Theorem sin02gt0 12315

Description: The sine of a positive real number less than or equal to 2 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sin02gt0	⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝐴))

Proof of Theorem sin02gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 8216	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		2re 9203	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		elioc2 10161	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]2) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2)))
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2))
5		rehalfcl 9361	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
6	5	3ad2ant1 1042	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
7	4, 6	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
8		resincl 12271	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
9		recoscl 12272	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
10	8, 9	remulcld 8200	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
11	7, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
12		2pos 9224	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
13		divgt0 9042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < (𝐴 / 2))
14	2, 12, 13	mpanr12 439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 / 2))
15	14	3adant3 1041	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2) → 0 < (𝐴 / 2))
16	2, 12	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
17		lediv1 9039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 ≤ 2 ↔ (𝐴 / 2) ≤ (2 / 2)))
18	2, 16, 17	mp3an23 1363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 2 ↔ (𝐴 / 2) ≤ (2 / 2)))
19	18	biimpa 296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ≤ (2 / 2))
20		2div2e1 9266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 / 2) = 1
21	19, 20	breqtrdi 4127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ≤ 1)
22	21	3adant2 1040	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ≤ 1)
23	6, 15, 22	3jca 1201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2) → ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1))
24		1re 8168	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
25		elioc2 10161	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1)))
26	1, 24, 25	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1))
27	23, 4, 26	3imtr4i 201	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (𝐴 / 2) ∈ (0(,]1))
28		sin01gt0 12313	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘(𝐴 / 2)))
29	27, 28	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(𝐴 / 2)))
30		cos01gt0 12314	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
31	27, 30	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
32		axmulgt0 8241	. . . . . . 7 ⊢ (((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
33	8, 9, 32	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
34	7, 33	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
35	29, 31, 34	mp2and 433	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))
36		axmulgt0 8241	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ) → ((0 < 2 ∧ 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
37	2, 36	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ → ((0 < 2 ∧ 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
38	12, 37	mpani 430	. . . 4 ⊢ (((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ → (0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
39	11, 35, 38	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
40	7	recnd 8198	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
41		sin2t 12300	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
42	40, 41	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
43	39, 42	breqtrrd 4114	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(2 · (𝐴 / 2))))
44	4	simp1bi 1036	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 𝐴 ∈ ℝ)
45	44	recnd 8198	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 𝐴 ∈ ℂ)
46		2cn 9204	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
47		2ap0 9226	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
48		divcanap2 8850	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
49	46, 47, 48	mp3an23 1363	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
50	45, 49	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
51	50	fveq2d 5639	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (sin‘𝐴))
52	43, 51	breqtrd 4112	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℂcc 8020  ℝcr 8021  0cc0 8022  1c1 8023   · cmul 8027  ℝ^*cxr 8203   < clt 8204   ≤ cle 8205   # cap 8751   / cdiv 8842  2c2 9184  (,]cioc 10114  sincsin 12195  cosccos 12196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-disj 4063  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-sup 7174  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-ioc 10118  df-ico 10119  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-fac 10978  df-bc 11000  df-ihash 11028  df-shft 11366  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-clim 11830  df-sumdc 11905  df-ef 12199  df-sin 12201  df-cos 12202

This theorem is referenced by:  sincos2sgn  12317  cos12dec  12319  sin0pilem1  15495  sin0pilem2  15496  sinhalfpilem  15505  sincosq1lem  15539