ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem2 GIF version

Theorem lgsdir2lem2 14591
Description: Lemma for lgsdir2 14595. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdir2lem2.1 (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ (๐พ + 1) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐พ) โ†’ (๐ด mod 8) โˆˆ ๐‘†)))
lgsdir2lem2.2 ๐‘€ = (๐พ + 1)
lgsdir2lem2.3 ๐‘ = (๐‘€ + 1)
lgsdir2lem2.4 ๐‘ โˆˆ ๐‘†
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ (๐‘ + 1) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐ด mod 8) โˆˆ ๐‘†)))

Proof of Theorem lgsdir2lem2
StepHypRef Expression
1 lgsdir2lem2.3 . . 3 ๐‘ = (๐‘€ + 1)
2 lgsdir2lem2.2 . . . . 5 ๐‘€ = (๐พ + 1)
3 lgsdir2lem2.1 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ (๐พ + 1) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐พ) โ†’ (๐ด mod 8) โˆˆ ๐‘†)))
43simp1i 1006 . . . . . 6 ๐พ โˆˆ โ„ค
5 peano2z 9292 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ + 1) โˆˆ โ„ค)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 (๐พ + 1) โˆˆ โ„ค
72, 6eqeltri 2250 . . . 4 ๐‘€ โˆˆ โ„ค
8 peano2z 9292 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค)
97, 8ax-mp 5 . . 3 (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค
101, 9eqeltri 2250 . 2 ๐‘ โˆˆ โ„ค
113simp2i 1007 . . . 4 2 โˆฅ (๐พ + 1)
12 2z 9284 . . . . 5 2 โˆˆ โ„ค
13 dvdsadd 11846 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ (๐พ + 1) โ†” 2 โˆฅ (2 + (๐พ + 1))))
1412, 6, 13mp2an 426 . . . 4 (2 โˆฅ (๐พ + 1) โ†” 2 โˆฅ (2 + (๐พ + 1)))
1511, 14mpbi 145 . . 3 2 โˆฅ (2 + (๐พ + 1))
16 zcn 9261 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
174, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ๐พ โˆˆ โ„‚
18 ax-1cn 7907 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ โ„‚
1917, 18addcomi 8104 . . . . . . . . 9 (๐พ + 1) = (1 + ๐พ)
202, 19eqtri 2198 . . . . . . . 8 ๐‘€ = (1 + ๐พ)
2120oveq1i 5888 . . . . . . 7 (๐‘€ + 1) = ((1 + ๐พ) + 1)
221, 21eqtri 2198 . . . . . 6 ๐‘ = ((1 + ๐พ) + 1)
23 df-2 8981 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
2423oveq1i 5888 . . . . . . 7 (2 + ๐พ) = ((1 + 1) + ๐พ)
2518, 17, 18add32i 8124 . . . . . . 7 ((1 + ๐พ) + 1) = ((1 + 1) + ๐พ)
2624, 25eqtr4i 2201 . . . . . 6 (2 + ๐พ) = ((1 + ๐พ) + 1)
2722, 26eqtr4i 2201 . . . . 5 ๐‘ = (2 + ๐พ)
2827oveq1i 5888 . . . 4 (๐‘ + 1) = ((2 + ๐พ) + 1)
29 2cn 8993 . . . . 5 2 โˆˆ โ„‚
3029, 17, 18addassi 7968 . . . 4 ((2 + ๐พ) + 1) = (2 + (๐พ + 1))
3128, 30eqtri 2198 . . 3 (๐‘ + 1) = (2 + (๐พ + 1))
3215, 31breqtrri 4032 . 2 2 โˆฅ (๐‘ + 1)
33 elfzuz2 10032 . . . . 5 ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
34 fzm1 10103 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐‘) โ†” ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆจ (๐ด mod 8) = ๐‘)))
3533, 34syl 14 . . . 4 ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐‘) โ†” ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆจ (๐ด mod 8) = ๐‘)))
3635ibi 176 . . 3 ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆจ (๐ด mod 8) = ๐‘))
37 elfzuz2 10032 . . . . . . . 8 ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
38 fzm1 10103 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐‘€) โ†” ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆจ (๐ด mod 8) = ๐‘€)))
3937, 38syl 14 . . . . . . 7 ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐‘€) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐‘€) โ†” ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆจ (๐ด mod 8) = ๐‘€)))
4039ibi 176 . . . . . 6 ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐‘€) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆจ (๐ด mod 8) = ๐‘€))
41 zcn 9261 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
427, 41ax-mp 5 . . . . . . . 8 ๐‘€ โˆˆ โ„‚
4342, 18, 1mvrraddi 8177 . . . . . . 7 (๐‘ โˆ’ 1) = ๐‘€
4443oveq2i 5889 . . . . . 6 (0...(๐‘ โˆ’ 1)) = (0...๐‘€)
4540, 44eleq2s 2272 . . . . 5 ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆจ (๐ด mod 8) = ๐‘€))
4617, 18, 2mvrraddi 8177 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆ’ 1) = ๐พ
4746oveq2i 5889 . . . . . . . 8 (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) = (0...๐พ)
4847eleq2i 2244 . . . . . . 7 ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โ†” (๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐พ))
493simp3i 1008 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐พ) โ†’ (๐ด mod 8) โˆˆ ๐‘†))
5048, 49biimtrid 152 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โ†’ (๐ด mod 8) โˆˆ ๐‘†))
51 2nn 9083 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„•
52 8nn 9089 . . . . . . . . . . 11 8 โˆˆ โ„•
53 4z 9286 . . . . . . . . . . . . . 14 4 โˆˆ โ„ค
54 dvdsmul2 11824 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆฅ (4 ยท 2))
5553, 12, 54mp2an 426 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆฅ (4 ยท 2)
56 4t2e8 9080 . . . . . . . . . . . . 13 (4 ยท 2) = 8
5755, 56breqtri 4030 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆฅ 8
58 dvdsmod 11871 . . . . . . . . . . . 12 (((2 โˆˆ โ„• โˆง 8 โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โˆง 2 โˆฅ 8) โ†’ (2 โˆฅ (๐ด mod 8) โ†” 2 โˆฅ ๐ด))
5957, 58mpan2 425 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„• โˆง 8 โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ (๐ด mod 8) โ†” 2 โˆฅ ๐ด))
6051, 52, 59mp3an12 1327 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆฅ (๐ด mod 8) โ†” 2 โˆฅ ๐ด))
6160notbid 667 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ (๐ด mod 8) โ†” ยฌ 2 โˆฅ ๐ด))
6261biimpar 297 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐ด mod 8))
6311, 2breqtrri 4032 . . . . . . . . 9 2 โˆฅ ๐‘€
64 id 19 . . . . . . . . 9 ((๐ด mod 8) = ๐‘€ โ†’ (๐ด mod 8) = ๐‘€)
6563, 64breqtrrid 4043 . . . . . . . 8 ((๐ด mod 8) = ๐‘€ โ†’ 2 โˆฅ (๐ด mod 8))
6662, 65nsyl 628 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โ†’ ยฌ (๐ด mod 8) = ๐‘€)
6766pm2.21d 619 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ด mod 8) = ๐‘€ โ†’ (๐ด mod 8) โˆˆ ๐‘†))
6850, 67jaod 717 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โ†’ (((๐ด mod 8) โˆˆ (0...(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆจ (๐ด mod 8) = ๐‘€) โ†’ (๐ด mod 8) โˆˆ ๐‘†))
6945, 68syl5 32 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ (๐ด mod 8) โˆˆ ๐‘†))
70 lgsdir2lem2.4 . . . . . 6 ๐‘ โˆˆ ๐‘†
71 eleq1 2240 . . . . . 6 ((๐ด mod 8) = ๐‘ โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ ๐‘† โ†” ๐‘ โˆˆ ๐‘†))
7270, 71mpbiri 168 . . . . 5 ((๐ด mod 8) = ๐‘ โ†’ (๐ด mod 8) โˆˆ ๐‘†)
7372a1i 9 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ด mod 8) = ๐‘ โ†’ (๐ด mod 8) โˆˆ ๐‘†))
7469, 73jaod 717 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โ†’ (((๐ด mod 8) โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆจ (๐ด mod 8) = ๐‘) โ†’ (๐ด mod 8) โˆˆ ๐‘†))
7536, 74syl5 32 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐ด mod 8) โˆˆ ๐‘†))
7610, 32, 753pm3.2i 1175 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ (๐‘ + 1) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐ด mod 8) โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐ด mod 8) โˆˆ ๐‘†)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5878  โ„‚cc 7812  0cc0 7814  1c1 7815   + caddc 7817   ยท cmul 7819   โˆ’ cmin 8131  โ„•cn 8922  2c2 8973  4c4 8975  8c8 8979  โ„คcz 9256  โ„คโ‰ฅcuz 9531  ...cfz 10011   mod cmo 10325   โˆฅ cdvds 11797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-7 8986  df-8 8987  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-fz 10012  df-fl 10273  df-mod 10326  df-dvds 11798
This theorem is referenced by:  lgsdir2lem3  14592
  Copyright terms: Public domain W3C validator