Theorem sinq12gt0 15498

Description: The sine of a number strictly between 0 and π is positive. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinq12gt0	⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘𝐴))

Proof of Theorem sinq12gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 8189	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		pire 15454	. . . 4 ⊢ π ∈ ℝ
3	2	rexri 8200	. . 3 ⊢ π ∈ ℝ*
4		elioo2 10113	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π)))
5	1, 3, 4	mp2an 426	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π))
6		rehalfcl 9334	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
7	6	3ad2ant1 1042	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
8		halfpos2 9337	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝐴 / 2)))
9	8	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 / 2))
10	9	3adant3 1041	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 0 < (𝐴 / 2))
11		2re 9176	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
12		2pos 9197	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
13	11, 12	pm3.2i 272	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
14		ltdiv1 9011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
15	2, 13, 14	mp3an23 1363	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
16	15	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 < π ↔ (𝐴 / 2) < (π / 2)))
17	16	biimp3a 1379	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (𝐴 / 2) < (π / 2))
18		sincosq1lem 15493	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) < (π / 2)) → 0 < (sin‘(𝐴 / 2)))
19	7, 10, 17, 18	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 0 < (sin‘(𝐴 / 2)))
20		resubcl 8406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (π − 𝐴) ∈ ℝ)
21	2, 20	mpan 424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π − 𝐴) ∈ ℝ)
22		rehalfcl 9334	. . . . . . . 8 ⊢ ((π − 𝐴) ∈ ℝ → ((π − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
23	21, 22	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
24	23	3ad2ant1 1042	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → ((π − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
25		posdif 8598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝐴 < π ↔ 0 < (π − 𝐴)))
26	2, 25	mpan2 425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π ↔ 0 < (π − 𝐴)))
27		halfpos2 9337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π − 𝐴) ∈ ℝ → (0 < (π − 𝐴) ↔ 0 < ((π − 𝐴) / 2)))
28	21, 27	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (π − 𝐴) ↔ 0 < ((π − 𝐴) / 2)))
29	26, 28	bitrd 188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < π ↔ 0 < ((π − 𝐴) / 2)))
30	29	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 < π ↔ 0 < ((π − 𝐴) / 2)))
31	30	biimp3a 1379	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 0 < ((π − 𝐴) / 2))
32		ltsubpos 8597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ (π − 𝐴) < π))
33	2, 32	mpan2 425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (π − 𝐴) < π))
34		ltdiv1 9011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((π − 𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π − 𝐴) < π ↔ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)))
35	2, 13, 34	mp3an23 1363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π − 𝐴) ∈ ℝ → ((π − 𝐴) < π ↔ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)))
36	21, 35	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π − 𝐴) < π ↔ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)))
37	33, 36	bitrd 188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)))
38	37	biimpa 296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2))
39	38	3adant3 1041	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2))
40		sincosq1lem 15493	. . . . . 6 ⊢ ((((π − 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π − 𝐴) / 2) ∧ ((π − 𝐴) / 2) < (π / 2)) → 0 < (sin‘((π − 𝐴) / 2)))
41	24, 31, 39, 40	syl3anc 1271	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 0 < (sin‘((π − 𝐴) / 2)))
42		recn 8128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
43		picn 15455	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℂ
44		2cn 9177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
45		2ap0 9199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 # 0
46	44, 45	pm3.2i 272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
47		divsubdirap 8851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → ((π − 𝐴) / 2) = ((π / 2) − (𝐴 / 2)))
48	43, 46, 47	mp3an13 1362	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((π − 𝐴) / 2) = ((π / 2) − (𝐴 / 2)))
49	42, 48	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π − 𝐴) / 2) = ((π / 2) − (𝐴 / 2)))
50	49	fveq2d 5630	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π − 𝐴) / 2)) = (sin‘((π / 2) − (𝐴 / 2))))
51	6	recnd 8171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
52		sinhalfpim 15489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − (𝐴 / 2))) = (cos‘(𝐴 / 2)))
53	51, 52	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) − (𝐴 / 2))) = (cos‘(𝐴 / 2)))
54	50, 53	eqtrd 2262	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π − 𝐴) / 2)) = (cos‘(𝐴 / 2)))
55	54	3ad2ant1 1042	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (sin‘((π − 𝐴) / 2)) = (cos‘(𝐴 / 2)))
56	41, 55	breqtrd 4108	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
57		resincl 12226	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
58		recoscl 12227	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
59	57, 58	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ))
60		axmulgt0 8214	. . . . . . 7 ⊢ (((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
61	6, 59, 60	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
62		remulcl 8123	. . . . . . . . 9 ⊢ (((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
63	6, 59, 62	3syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
64		axmulgt0 8214	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ) → ((0 < 2 ∧ 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
65	11, 63, 64	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 2 ∧ 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
66	12, 65	mpani 430	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
67	61, 66	syld 45	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
68	67	3ad2ant1 1042	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
69	19, 56, 68	mp2and 433	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
70		divcanap2 8823	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
71	44, 45, 70	mp3an23 1363	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
72	42, 71	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
73	72	fveq2d 5630	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (sin‘𝐴))
74		sin2t 12255	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
75	51, 74	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
76	73, 75	eqtr3d 2264	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
77	76	3ad2ant1 1042	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (sin‘𝐴) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
78	69, 77	breqtrrd 4110	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → 0 < (sin‘𝐴))
79	5, 78	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  ℂcc 7993  ℝcr 7994  0cc0 7995   · cmul 8000  ℝ^*cxr 8176   < clt 8177   − cmin 8313   # cap 8724   / cdiv 8815  2c2 9157  (,)cioo 10080  sincsin 12150  cosccos 12151  πcpi 12153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115  ax-pre-suploc 8116  ax-addf 8117  ax-mulf 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-disj 4059  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-of 6216  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-frec 6535  df-1o 6560  df-oadd 6564  df-er 6678  df-map 6795  df-pm 6796  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-sup 7147  df-inf 7148  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-9 9172  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-xneg 9964  df-xadd 9965  df-ioo 10084  df-ioc 10085  df-ico 10086  df-icc 10087  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-fac 10943  df-bc 10965  df-ihash 10993  df-shft 11321  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-clim 11785  df-sumdc 11860  df-ef 12154  df-sin 12156  df-cos 12157  df-pi 12159  df-rest 13269  df-topgen 13288  df-psmet 14501  df-xmet 14502  df-met 14503  df-bl 14504  df-mopn 14505  df-top 14666  df-topon 14679  df-bases 14711  df-ntr 14764  df-cn 14856  df-cnp 14857  df-tx 14921  df-cncf 15239  df-limced 15324  df-dvap 15325

This theorem is referenced by:  sinq34lt0t  15499  cosq14gt0  15500  cosordlem  15517