Theorem pcfaclem 12290

Description: Lemma for pcfac 12291. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcfaclem	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑀))) = 0)

Proof of Theorem pcfaclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ge0 9149	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
2	1	3ad2ant1 1013	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝑁)
3		nn0re 9133	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant1 1013	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
5		prmnn 12053	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
6	5	3ad2ant3 1015	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
7		eluznn0 9547	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
8	7	3adant3 1012	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
9	6, 8	nnexpcld 10620	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℕ)
10	9	nnred 8880	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℝ)
11	9	nngt0d 8911	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 < (𝑃↑𝑀))
12		ge0div 8776	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑃↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃↑𝑀)) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑀))))
13	4, 10, 11, 12	syl3anc 1233	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑀))))
14	2, 13	mpbid 146	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑀)))
15	8	nn0red 9178	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℝ)
16		eluzle 9488	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑀)
17	16	3ad2ant2 1014	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ≤ 𝑀)
18		prmuz2 12074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
19	18	3ad2ant3 1015	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
20		bernneq3 10587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 < (𝑃↑𝑀))
21	19, 8, 20	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑀 < (𝑃↑𝑀))
22	4, 15, 10, 17, 21	lelttrd 8033	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 < (𝑃↑𝑀))
23	9	nncnd 8881	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℂ)
24	23	mulid1d 7926	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃↑𝑀) · 1) = (𝑃↑𝑀))
25	22, 24	breqtrrd 4015	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 < ((𝑃↑𝑀) · 1))
26		1red 7924	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℝ)
27		ltdivmul 8781	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑃↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃↑𝑀))) → ((𝑁 / (𝑃↑𝑀)) < 1 ↔ 𝑁 < ((𝑃↑𝑀) · 1)))
28	4, 26, 10, 11, 27	syl112anc 1237	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑁 / (𝑃↑𝑀)) < 1 ↔ 𝑁 < ((𝑃↑𝑀) · 1)))
29	25, 28	mpbird 166	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) < 1)
30		0p1e1 8981	. . 3 ⊢ (0 + 1) = 1
31	29, 30	breqtrrdi 4029	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) < (0 + 1))
32		simp1 992	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
33	32	nn0zd 9321	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
34		znq 9572	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑀) ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) ∈ ℚ)
35	33, 9, 34	syl2anc 409	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) ∈ ℚ)
36		0z 9212	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
37		flqbi 10235	. . 3 ⊢ (((𝑁 / (𝑃↑𝑀)) ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑀))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) ∧ (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) < (0 + 1))))
38	35, 36, 37	sylancl 411	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑀))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) ∧ (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) < (0 + 1))))
39	14, 31, 38	mpbir2and 939	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑀))) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3987  ‘cfv 5196  (class class class)co 5851  ℝcr 7762  0cc0 7763  1c1 7764   + caddc 7766   · cmul 7768   < clt 7943   ≤ cle 7944   / cdiv 8578  ℕcn 8867  2c2 8918  ℕ₀cn0 9124  ℤcz 9201  ℤ_≥cuz 9476  ℚcq 9567  ⌊cfl 10213  ↑cexp 10464  ℙcprime 12050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-mulrcl 7862  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-precex 7873  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879  ax-pre-mulgt0 7880  ax-pre-mulext 7881  ax-arch 7882  ax-caucvg 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-1o 6393  df-2o 6394  df-er 6510  df-en 6716  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-reap 8483  df-ap 8490  df-div 8579  df-inn 8868  df-2 8926  df-3 8927  df-4 8928  df-n0 9125  df-z 9202  df-uz 9477  df-q 9568  df-rp 9600  df-fl 10215  df-seqfrec 10391  df-exp 10465  df-cj 10795  df-re 10796  df-im 10797  df-rsqrt 10951  df-abs 10952  df-dvds 11739  df-prm 12051

This theorem is referenced by:  pcfac  12291