Theorem xpscf 12933

Description: Equivalent condition for the pair function to be a proper function on 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpscf	⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}:2o⟶𝐴 ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem xpscf

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6576	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o ∈ ω
2		elnn 4639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 2o ∧ 2o ∈ ω) → 𝑘 ∈ ω)
3	1, 2	mpan2 425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 2o → 𝑘 ∈ ω)
4		peano1 4627	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ ω
5		nndceq 6554	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → DECID 𝑘 = ∅)
6	3, 4, 5	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 2o → DECID 𝑘 = ∅)
7		ifiddc 3592	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑘 = ∅ → if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) = 𝐴)
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 2o → if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) = 𝐴)
9	8	eleq2d 2263	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 2o → (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ 𝐴))
10	9	ralbiia 2508	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ 𝐴)
11	10	anbi2i 457	. . 3 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)) ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ 𝐴))
12		df-3an 982	. . . 4 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V ∧ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)) ↔ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V ∧ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o) ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)))
13		elixp2 6758	. . . 4 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V ∧ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)))
14		fnex 5781	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ 2o ∈ ω) → {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V)
15	1, 14	mpan2 425	. . . . . 6 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o → {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V)
16	15	pm4.71ri 392	. . . . 5 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V ∧ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o))
17	16	anbi1i 458	. . . 4 ⊢ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)) ↔ (({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V ∧ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o) ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)))
18	12, 13, 17	3bitr4i 212	. . 3 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴)))
19		ffnfv 5717	. . 3 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}:2o⟶𝐴 ↔ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} Fn 2o ∧ ∀𝑘 ∈ 2o ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}‘𝑘) ∈ 𝐴))
20	11, 18, 19	3bitr4i 212	. 2 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}:2o⟶𝐴)
21		xpsfrnel2 12932	. 2 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ X𝑘 ∈ 2o if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐴) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴))
22	20, 21	bitr3i 186	1 ⊢ ({⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩}:2o⟶𝐴 ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 835   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  Vcvv 2760  ∅c0 3447  ifcif 3558  {cpr 3620  ⟨cop 3622  ωcom 4623   Fn wfn 5250  ⟶wf 5251  ‘cfv 5255  1_oc1o 6464  2_oc2o 6465  Xcixp 6754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6471  df-2o 6472  df-er 6589  df-ixp 6755  df-en 6797  df-fin 6799

This theorem is referenced by: (None)