ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmeterval GIF version

Theorem xmeterval 14338
Description: Value of the "finitely separated" relation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xmeter.1 ∼ = (◑𝐷 β€œ ℝ)
Assertion
Ref Expression
xmeterval (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∼ 𝐡 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ)))

Proof of Theorem xmeterval
StepHypRef Expression
1 xmetf 14253 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
2 ffn 5380 . . 3 (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* β†’ 𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
3 elpreima 5651 . . 3 (𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (◑𝐷 β€œ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (π·β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ∈ ℝ)))
41, 2, 33syl 17 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (◑𝐷 β€œ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (π·β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ∈ ℝ)))
5 xmeter.1 . . . 4 ∼ = (◑𝐷 β€œ ℝ)
65breqi 4024 . . 3 (𝐴 ∼ 𝐡 ↔ 𝐴(◑𝐷 β€œ ℝ)𝐡)
7 df-br 4019 . . 3 (𝐴(◑𝐷 β€œ ℝ)𝐡 ↔ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (◑𝐷 β€œ ℝ))
86, 7bitri 184 . 2 (𝐴 ∼ 𝐡 ↔ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (◑𝐷 β€œ ℝ))
9 df-3an 982 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ))
10 opelxp 4671 . . . . 5 (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— 𝑋) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋))
1110bicomi 132 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ↔ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
12 df-ov 5894 . . . . 5 (𝐴𝐷𝐡) = (π·β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)
1312eleq1i 2255 . . . 4 ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ↔ (π·β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ∈ ℝ)
1411, 13anbi12i 460 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (π·β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ∈ ℝ))
159, 14bitri 184 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (π·β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ∈ ℝ))
164, 8, 153bitr4g 223 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∼ 𝐡 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  βŸ¨cop 3610   class class class wbr 4018   Γ— cxp 4639  β—‘ccnv 4640   β€œ cima 4644   Fn wfn 5226  βŸΆwf 5227  β€˜cfv 5231  (class class class)co 5891  β„cr 7829  β„*cxr 8010  βˆžMetcxmet 13816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-map 6668  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-xmet 13824
This theorem is referenced by:  xmeter  14339  xmetec  14340  xmetresbl  14343
  Copyright terms: Public domain W3C validator