Theorem breqtrrdi 4173

Description: A chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 24-Apr-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
breqtrrdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
breqtrrdi.2	⊢ 𝐶 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
breqtrrdi	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem breqtrrdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breqtrrdi.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		breqtrrdi.2	. . 3 ⊢ 𝐶 = 𝐵
3	2	eqcomi 2242	. 2 ⊢ 𝐵 = 𝐶
4	1, 3	breqtrdi 4172	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   class class class wbr 4131

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132

This theorem is used by:  enpr2d  7117  fiunsnnn  7191  exmidpw2en  7225  unsnfi  7232  2omapfi  7326  eninl  7443  eninr  7444  difinfinf  7447  exmidfodomrlemr  7560  exmidfodomrlemrALT  7561  dju1en  7575  djucomen  7578  djuassen  7579  xpdjuen  7580  gtndiv  9751  intqfrac2  10776  uzenom  10882  xrmaxiflemval  12040  ege2le3  12462  eirraplem  12568  bitsfzo  12746  pcprendvds  13097  pcpremul  13100  pcfaclem  13156  infpnlem2  13167  2strstr1g  13534  lmcn2  15523  dveflem  15969  tangtx  16082  ioocosf1o  16099  bposlem1  16328  bposlem2  16329  bposlem3  16330  lgsdirprm  16375  sbthom  17294  nconstwlpolemgt0  17338