Theorem pcfaclem 12279

Description: Lemma for pcfac 12280. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcfaclem	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑀))) = 0)

Proof of Theorem pcfaclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ge0 9139	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
2	1	3ad2ant1 1008	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝑁)
3		nn0re 9123	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant1 1008	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
5		prmnn 12042	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
6	5	3ad2ant3 1010	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
7		eluznn0 9537	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
8	7	3adant3 1007	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
9	6, 8	nnexpcld 10610	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℕ)
10	9	nnred 8870	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℝ)
11	9	nngt0d 8901	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 < (𝑃↑𝑀))
12		ge0div 8766	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑃↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃↑𝑀)) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑀))))
13	4, 10, 11, 12	syl3anc 1228	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑀))))
14	2, 13	mpbid 146	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑀)))
15	8	nn0red 9168	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℝ)
16		eluzle 9478	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑀)
17	16	3ad2ant2 1009	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ≤ 𝑀)
18		prmuz2 12063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
19	18	3ad2ant3 1010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
20		bernneq3 10577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 < (𝑃↑𝑀))
21	19, 8, 20	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑀 < (𝑃↑𝑀))
22	4, 15, 10, 17, 21	lelttrd 8023	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 < (𝑃↑𝑀))
23	9	nncnd 8871	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℂ)
24	23	mulid1d 7916	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃↑𝑀) · 1) = (𝑃↑𝑀))
25	22, 24	breqtrrd 4010	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 < ((𝑃↑𝑀) · 1))
26		1red 7914	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℝ)
27		ltdivmul 8771	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑃↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃↑𝑀))) → ((𝑁 / (𝑃↑𝑀)) < 1 ↔ 𝑁 < ((𝑃↑𝑀) · 1)))
28	4, 26, 10, 11, 27	syl112anc 1232	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑁 / (𝑃↑𝑀)) < 1 ↔ 𝑁 < ((𝑃↑𝑀) · 1)))
29	25, 28	mpbird 166	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) < 1)
30		0p1e1 8971	. . 3 ⊢ (0 + 1) = 1
31	29, 30	breqtrrdi 4024	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) < (0 + 1))
32		simp1 987	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
33	32	nn0zd 9311	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
34		znq 9562	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑀) ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) ∈ ℚ)
35	33, 9, 34	syl2anc 409	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) ∈ ℚ)
36		0z 9202	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
37		flqbi 10225	. . 3 ⊢ (((𝑁 / (𝑃↑𝑀)) ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑀))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) ∧ (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) < (0 + 1))))
38	35, 36, 37	sylancl 410	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑀))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) ∧ (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) < (0 + 1))))
39	14, 31, 38	mpbir2and 934	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑀))) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℝcr 7752  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   · cmul 7758   < clt 7933   ≤ cle 7934   / cdiv 8568  ℕcn 8857  2c2 8908  ℕ₀cn0 9114  ℤcz 9191  ℤ_≥cuz 9466  ℚcq 9557  ⌊cfl 10203  ↑cexp 10454  ℙcprime 12039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-1o 6384  df-2o 6385  df-er 6501  df-en 6707  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fl 10205  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-dvds 11728  df-prm 12040

This theorem is referenced by:  pcfac  12280