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Theorem lgsdir2lem4 14001
Description: Lemma for lgsdir2 14003. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))

Proof of Theorem lgsdir2lem4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
2 8nn 9057 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ
32a1i 9 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → 8 ∈ ℕ)
41, 3zmodcld 10313 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 mod 8) ∈ ℕ0)
5 elprg 3609 . . . . 5 ((𝐴 mod 8) ∈ ℕ0 → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
64, 5syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
76adantr 276 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
87pm5.32i 454 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) ↔ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
9 zq 9597 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
109ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐴 ∈ ℚ)
11 1nn 8901 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
12 nnq 9604 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℕ → 1 ∈ ℚ)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . 7 1 ∈ ℚ
1413a1i 9 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 1 ∈ ℚ)
15 simplr 528 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐵 ∈ ℤ)
16 nnq 9604 . . . . . . . 8 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
172, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 8 ∈ ℚ
1817a1i 9 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 8 ∈ ℚ)
19 8pos 8993 . . . . . . 7 0 < 8
2019a1i 9 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 0 < 8)
21 simpr 110 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (𝐴 mod 8) = 1)
22 lgsdir2lem1 13998 . . . . . . . . 9 (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))
2322simpli 111 . . . . . . . 8 ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
2423simpli 111 . . . . . . 7 (1 mod 8) = 1
2521, 24eqtr4di 2226 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (𝐴 mod 8) = (1 mod 8))
2610, 14, 15, 18, 20, 25modqmul1 10345 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((1 · 𝐵) mod 8))
27 zcn 9229 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
2827ad2antlr 489 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
2928mulid2d 7950 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
3029oveq1d 5880 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((1 · 𝐵) mod 8) = (𝐵 mod 8))
3126, 30eqtrd 2208 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (𝐵 mod 8))
3231eleq1d 2244 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
339ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐴 ∈ ℚ)
34 qnegcl 9607 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
3513, 34ax-mp 5 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℚ
3635a1i 9 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℚ)
37 simplr 528 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐵 ∈ ℤ)
3817a1i 9 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 8 ∈ ℚ)
3919a1i 9 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 0 < 8)
40 simpr 110 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (𝐴 mod 8) = 7)
4123simpri 113 . . . . . . . 8 (-1 mod 8) = 7
4240, 41eqtr4di 2226 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (𝐴 mod 8) = (-1 mod 8))
4333, 36, 37, 38, 39, 42modqmul1 10345 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((-1 · 𝐵) mod 8))
4427ad2antlr 489 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐵 ∈ ℂ)
4544mulm1d 8341 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
4645oveq1d 5880 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((-1 · 𝐵) mod 8) = (-𝐵 mod 8))
4743, 46eqtrd 2208 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-𝐵 mod 8))
4847eleq1d 2244 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
49 znegcl 9255 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℤ)
50 oveq1 5872 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -𝐵 → (𝑥 mod 8) = (-𝐵 mod 8))
5150eleq1d 2244 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -𝐵 → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
52 negeq 8124 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -𝐵 → -𝑥 = --𝐵)
5352oveq1d 5880 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -𝐵 → (-𝑥 mod 8) = (--𝐵 mod 8))
5453eleq1d 2244 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -𝐵 → ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
5551, 54imbi12d 234 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -𝐵 → (((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}) ↔ ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
56 zcn 9229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
57 neg1cn 8995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ∈ ℂ
58 mulcom 7915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑥 · -1) = (-1 · 𝑥))
5957, 58mpan2 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · -1) = (-1 · 𝑥))
60 mulm1 8331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → (-1 · 𝑥) = -𝑥)
6159, 60eqtrd 2208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · -1) = -𝑥)
6256, 61syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 · -1) = -𝑥)
6362adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 · -1) = -𝑥)
6463oveq1d 5880 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → ((𝑥 · -1) mod 8) = (-𝑥 mod 8))
65 zq 9597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℚ)
6665adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 𝑥 ∈ ℚ)
6713a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 1 ∈ ℚ)
68 neg1z 9256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 ∈ ℤ
6968a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → -1 ∈ ℤ)
7017a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 8 ∈ ℚ)
7119a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 0 < 8)
72 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 mod 8) = 1)
7372, 24eqtr4di 2226 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 mod 8) = (1 mod 8))
7466, 67, 69, 70, 71, 73modqmul1 10345 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((1 · -1) mod 8))
7564, 74eqtr3d 2210 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (-𝑥 mod 8) = ((1 · -1) mod 8))
7657mulid2i 7935 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · -1) = -1
7776oveq1i 5875 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · -1) mod 8) = (-1 mod 8)
7877, 41eqtri 2196 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · -1) mod 8) = 7
7975, 78eqtrdi 2224 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (-𝑥 mod 8) = 7)
8079ex 115 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) = 1 → (-𝑥 mod 8) = 7))
8162adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 · -1) = -𝑥)
8281oveq1d 5880 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → ((𝑥 · -1) mod 8) = (-𝑥 mod 8))
8365adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → 𝑥 ∈ ℚ)
8435a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℚ)
8568a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℤ)
8617a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → 8 ∈ ℚ)
8719a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → 0 < 8)
88 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 mod 8) = 7)
8988, 41eqtr4di 2226 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 mod 8) = (-1 mod 8))
9083, 84, 85, 86, 87, 89modqmul1 10345 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((-1 · -1) mod 8))
9182, 90eqtr3d 2210 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (-𝑥 mod 8) = ((-1 · -1) mod 8))
92 neg1mulneg1e1 9102 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 · -1) = 1
9392oveq1i 5875 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-1 · -1) mod 8) = (1 mod 8)
9493, 24eqtri 2196 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 · -1) mod 8) = 1
9591, 94eqtrdi 2224 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (-𝑥 mod 8) = 1)
9695ex 115 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) = 7 → (-𝑥 mod 8) = 1))
9780, 96orim12d 786 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → (((𝑥 mod 8) = 1 ∨ (𝑥 mod 8) = 7) → ((-𝑥 mod 8) = 7 ∨ (-𝑥 mod 8) = 1)))
98 zmodcl 10312 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℕ) → (𝑥 mod 8) ∈ ℕ0)
992, 98mpan2 425 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 mod 8) ∈ ℕ0)
100 elprg 3609 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 mod 8) ∈ ℕ0 → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑥 mod 8) = 1 ∨ (𝑥 mod 8) = 7)))
10199, 100syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑥 mod 8) = 1 ∨ (𝑥 mod 8) = 7)))
102 znegcl 9255 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
1032a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℤ → 8 ∈ ℕ)
104102, 103zmodcld 10313 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℤ → (-𝑥 mod 8) ∈ ℕ0)
105 elprg 3609 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝑥 mod 8) ∈ ℕ0 → ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((-𝑥 mod 8) = 1 ∨ (-𝑥 mod 8) = 7)))
106104, 105syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((-𝑥 mod 8) = 1 ∨ (-𝑥 mod 8) = 7)))
107 orcom 728 . . . . . . . . . . 11 (((-𝑥 mod 8) = 1 ∨ (-𝑥 mod 8) = 7) ↔ ((-𝑥 mod 8) = 7 ∨ (-𝑥 mod 8) = 1))
108106, 107bitrdi 196 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((-𝑥 mod 8) = 7 ∨ (-𝑥 mod 8) = 1)))
10997, 101, 1083imtr4d 203 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}))
11055, 109vtoclga 2801 . . . . . . . 8 (-𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
11149, 110syl 14 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
11227negnegd 8233 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℤ → --𝐵 = 𝐵)
113112oveq1d 5880 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → (--𝐵 mod 8) = (𝐵 mod 8))
114113eleq1d 2244 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → ((--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
115111, 114sylibd 149 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
116 oveq1 5872 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 mod 8) = (𝐵 mod 8))
117116eleq1d 2244 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
118 negeq 8124 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵 → -𝑥 = -𝐵)
119118oveq1d 5880 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (-𝑥 mod 8) = (-𝐵 mod 8))
120119eleq1d 2244 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
121117, 120imbi12d 234 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}) ↔ ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
122121, 109vtoclga 2801 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
123115, 122impbid 129 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
124123ad2antlr 489 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
12548, 124bitrd 188 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
12632, 125jaodan 797 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
1278, 126sylbi 121 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wcel 2146  {cpr 3590   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865  cc 7784  0cc0 7786  1c1 7787   · cmul 7791   < clt 7966  -cneg 8103  cn 8890  3c3 8942  5c5 8944  7c7 8946  8c8 8947  0cn0 9147  cz 9224  cq 9590   mod cmo 10290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-5 8952  df-6 8953  df-7 8954  df-8 8955  df-n0 9148  df-z 9225  df-q 9591  df-rp 9623  df-fl 10238  df-mod 10291
This theorem is referenced by:  lgsdir2  14003
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