ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmeterval GIF version

Theorem xmeterval 14206
Description: Value of the "finitely separated" relation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xmeter.1 ∼ = (◑𝐷 β€œ ℝ)
Assertion
Ref Expression
xmeterval (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∼ 𝐡 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ)))

Proof of Theorem xmeterval
StepHypRef Expression
1 xmetf 14121 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
2 ffn 5377 . . 3 (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* β†’ 𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
3 elpreima 5648 . . 3 (𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (◑𝐷 β€œ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (π·β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ∈ ℝ)))
41, 2, 33syl 17 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (◑𝐷 β€œ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (π·β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ∈ ℝ)))
5 xmeter.1 . . . 4 ∼ = (◑𝐷 β€œ ℝ)
65breqi 4021 . . 3 (𝐴 ∼ 𝐡 ↔ 𝐴(◑𝐷 β€œ ℝ)𝐡)
7 df-br 4016 . . 3 (𝐴(◑𝐷 β€œ ℝ)𝐡 ↔ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (◑𝐷 β€œ ℝ))
86, 7bitri 184 . 2 (𝐴 ∼ 𝐡 ↔ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (◑𝐷 β€œ ℝ))
9 df-3an 981 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ))
10 opelxp 4668 . . . . 5 (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— 𝑋) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋))
1110bicomi 132 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ↔ ⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
12 df-ov 5891 . . . . 5 (𝐴𝐷𝐡) = (π·β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)
1312eleq1i 2253 . . . 4 ((𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ ↔ (π·β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ∈ ℝ)
1411, 13anbi12i 460 . . 3 (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (π·β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ∈ ℝ))
159, 14bitri 184 . 2 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐡⟩ ∈ (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (π·β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ∈ ℝ))
164, 8, 153bitr4g 223 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∼ 𝐡 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) ∈ ℝ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  βŸ¨cop 3607   class class class wbr 4015   Γ— cxp 4636  β—‘ccnv 4637   β€œ cima 4641   Fn wfn 5223  βŸΆwf 5224  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  β„cr 7823  β„*cxr 8004  βˆžMetcxmet 13697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-map 6663  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-xmet 13705
This theorem is referenced by:  xmeter  14207  xmetec  14208  xmetresbl  14211
  Copyright terms: Public domain W3C validator