ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sin02gt0 GIF version

Theorem sin02gt0 11771
Description: The sine of a positive real number less than or equal to 2 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sin02gt0 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ 0 < (sinβ€˜π΄))

Proof of Theorem sin02gt0
StepHypRef Expression
1 0xr 8004 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
2 2re 8989 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3 elioc2 9936 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ (0(,]2) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 2)))
41, 2, 3mp2an 426 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]2) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 2))
5 rehalfcl 9146 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
653ad2ant1 1018 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 2) β†’ (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
74, 6sylbi 121 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
8 resincl 11728 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
9 recoscl 11729 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
108, 9remulcld 7988 . . . . 5 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ β†’ ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
117, 10syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
12 2pos 9010 . . . . . . . . . 10 0 < 2
13 divgt0 8829 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ 0 < (𝐴 / 2))
142, 12, 13mpanr12 439 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) β†’ 0 < (𝐴 / 2))
15143adant3 1017 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 2) β†’ 0 < (𝐴 / 2))
162, 12pm3.2i 272 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
17 lediv1 8826 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (𝐴 ≀ 2 ↔ (𝐴 / 2) ≀ (2 / 2)))
182, 16, 17mp3an23 1329 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴 ≀ 2 ↔ (𝐴 / 2) ≀ (2 / 2)))
1918biimpa 296 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 2) β†’ (𝐴 / 2) ≀ (2 / 2))
20 2div2e1 9051 . . . . . . . . . 10 (2 / 2) = 1
2119, 20breqtrdi 4045 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 2) β†’ (𝐴 / 2) ≀ 1)
22213adant2 1016 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 2) β†’ (𝐴 / 2) ≀ 1)
236, 15, 223jca 1177 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 2) β†’ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≀ 1))
24 1re 7956 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
25 elioc2 9936 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≀ 1)))
261, 24, 25mp2an 426 . . . . . . 7 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≀ 1))
2723, 4, 263imtr4i 201 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ (𝐴 / 2) ∈ (0(,]1))
28 sin01gt0 11769 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) β†’ 0 < (sinβ€˜(𝐴 / 2)))
2927, 28syl 14 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ 0 < (sinβ€˜(𝐴 / 2)))
30 cos01gt0 11770 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) β†’ 0 < (cosβ€˜(𝐴 / 2)))
3127, 30syl 14 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ 0 < (cosβ€˜(𝐴 / 2)))
32 axmulgt0 8029 . . . . . . 7 (((sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cosβ€˜(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) β†’ ((0 < (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cosβ€˜(𝐴 / 2))) β†’ 0 < ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
338, 9, 32syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℝ β†’ ((0 < (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cosβ€˜(𝐴 / 2))) β†’ 0 < ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
347, 33syl 14 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ ((0 < (sinβ€˜(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cosβ€˜(𝐴 / 2))) β†’ 0 < ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
3529, 31, 34mp2and 433 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ 0 < ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))))
36 axmulgt0 8029 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) ∈ ℝ) β†’ ((0 < 2 ∧ 0 < ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))) β†’ 0 < (2 Β· ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))))))
372, 36mpan 424 . . . . 5 (((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) ∈ ℝ β†’ ((0 < 2 ∧ 0 < ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))) β†’ 0 < (2 Β· ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))))))
3812, 37mpani 430 . . . 4 (((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) ∈ ℝ β†’ (0 < ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))) β†’ 0 < (2 Β· ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2))))))
3911, 35, 38sylc 62 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ 0 < (2 Β· ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
407recnd 7986 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ (𝐴 / 2) ∈ β„‚)
41 sin2t 11757 . . . 4 ((𝐴 / 2) ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2))) = (2 Β· ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
4240, 41syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ (sinβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2))) = (2 Β· ((sinβ€˜(𝐴 / 2)) Β· (cosβ€˜(𝐴 / 2)))))
4339, 42breqtrrd 4032 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ 0 < (sinβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2))))
444simp1bi 1012 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4544recnd 7986 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
46 2cn 8990 . . . . 5 2 ∈ β„‚
47 2ap0 9012 . . . . 5 2 # 0
48 divcanap2 8637 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 # 0) β†’ (2 Β· (𝐴 / 2)) = 𝐴)
4946, 47, 48mp3an23 1329 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (2 Β· (𝐴 / 2)) = 𝐴)
5045, 49syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ (2 Β· (𝐴 / 2)) = 𝐴)
5150fveq2d 5520 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ (sinβ€˜(2 Β· (𝐴 / 2))) = (sinβ€˜π΄))
5243, 51breqtrd 4030 1 (𝐴 ∈ (0(,]2) β†’ 0 < (sinβ€˜π΄))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  β„‚cc 7809  β„cr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   Β· cmul 7816  β„*cxr 7991   < clt 7992   ≀ cle 7993   # cap 8538   / cdiv 8629  2c2 8970  (,]cioc 9889  sincsin 11652  cosccos 11653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-disj 3982  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-sup 6983  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-5 8981  df-6 8982  df-7 8983  df-8 8984  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-ioc 9893  df-ico 9894  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-fac 10706  df-bc 10728  df-ihash 10756  df-shft 10824  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362  df-ef 11656  df-sin 11658  df-cos 11659
This theorem is referenced by:  sincos2sgn  11773  cos12dec  11775  sin0pilem1  14205  sin0pilem2  14206  sinhalfpilem  14215  sincosq1lem  14249
  Copyright terms: Public domain W3C validator