ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sin02gt0 GIF version

Theorem sin02gt0 11268
Description: The sine of a positive real number less than or equal to 2 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sin02gt0 (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝐴))

Proof of Theorem sin02gt0
StepHypRef Expression
1 0xr 7684 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
2 2re 8648 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3 elioc2 9560 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]2) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 2)))
41, 2, 3mp2an 420 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]2) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 2))
5 rehalfcl 8799 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
653ad2ant1 970 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
74, 6sylbi 120 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
8 resincl 11225 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
9 recoscl 11226 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
108, 9remulcld 7668 . . . . 5 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
117, 10syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]2) → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
12 2pos 8669 . . . . . . . . . 10 0 < 2
13 divgt0 8488 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < (𝐴 / 2))
142, 12, 13mpanr12 433 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 / 2))
15143adant3 969 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 2) → 0 < (𝐴 / 2))
162, 12pm3.2i 268 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
17 lediv1 8485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 ≤ 2 ↔ (𝐴 / 2) ≤ (2 / 2)))
182, 16, 17mp3an23 1275 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 2 ↔ (𝐴 / 2) ≤ (2 / 2)))
1918biimpa 292 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ≤ (2 / 2))
20 2div2e1 8704 . . . . . . . . . 10 (2 / 2) = 1
2119, 20syl6breq 3914 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ≤ 1)
22213adant2 968 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ≤ 1)
236, 15, 223jca 1129 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 2) → ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1))
24 1re 7637 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
25 elioc2 9560 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1)))
261, 24, 25mp2an 420 . . . . . . 7 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1))
2723, 4, 263imtr4i 200 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]2) → (𝐴 / 2) ∈ (0(,]1))
28 sin01gt0 11266 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘(𝐴 / 2)))
2927, 28syl 14 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(𝐴 / 2)))
30 cos01gt0 11267 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
3127, 30syl 14 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
32 axmulgt0 7708 . . . . . . 7 (((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
338, 9, 32syl2anc 406 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
347, 33syl 14 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
3529, 31, 34mp2and 427 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))
36 axmulgt0 7708 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ) → ((0 < 2 ∧ 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
372, 36mpan 418 . . . . 5 (((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ → ((0 < 2 ∧ 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
3812, 37mpani 424 . . . 4 (((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ → (0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
3911, 35, 38sylc 62 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
407recnd 7666 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]2) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
41 sin2t 11254 . . . 4 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
4240, 41syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]2) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
4339, 42breqtrrd 3901 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(2 · (𝐴 / 2))))
444simp1bi 964 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) → 𝐴 ∈ ℝ)
4544recnd 7666 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]2) → 𝐴 ∈ ℂ)
46 2cn 8649 . . . . 5 2 ∈ ℂ
47 2ap0 8671 . . . . 5 2 # 0
48 divcanap2 8301 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
4946, 47, 48mp3an23 1275 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
5045, 49syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]2) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
5150fveq2d 5357 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]2) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (sin‘𝐴))
5243, 51breqtrd 3899 1 (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 930   = wceq 1299  wcel 1448   class class class wbr 3875  cfv 5059  (class class class)co 5706  cc 7498  cr 7499  0cc0 7500  1c1 7501   · cmul 7505  *cxr 7671   < clt 7672  cle 7673   # cap 8209   / cdiv 8293  2c2 8629  (,]cioc 9513  sincsin 11148  cosccos 11149
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-disj 3853  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-isom 5068  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-irdg 6197  df-frec 6218  df-1o 6243  df-oadd 6247  df-er 6359  df-en 6565  df-dom 6566  df-fin 6567  df-sup 6786  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-5 8640  df-6 8641  df-7 8642  df-8 8643  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-q 9262  df-rp 9292  df-ioc 9517  df-ico 9518  df-fz 9632  df-fzo 9761  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-fac 10313  df-bc 10335  df-ihash 10363  df-shft 10428  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611  df-clim 10887  df-sumdc 10962  df-ef 11152  df-sin 11154  df-cos 11155
This theorem is referenced by:  sincos2sgn  11270
  Copyright terms: Public domain W3C validator