Theorem xrmaxiflemval 11769

Description: Lemma for xrmaxif 11770. Value of the supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Apr-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrmaxiflemval.m	⊢ 𝑀 = if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )))))

Assertion

Ref	Expression
xrmaxiflemval	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑀 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑀 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐵,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem xrmaxiflemval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrmaxiflemval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )))))
2		xrmaxiflemcl 11764	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))) ∈ ℝ*)
3	1, 2	eqeltrid 2316	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝑀 ∈ ℝ*)
4		vex 2802	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	elpr 3687	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵))
6		xrmaxifle 11765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))))
7	6, 1	breqtrrdi 4125	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ 𝑀)
8		xrlenlt 8219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐴))
9	3, 8	syldan 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐴))
10	7, 9	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ 𝑀 < 𝐴)
11		breq2 4087	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑀 < 𝑥 ↔ 𝑀 < 𝐴))
12	11	notbid 671	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝑀 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐴))
13	10, 12	syl5ibrcom 157	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝐴 → ¬ 𝑀 < 𝑥))
14		xrmaxifle 11765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ))))))
15	14	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ))))))
16		xrmaxiflemcom 11768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))) = if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ))))))
17	1, 16	eqtrid 2274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝑀 = if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ))))))
18	15, 17	breqtrrd 4111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ 𝑀)
19		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20		xrlenlt 8219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐵))
21	19, 3, 20	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐵))
22	18, 21	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ 𝑀 < 𝐵)
23		breq2 4087	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑀 < 𝑥 ↔ 𝑀 < 𝐵))
24	23	notbid 671	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (¬ 𝑀 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐵))
25	22, 24	syl5ibrcom 157	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑀 < 𝑥))
26	13, 25	jaod 722	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵) → ¬ 𝑀 < 𝑥))
27	5, 26	biimtrid 152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → ¬ 𝑀 < 𝑥))
28	27	ralrimiv 2602	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑀 < 𝑥)
29		prid1g 3770	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
30	29	ad4antr 494	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
31		breq2 4087	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑥 < 𝑧 ↔ 𝑥 < 𝐴))
32	31	rspcev 2907	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑥 < 𝐴) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
33	30, 32	sylancom 420	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐴) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
34		prid2g 3771	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
35	34	ad4antlr 495	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
36		breq2 4087	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑥 < 𝑧 ↔ 𝑥 < 𝐵))
37	36	rspcev 2907	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑥 < 𝐵) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
38	35, 37	sylancom 420	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐵) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
39		simplll 533	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ*)
40		simpllr 534	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝐵 ∈ ℝ*)
41		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ*)
42	1	breq2i 4091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 < 𝑀 ↔ 𝑥 < if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))))
43	42	biimpi 120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 < 𝑀 → 𝑥 < if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))))
44	43	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 < if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))))
45	39, 40, 41, 44	xrmaxiflemlub 11767	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 < 𝐴 ∨ 𝑥 < 𝐵))
46	33, 38, 45	mpjaodan 803	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
47	46	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧))
48	47	ralrimiva 2603	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧))
49	3, 28, 48	3jca 1201	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑀 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑀 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  ifcif 3602  {cpr 3667   class class class wbr 4083  supcsup 7157  ℝcr 8006  +∞cpnf 8186  -∞cmnf 8187  ℝ^*cxr 8188   < clt 8189   ≤ cle 8190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-sup 7159  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-rp 9858  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518

This theorem is referenced by:  xrmaxif  11770