Theorem pcfaclem 12887

Description: Lemma for pcfac 12888. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcfaclem	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑀))) = 0)

Proof of Theorem pcfaclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ge0 9405	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
2	1	3ad2ant1 1042	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝑁)
3		nn0re 9389	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant1 1042	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
5		prmnn 12647	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
6	5	3ad2ant3 1044	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
7		eluznn0 9806	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
8	7	3adant3 1041	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
9	6, 8	nnexpcld 10929	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℕ)
10	9	nnred 9134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℝ)
11	9	nngt0d 9165	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 < (𝑃↑𝑀))
12		ge0div 9029	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑃↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃↑𝑀)) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑀))))
13	4, 10, 11, 12	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑀))))
14	2, 13	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑀)))
15	8	nn0red 9434	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℝ)
16		eluzle 9746	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑀)
17	16	3ad2ant2 1043	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ≤ 𝑀)
18		prmuz2 12668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
19	18	3ad2ant3 1044	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
20		bernneq3 10896	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 < (𝑃↑𝑀))
21	19, 8, 20	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑀 < (𝑃↑𝑀))
22	4, 15, 10, 17, 21	lelttrd 8282	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 < (𝑃↑𝑀))
23	9	nncnd 9135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑𝑀) ∈ ℂ)
24	23	mulridd 8174	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃↑𝑀) · 1) = (𝑃↑𝑀))
25	22, 24	breqtrrd 4111	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 < ((𝑃↑𝑀) · 1))
26		1red 8172	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℝ)
27		ltdivmul 9034	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑃↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃↑𝑀))) → ((𝑁 / (𝑃↑𝑀)) < 1 ↔ 𝑁 < ((𝑃↑𝑀) · 1)))
28	4, 26, 10, 11, 27	syl112anc 1275	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑁 / (𝑃↑𝑀)) < 1 ↔ 𝑁 < ((𝑃↑𝑀) · 1)))
29	25, 28	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) < 1)
30		0p1e1 9235	. . 3 ⊢ (0 + 1) = 1
31	29, 30	breqtrrdi 4125	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) < (0 + 1))
32		simp1 1021	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
33	32	nn0zd 9578	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
34		znq 9831	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑀) ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) ∈ ℚ)
35	33, 9, 34	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) ∈ ℚ)
36		0z 9468	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
37		flqbi 10522	. . 3 ⊢ (((𝑁 / (𝑃↑𝑀)) ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑀))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) ∧ (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) < (0 + 1))))
38	35, 36, 37	sylancl 413	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑀))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) ∧ (𝑁 / (𝑃↑𝑀)) < (0 + 1))))
39	14, 31, 38	mpbir2and 950	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃↑𝑀))) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℝcr 8009  0cc0 8010  1c1 8011   + caddc 8013   · cmul 8015   < clt 8192   ≤ cle 8193   / cdiv 8830  ℕcn 9121  2c2 9172  ℕ₀cn0 9380  ℤcz 9457  ℤ_≥cuz 9733  ℚcq 9826  ⌊cfl 10500  ↑cexp 10772  ℙcprime 12644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-en 6896  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-fl 10502  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525  df-dvds 12314  df-prm 12645

This theorem is referenced by:  pcfac  12888