Theorem pcfaclem 12912

Description: Lemma for pcfac 12913. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcfaclem	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑀))) = 0)

Proof of Theorem pcfaclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ge0 9417	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
2	1	3ad2ant1 1042	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝑁)
3		nn0re 9401	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant1 1042	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
5		prmnn 12672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
6	5	3ad2ant3 1044	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
7		eluznn0 9823	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
8	7	3adant3 1041	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
9	6, 8	nnexpcld 10947	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℕ)
10	9	nnred 9146	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℝ)
11	9	nngt0d 9177	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 < (𝑃↑𝑀))
12		ge0div 9041	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑃↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃↑𝑀)) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑀))))
13	4, 10, 11, 12	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑀))))
14	2, 13	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑀)))
15	8	nn0red 9446	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℝ)
16		eluzle 9758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑀)
17	16	3ad2ant2 1043	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ≤ 𝑀)
18		prmuz2 12693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
19	18	3ad2ant3 1044	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
20		bernneq3 10914	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 < (𝑃↑𝑀))
21	19, 8, 20	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑀 < (𝑃↑𝑀))
22	4, 15, 10, 17, 21	lelttrd 8294	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 < (𝑃↑𝑀))
23	9	nncnd 9147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℂ)
24	23	mulridd 8186	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃↑𝑀) · 1) = (𝑃↑𝑀))
25	22, 24	breqtrrd 4114	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 < ((𝑃↑𝑀) · 1))
26		1red 8184	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℝ)
27		ltdivmul 9046	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑃↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃↑𝑀))) → ((𝑁 / (𝑃↑𝑀)) < 1 ↔ 𝑁 < ((𝑃↑𝑀) · 1)))
28	4, 26, 10, 11, 27	syl112anc 1275	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑁 / (𝑃↑𝑀)) < 1 ↔ 𝑁 < ((𝑃↑𝑀) · 1)))
29	25, 28	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) < 1)
30		0p1e1 9247	. . 3 ⊢ (0 + 1) = 1
31	29, 30	breqtrrdi 4128	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) < (0 + 1))
32		simp1 1021	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
33	32	nn0zd 9590	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
34		znq 9848	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑀) ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) ∈ ℚ)
35	33, 9, 34	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) ∈ ℚ)
36		0z 9480	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
37		flqbi 10540	. . 3 ⊢ (((𝑁 / (𝑃↑𝑀)) ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑀))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) ∧ (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) < (0 + 1))))
38	35, 36, 37	sylancl 413	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑀))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) ∧ (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) < (0 + 1))))
39	14, 31, 38	mpbir2and 950	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑀))) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℝcr 8021  0cc0 8022  1c1 8023   + caddc 8025   · cmul 8027   < clt 8204   ≤ cle 8205   / cdiv 8842  ℕcn 9133  2c2 9184  ℕ₀cn0 9392  ℤcz 9469  ℤ_≥cuz 9745  ℚcq 9843  ⌊cfl 10518  ↑cexp 10790  ℙcprime 12669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-fl 10520  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-dvds 12339  df-prm 12670

This theorem is referenced by:  pcfac  12913