Theorem xmeterval 13506

Description: Value of the "finitely separated" relation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xmeter.1	⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
xmeterval	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)))

Proof of Theorem xmeterval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetf 13421	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2		ffn 5357	. . 3 ⊢ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → 𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
3		elpreima 5627	. . 3 ⊢ (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (◡𝐷 “ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ)))
4	1, 2, 3	3syl 17	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (◡𝐷 “ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ)))
5		xmeter.1	. . . 4 ⊢ ∼ = (◡𝐷 “ ℝ)
6	5	breqi 4004	. . 3 ⊢ (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ 𝐴(◡𝐷 “ ℝ)𝐵)
7		df-br 3999	. . 3 ⊢ (𝐴(◡𝐷 “ ℝ)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (◡𝐷 “ ℝ))
8	6, 7	bitri 184	. 2 ⊢ (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (◡𝐷 “ ℝ))
9		df-3an 980	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ))
10		opelxp 4650	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
11	10	bicomi 132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
12		df-ov 5868	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝐷𝐵) = (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
13	12	eleq1i 2241	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ↔ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ)
14	11, 13	anbi12i 460	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ))
15	9, 14	bitri 184	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ))
16	4, 8, 15	3bitr4g 223	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  ⟨cop 3592   class class class wbr 3998   × cxp 4618  ^◡ccnv 4619   “ cima 4623   Fn wfn 5203  ⟶wf 5204  ‘cfv 5208  (class class class)co 5865  ℝcr 7785  ℝ^*cxr 7965  ∞Metcxmet 13051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-map 6640  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-xmet 13059

This theorem is referenced by:  xmeter  13507  xmetec  13508  xmetresbl  13511