Theorem omcl 6516

Description: Closure law for ordinal multiplication. Proposition 8.16 of [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.) (Constructive proof by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
omcl	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ On)

Proof of Theorem omcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omv 6510	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝐵) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)), ∅)‘𝐵))
2		0elon 4424	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ On
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∅ ∈ On)
4		vex 2763	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
5		oacl 6515	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑦 +o 𝐴) ∈ On)
6		oveq1 5926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 +o 𝐴) = (𝑦 +o 𝐴))
7		eqid 2193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)) = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴))
8	6, 7	fvmptg 5634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ (𝑦 +o 𝐴) ∈ On) → ((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴))‘𝑦) = (𝑦 +o 𝐴))
9	4, 5, 8	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴))‘𝑦) = (𝑦 +o 𝐴))
10	9, 5	eqeltrd 2270	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴))‘𝑦) ∈ On)
11	10	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On) → ((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴))‘𝑦) ∈ On)
12	11	ralrimiva 2567	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∀𝑦 ∈ On ((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴))‘𝑦) ∈ On)
13	3, 12	rdgon 6441	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)), ∅)‘𝐵) ∈ On)
14	1, 13	eqeltrd 2270	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  ∅c0 3447   ↦ cmpt 4091  Oncon0 4395  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  reccrdg 6424   +_o coa 6468   ·_o comu 6469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-oadd 6475  df-omul 6476

This theorem is referenced by:  oeicl  6517  omv2  6520  omsuc  6527