Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xmeterval GIF version

Theorem xmeterval 12636
 Description: Value of the "finitely separated" relation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xmeter.1 = (𝐷 “ ℝ)
Assertion
Ref Expression
xmeterval (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴 𝐵 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)))

Proof of Theorem xmeterval
StepHypRef Expression
1 xmetf 12551 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2 ffn 5278 . . 3 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
3 elpreima 5545 . . 3 (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐷 “ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ)))
41, 2, 33syl 17 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐷 “ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ)))
5 xmeter.1 . . . 4 = (𝐷 “ ℝ)
65breqi 3941 . . 3 (𝐴 𝐵𝐴(𝐷 “ ℝ)𝐵)
7 df-br 3936 . . 3 (𝐴(𝐷 “ ℝ)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐷 “ ℝ))
86, 7bitri 183 . 2 (𝐴 𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐷 “ ℝ))
9 df-3an 965 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ))
10 opelxp 4575 . . . . 5 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋))
1110bicomi 131 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
12 df-ov 5783 . . . . 5 (𝐴𝐷𝐵) = (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
1312eleq1i 2206 . . . 4 ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ ↔ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ)
1411, 13anbi12i 456 . . 3 (((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ))
159, 14bitri 183 . 2 ((𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐷‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ ℝ))
164, 8, 153bitr4g 222 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴 𝐵 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ⟨cop 3533   class class class wbr 3935   × cxp 4543  ◡ccnv 4544   “ cima 4548   Fn wfn 5124  ⟶wf 5125  ‘cfv 5129  (class class class)co 5780  ℝcr 7641  ℝ*cxr 7821  ∞Metcxmet 12181 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4052  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-setind 4458  ax-cnex 7733  ax-resscn 7734 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-iun 3821  df-br 3936  df-opab 3996  df-mpt 3997  df-id 4221  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-rn 4556  df-res 4557  df-ima 4558  df-iota 5094  df-fun 5131  df-fn 5132  df-f 5133  df-fv 5137  df-ov 5783  df-oprab 5784  df-mpo 5785  df-1st 6044  df-2nd 6045  df-map 6550  df-pnf 7824  df-mnf 7825  df-xr 7826  df-xmet 12189 This theorem is referenced by:  xmeter  12637  xmetec  12638  xmetresbl  12641
 Copyright terms: Public domain W3C validator