Theorem sin02gt0 12509

Description: The sine of a positive real number less than or equal to 2 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sin02gt0	⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝐴))

Proof of Theorem sin02gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 8362	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		2re 9353	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		elioc2 10317	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]2) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2)))
4	1, 2, 3	mp2an 430	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2))
5		rehalfcl 9511	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
6	5	3ad2ant1 1049	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
7	4, 6	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
8		resincl 12465	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
9		recoscl 12466	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
10	8, 9	remulcld 8346	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
11	7, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
12		2pos 9374	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
13		divgt0 9192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < (𝐴 / 2))
14	2, 12, 13	mpanr12 443	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 / 2))
15	14	3adant3 1048	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2) → 0 < (𝐴 / 2))
16	2, 12	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
17		lediv1 9189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 ≤ 2 ↔ (𝐴 / 2) ≤ (2 / 2)))
18	2, 16, 17	mp3an23 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 2 ↔ (𝐴 / 2) ≤ (2 / 2)))
19	18	biimpa 296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ≤ (2 / 2))
20		2div2e1 9416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 / 2) = 1
21	19, 20	breqtrdi 4166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ≤ 1)
22	21	3adant2 1047	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ≤ 1)
23	6, 15, 22	3jca 1208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2) → ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1))
24		1re 8315	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
25		elioc2 10317	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1)))
26	1, 24, 25	mp2an 430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1))
27	23, 4, 26	3imtr4i 201	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (𝐴 / 2) ∈ (0(,]1))
28		sin01gt0 12507	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘(𝐴 / 2)))
29	27, 28	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(𝐴 / 2)))
30		cos01gt0 12508	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
31	27, 30	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
32		axmulgt0 8387	. . . . . . 7 ⊢ (((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
33	8, 9, 32	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
34	7, 33	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
35	29, 31, 34	mp2and 437	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))
36		axmulgt0 8387	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ) → ((0 < 2 ∧ 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
37	2, 36	mpan 428	. . . . 5 ⊢ (((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ → ((0 < 2 ∧ 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
38	12, 37	mpani 434	. . . 4 ⊢ (((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ → (0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
39	11, 35, 38	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
40	7	recnd 8344	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
41		sin2t 12494	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
42	40, 41	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
43	39, 42	breqtrrd 4153	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(2 · (𝐴 / 2))))
44	4	simp1bi 1043	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 𝐴 ∈ ℝ)
45	44	recnd 8344	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 𝐴 ∈ ℂ)
46		2cn 9354	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
47		2ap0 9376	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
48		divcanap2 9000	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
49	46, 47, 48	mp3an23 1370	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
50	45, 49	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
51	50	fveq2d 5694	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (sin‘𝐴))
52	43, 51	breqtrd 4151	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  ℝcr 8168  0cc0 8169  1c1 8170   · cmul 8174  ℝ^*cxr 8349   < clt 8350   ≤ cle 8351   # cap 8899   / cdiv 8992  2c2 9334  (,]cioc 10270  sincsin 12389  cosccos 12390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-disj 4102  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-sup 7314  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-ioc 10274  df-ico 10275  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-fac 11142  df-bc 11164  df-ihash 11193  df-shft 11558  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098  df-ef 12393  df-sin 12395  df-cos 12396

This theorem is referenced by:  sincos2sgn  12511  cos12dec  12513  sin0pilem1  15805  sin0pilem2  15806  sinhalfpilem  15815  sincosq1lem  15849