Theorem sin02gt0 12324

Description: The sine of a positive real number less than or equal to 2 is positive. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sin02gt0	⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝐴))

Proof of Theorem sin02gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 8225	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		2re 9212	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		elioc2 10170	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]2) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2)))
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2))
5		rehalfcl 9370	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
6	5	3ad2ant1 1044	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
7	4, 6	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
8		resincl 12280	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
9		recoscl 12281	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
10	8, 9	remulcld 8209	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
11	7, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ)
12		2pos 9233	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
13		divgt0 9051	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < (𝐴 / 2))
14	2, 12, 13	mpanr12 439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 / 2))
15	14	3adant3 1043	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2) → 0 < (𝐴 / 2))
16	2, 12	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
17		lediv1 9048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐴 ≤ 2 ↔ (𝐴 / 2) ≤ (2 / 2)))
18	2, 16, 17	mp3an23 1365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 2 ↔ (𝐴 / 2) ≤ (2 / 2)))
19	18	biimpa 296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ≤ (2 / 2))
20		2div2e1 9275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 / 2) = 1
21	19, 20	breqtrdi 4129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ≤ 1)
22	21	3adant2 1042	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2) → (𝐴 / 2) ≤ 1)
23	6, 15, 22	3jca 1203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 2) → ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1))
24		1re 8177	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
25		elioc2 10170	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1)))
26	1, 24, 25	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ 1))
27	23, 4, 26	3imtr4i 201	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (𝐴 / 2) ∈ (0(,]1))
28		sin01gt0 12322	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘(𝐴 / 2)))
29	27, 28	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(𝐴 / 2)))
30		cos01gt0 12323	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
31	27, 30	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (cos‘(𝐴 / 2)))
32		axmulgt0 8250	. . . . . . 7 ⊢ (((sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ ∧ (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ) → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
33	8, 9, 32	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
34	7, 33	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → ((0 < (sin‘(𝐴 / 2)) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
35	29, 31, 34	mp2and 433	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))
36		axmulgt0 8250	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ) → ((0 < 2 ∧ 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
37	2, 36	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ → ((0 < 2 ∧ 0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
38	12, 37	mpani 430	. . . 4 ⊢ (((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℝ → (0 < ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
39	11, 35, 38	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
40	7	recnd 8207	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
41		sin2t 12309	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
42	40, 41	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
43	39, 42	breqtrrd 4116	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(2 · (𝐴 / 2))))
44	4	simp1bi 1038	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 𝐴 ∈ ℝ)
45	44	recnd 8207	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 𝐴 ∈ ℂ)
46		2cn 9213	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
47		2ap0 9235	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
48		divcanap2 8859	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
49	46, 47, 48	mp3an23 1365	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
50	45, 49	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
51	50	fveq2d 5643	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (sin‘𝐴))
52	43, 51	breqtrd 4114	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  ℂcc 8029  ℝcr 8030  0cc0 8031  1c1 8032   · cmul 8036  ℝ^*cxr 8212   < clt 8213   ≤ cle 8214   # cap 8760   / cdiv 8851  2c2 9193  (,]cioc 10123  sincsin 12204  cosccos 12205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-disj 4065  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-frec 6556  df-1o 6581  df-oadd 6585  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-sup 7182  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-ioc 10127  df-ico 10128  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-fac 10987  df-bc 11009  df-ihash 11037  df-shft 11375  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-clim 11839  df-sumdc 11914  df-ef 12208  df-sin 12210  df-cos 12211

This theorem is referenced by:  sincos2sgn  12326  cos12dec  12328  sin0pilem1  15504  sin0pilem2  15505  sinhalfpilem  15514  sincosq1lem  15548