Theorem lgsdir2lem4 15147

Description: Lemma for lgsdir2 15149. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem4	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))

Proof of Theorem lgsdir2lem4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ)
2		8nn 9149	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 8 ∈ ℕ)
4	1, 3	zmodcld 10416	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 mod 8) ∈ ℕ0)
5		elprg 3638	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 mod 8) ∈ ℕ0 → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
7	6	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
8	7	pm5.32i 454	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) ↔ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)))
9		zq 9691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
10	9	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐴 ∈ ℚ)
11		1nn 8993	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
12		nnq 9698	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ∈ ℚ)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℚ
14	13	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 1 ∈ ℚ)
15		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐵 ∈ ℤ)
16		nnq 9698	. . . . . . . 8 ⊢ (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℚ)
17	2, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℚ
18	17	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 8 ∈ ℚ)
19		8pos 9085	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 8
20	19	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 0 < 8)
21		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (𝐴 mod 8) = 1)
22		lgsdir2lem1 15144	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))
23	22	simpli 111	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
24	23	simpli 111	. . . . . . 7 ⊢ (1 mod 8) = 1
25	21, 24	eqtr4di 2244	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (𝐴 mod 8) = (1 mod 8))
26	10, 14, 15, 18, 20, 25	modqmul1 10448	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((1 · 𝐵) mod 8))
27		zcn 9322	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
28	27	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
29	28	mulid2d 8038	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
30	29	oveq1d 5933	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((1 · 𝐵) mod 8) = (𝐵 mod 8))
31	26, 30	eqtrd 2226	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (𝐵 mod 8))
32	31	eleq1d 2262	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
33	9	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐴 ∈ ℚ)
34		qnegcl 9701	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℚ → -1 ∈ ℚ)
35	13, 34	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℚ
36	35	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℚ)
37		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐵 ∈ ℤ)
38	17	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 8 ∈ ℚ)
39	19	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 0 < 8)
40		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (𝐴 mod 8) = 7)
41	23	simpri 113	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 mod 8) = 7
42	40, 41	eqtr4di 2244	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (𝐴 mod 8) = (-1 mod 8))
43	33, 36, 37, 38, 39, 42	modqmul1 10448	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((-1 · 𝐵) mod 8))
44	27	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐵 ∈ ℂ)
45	44	mulm1d 8429	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
46	45	oveq1d 5933	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((-1 · 𝐵) mod 8) = (-𝐵 mod 8))
47	43, 46	eqtrd 2226	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-𝐵 mod 8))
48	47	eleq1d 2262	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
49		znegcl 9348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℤ)
50		oveq1 5925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → (𝑥 mod 8) = (-𝐵 mod 8))
51	50	eleq1d 2262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
52		negeq 8212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → -𝑥 = --𝐵)
53	52	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → (-𝑥 mod 8) = (--𝐵 mod 8))
54	53	eleq1d 2262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
55	51, 54	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -𝐵 → (((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}) ↔ ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
56		zcn 9322	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
57		neg1cn 9087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -1 ∈ ℂ
58		mulcom 8001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑥 · -1) = (-1 · 𝑥))
59	57, 58	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · -1) = (-1 · 𝑥))
60		mulm1 8419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-1 · 𝑥) = -𝑥)
61	59, 60	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · -1) = -𝑥)
62	56, 61	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 · -1) = -𝑥)
63	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 · -1) = -𝑥)
64	63	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → ((𝑥 · -1) mod 8) = (-𝑥 mod 8))
65		zq 9691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℚ)
66	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 𝑥 ∈ ℚ)
67	13	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 1 ∈ ℚ)
68		neg1z 9349	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -1 ∈ ℤ
69	68	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → -1 ∈ ℤ)
70	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 8 ∈ ℚ)
71	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 0 < 8)
72		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 mod 8) = 1)
73	72, 24	eqtr4di 2244	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 mod 8) = (1 mod 8))
74	66, 67, 69, 70, 71, 73	modqmul1 10448	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((1 · -1) mod 8))
75	64, 74	eqtr3d 2228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (-𝑥 mod 8) = ((1 · -1) mod 8))
76	57	mullidi 8022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · -1) = -1
77	76	oveq1i 5928	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 · -1) mod 8) = (-1 mod 8)
78	77, 41	eqtri 2214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 · -1) mod 8) = 7
79	75, 78	eqtrdi 2242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (-𝑥 mod 8) = 7)
80	79	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) = 1 → (-𝑥 mod 8) = 7))
81	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 · -1) = -𝑥)
82	81	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → ((𝑥 · -1) mod 8) = (-𝑥 mod 8))
83	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → 𝑥 ∈ ℚ)
84	35	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℚ)
85	68	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℤ)
86	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → 8 ∈ ℚ)
87	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → 0 < 8)
88		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 mod 8) = 7)
89	88, 41	eqtr4di 2244	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 mod 8) = (-1 mod 8))
90	83, 84, 85, 86, 87, 89	modqmul1 10448	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((-1 · -1) mod 8))
91	82, 90	eqtr3d 2228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (-𝑥 mod 8) = ((-1 · -1) mod 8))
92		neg1mulneg1e1 9194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-1 · -1) = 1
93	92	oveq1i 5928	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-1 · -1) mod 8) = (1 mod 8)
94	93, 24	eqtri 2214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-1 · -1) mod 8) = 1
95	91, 94	eqtrdi 2242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (-𝑥 mod 8) = 1)
96	95	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) = 7 → (-𝑥 mod 8) = 1))
97	80, 96	orim12d 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((𝑥 mod 8) = 1 ∨ (𝑥 mod 8) = 7) → ((-𝑥 mod 8) = 7 ∨ (-𝑥 mod 8) = 1)))
98		zmodcl 10415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℕ) → (𝑥 mod 8) ∈ ℕ0)
99	2, 98	mpan2 425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 mod 8) ∈ ℕ0)
100		elprg 3638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 mod 8) ∈ ℕ0 → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑥 mod 8) = 1 ∨ (𝑥 mod 8) = 7)))
101	99, 100	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑥 mod 8) = 1 ∨ (𝑥 mod 8) = 7)))
102		znegcl 9348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
103	2	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 8 ∈ ℕ)
104	102, 103	zmodcld 10416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (-𝑥 mod 8) ∈ ℕ0)
105		elprg 3638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-𝑥 mod 8) ∈ ℕ0 → ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((-𝑥 mod 8) = 1 ∨ (-𝑥 mod 8) = 7)))
106	104, 105	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((-𝑥 mod 8) = 1 ∨ (-𝑥 mod 8) = 7)))
107		orcom 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((-𝑥 mod 8) = 1 ∨ (-𝑥 mod 8) = 7) ↔ ((-𝑥 mod 8) = 7 ∨ (-𝑥 mod 8) = 1))
108	106, 107	bitrdi 196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((-𝑥 mod 8) = 7 ∨ (-𝑥 mod 8) = 1)))
109	97, 101, 108	3imtr4d 203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}))
110	55, 109	vtoclga 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
111	49, 110	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
112	27	negnegd 8321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → --𝐵 = 𝐵)
113	112	oveq1d 5933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (--𝐵 mod 8) = (𝐵 mod 8))
114	113	eleq1d 2262	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
115	111, 114	sylibd 149	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
116		oveq1 5925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 mod 8) = (𝐵 mod 8))
117	116	eleq1d 2262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
118		negeq 8212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → -𝑥 = -𝐵)
119	118	oveq1d 5933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (-𝑥 mod 8) = (-𝐵 mod 8))
120	119	eleq1d 2262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
121	117, 120	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}) ↔ ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
122	121, 109	vtoclga 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
123	115, 122	impbid 129	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
124	123	ad2antlr 489	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
125	48, 124	bitrd 188	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
126	32, 125	jaodan 798	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
127	8, 126	sylbi 121	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {cpr 3619   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  0cc0 7872  1c1 7873   · cmul 7877   < clt 8054  -cneg 8191  ℕcn 8982  3c3 9034  5c5 9036  7c7 9038  8c8 9039  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317  ℚcq 9684   mod cmo 10393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-n0 9241  df-z 9318  df-q 9685  df-rp 9720  df-fl 10339  df-mod 10394

This theorem is referenced by:  lgsdir2  15149