Theorem omcl 6420

Description: Closure law for ordinal multiplication. Proposition 8.16 of [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.) (Constructive proof by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
omcl	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ On)

Proof of Theorem omcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omv 6414	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝐵) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)), ∅)‘𝐵))
2		0elon 4364	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ On
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∅ ∈ On)
4		vex 2724	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
5		oacl 6419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑦 +o 𝐴) ∈ On)
6		oveq1 5843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 +o 𝐴) = (𝑦 +o 𝐴))
7		eqid 2164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)) = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴))
8	6, 7	fvmptg 5556	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ (𝑦 +o 𝐴) ∈ On) → ((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴))‘𝑦) = (𝑦 +o 𝐴))
9	4, 5, 8	sylancr 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴))‘𝑦) = (𝑦 +o 𝐴))
10	9, 5	eqeltrd 2241	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴))‘𝑦) ∈ On)
11	10	ancoms 266	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On) → ((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴))‘𝑦) ∈ On)
12	11	ralrimiva 2537	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∀𝑦 ∈ On ((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴))‘𝑦) ∈ On)
13	3, 12	rdgon 6345	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)), ∅)‘𝐵) ∈ On)
14	1, 13	eqeltrd 2241	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  Vcvv 2721  ∅c0 3404   ↦ cmpt 4037  Oncon0 4335  ‘cfv 5182  (class class class)co 5836  reccrdg 6328   +_o coa 6372   ·_o comu 6373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-iord 4338  df-on 4340  df-suc 4343  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-irdg 6329  df-oadd 6379  df-omul 6380

This theorem is referenced by:  oeicl  6421  omv2  6424  omsuc  6431