e. RR ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   <.cop 3621   class class class wbr 4029   X. cxp 4657   `'ccnv 4658   "cima 4662   Fn wfn 5249   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   RRcr 7871   RR*cxr 8053   *Metcxmet 14032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-xmet 14040

This theorem is referenced by:  xmeter  14604  xmetec  14605  xmetresbl  14608