2lgsoddprmlem2 - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem 2lgsoddprmlem2 14493

Description: Lemma 2 for 2lgsoddprm . (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
2lgsoddprmlem2	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8)))

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem2 Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn 9088	. . . . . 6 ⊢ 8 ∈ ℕ
2		nnq 9635	. . . . . 6 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℚ
4		8pos 9024	. . . . 5 ⊢ 0 < 8
5		eqcom 2179	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 8) ↔ (𝑁 mod 8) = 𝑅)
6		modqmuladdim 10369	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8) → ((𝑁 mod 8) = 𝑅 → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅)))
7	5, 6	biimtrid 152	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℚ ∧ 0 < 8) → (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅)))
8	3, 4, 7	mp3an23 1329	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑅 = (𝑁 mod 8) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅)))
9	8	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅))
10	9	3adant2 1016	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → ∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅))
11		zcn 9260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
12		8cn 9007	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
13	12	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 8 ∈ ℂ)
14	11, 13	mulcomd 7981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
15	14	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 8) = (8 · 𝑘))
16	15	oveq1d 5892	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 8) + 𝑅) = ((8 · 𝑘) + 𝑅))
17	16	eqeq2d 2189	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅) ↔ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)))
18		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
19	18	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → 𝑘 ∈ ℤ)
20		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
21	1	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 8 ∈ ℕ)
22	20, 21	zmodcld 10347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 8) ∈ ℕ₀)
23	22	nn0zd 9375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 mod 8) ∈ ℤ)
24	23	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑁 mod 8) ∈ ℤ)
25		eleq1 2240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (𝑅 ∈ ℤ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℤ))
26	25	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑅 ∈ ℤ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℤ))
27	24, 26	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑅 ∈ ℤ)
28	27	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℤ)
29	28	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℤ)
30		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅))
31		2lgsoddprmlem1 14492	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
32	19, 29, 30, 31	syl3anc 1238	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (((𝑁↑2) − 1) / 8) = (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
33	32	breq2d 4017	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
34		2z 9283	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
35		simp1 997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑁 ∈ ℤ)
36	1	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 8 ∈ ℕ)
37	35, 36	zmodcld 10347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑁 mod 8) ∈ ℕ₀)
38	37	nn0red 9232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑁 mod 8) ∈ ℝ)
39		eleq1 2240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (𝑅 ∈ ℝ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℝ))
40	39	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑅 ∈ ℝ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℝ))
41	38, 40	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑅 ∈ ℝ)
42		resqcl 10590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
43		peano2rem 8226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅↑2) ∈ ℝ → ((𝑅↑2) − 1) ∈ ℝ)
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅↑2) − 1) ∈ ℝ)
45		8re 9006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℝ
46	45	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 8 ∈ ℝ)
47	45, 4	gt0ap0ii 8587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 # 0
48	47	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 8 # 0)
49	44, 46, 48	redivclapd 8794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ)
50	41, 49	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ)
51	50	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ)
52		eleq1 2240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 = (𝑁 mod 8) → (𝑅 ∈ ℕ₀ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℕ₀))
53	52	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑅 ∈ ℕ₀ ↔ (𝑁 mod 8) ∈ ℕ₀))
54	37, 53	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → 𝑅 ∈ ℕ₀)
55		nn0z 9275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ₀ → 𝑅 ∈ ℤ)
56	1	nnzi 9276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℤ
57	56	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 8 ∈ ℤ)
58		zsqcl 10593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘↑2) ∈ ℤ)
59	58	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘↑2) ∈ ℤ)
60	57, 59	zmulcld 9383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (8 · (𝑘↑2)) ∈ ℤ)
61	34	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℤ)
62		zmulcl 9308	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℤ)
63	62	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℤ)
64	61, 63	zmulcld 9383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (2 · (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ)
65	60, 64	zaddcld 9381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ)
66		4z 9285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ ℤ
67	66	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℤ)
68	67, 59	zmulcld 9383	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (4 · (𝑘↑2)) ∈ ℤ)
69	68, 63	zaddcld 9381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ)
70		dvdsmul1 11822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅)) ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))))
71	34, 69, 70	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))))
72		4t2e8 9079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (4 · 2) = 8
73		4cn 8999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 4 ∈ ℂ
74		2cn 8992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℂ
75	73, 74	mulcomi 7965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (4 · 2) = (2 · 4)
76	72, 75	eqtr3i 2200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 8 = (2 · 4)
77	76	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 8 = (2 · 4))
78	77	oveq1d 5892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (8 · (𝑘↑2)) = ((2 · 4) · (𝑘↑2)))
79	74	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
80	73	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 4 ∈ ℂ)
81	58	zcnd 9378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘↑2) ∈ ℂ)
82	81	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘↑2) ∈ ℂ)
83	79, 80, 82	mulassd 7983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((2 · 4) · (𝑘↑2)) = (2 · (4 · (𝑘↑2))))
84	78, 83	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (8 · (𝑘↑2)) = (2 · (4 · (𝑘↑2))))
85	84	oveq1d 5892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) = ((2 · (4 · (𝑘↑2))) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))
86	68	zcnd 9378	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (4 · (𝑘↑2)) ∈ ℂ)
87	62	zcnd 9378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℂ)
88	87	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑅) ∈ ℂ)
89	79, 86, 88	adddid 7984	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))) = ((2 · (4 · (𝑘↑2))) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))
90	85, 89	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) = (2 · ((4 · (𝑘↑2)) + (𝑘 · 𝑅))))
91	71, 90	breqtrrd 4033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))
92	65, 91	jca 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅)))))
93	92	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))))
94	54, 55, 93	3syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (𝑘 ∈ ℤ → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))))
95	94	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅)))))
96	95	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅)))))
97		dvdsaddre2b 11850	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ∈ ℝ ∧ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) ∈ ℤ ∧ 2 ∥ ((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))))) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
98	34, 51, 96, 97	mp3an2ani 1344	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((8 · (𝑘↑2)) + (2 · (𝑘 · 𝑅))) + (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
99	33, 98	bitr4d 191	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8)))
100	99	ex 115	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 = ((8 · 𝑘) + 𝑅) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
101	17, 100	sylbid 150	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
102	101	rexlimdva 2594	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (∃𝑘 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑘 · 8) + 𝑅) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8))))
103	10, 102	mpd 13	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑅 = (𝑁 mod 8)) → (2 ∥ (((𝑁↑2) − 1) / 8) ↔ 2 ∥ (((𝑅↑2) − 1) / 8)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∧ w3a 978 = wceq 1353 ∈ wcel 2148 ∃wrex 2456 class class class wbr 4005 (class class class)co 5877 ℂcc 7811 ℝcr 7812 0cc0 7813 1c1 7814 + caddc 7816 · cmul 7818 < clt 7994 − cmin 8130 # cap 8540 / cdiv 8631 ℕcn 8921 2c2 8972 4c4 8974 8c8 8978 ℕ₀cn0 9178 ℤcz 9255 ℚcq 9621 mod cmo 10324 ↑cexp 10521 ∥ cdvds 11796

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 ax-cnex 7904 ax-resscn 7905 ax-1cn 7906 ax-1re 7907 ax-icn 7908 ax-addcl 7909 ax-addrcl 7910 ax-mulcl 7911 ax-mulrcl 7912 ax-addcom 7913 ax-mulcom 7914 ax-addass 7915 ax-mulass 7916 ax-distr 7917 ax-i2m1 7918 ax-0lt1 7919 ax-1rid 7920 ax-0id 7921 ax-rnegex 7922 ax-precex 7923 ax-cnre 7924 ax-pre-ltirr 7925 ax-pre-ltwlin 7926 ax-pre-lttrn 7927 ax-pre-apti 7928 ax-pre-ltadd 7929 ax-pre-mulgt0 7930 ax-pre-mulext 7931 ax-arch 7932

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-if 3537 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-id 4295 df-po 4298 df-iso 4299 df-iord 4368 df-on 4370 df-ilim 4371 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-riota 5833 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-1st 6143 df-2nd 6144 df-recs 6308 df-frec 6394 df-pnf 7996 df-mnf 7997 df-xr 7998 df-ltxr 7999 df-le 8000 df-sub 8132 df-neg 8133 df-reap 8534 df-ap 8541 df-div 8632 df-inn 8922 df-2 8980 df-3 8981 df-4 8982 df-5 8983 df-6 8984 df-7 8985 df-8 8986 df-n0 9179 df-z 9256 df-uz 9531 df-q 9622 df-rp 9656 df-ico 9896 df-fl 10272 df-mod 10325 df-seqfrec 10448 df-exp 10522 df-dvds 11797

This theorem is referenced by: 2lgsoddprmlem4 14499

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