Theorem xrmaxiflemval 11605

Description: Lemma for xrmaxif 11606. Value of the supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Apr-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrmaxiflemval.m	⊢ 𝑀 = if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )))))

Assertion

Ref	Expression
xrmaxiflemval	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑀 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑀 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐵,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem xrmaxiflemval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrmaxiflemval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )))))
2		xrmaxiflemcl 11600	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))) ∈ ℝ*)
3	1, 2	eqeltrid 2293	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝑀 ∈ ℝ*)
4		vex 2776	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	elpr 3655	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵))
6		xrmaxifle 11601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))))
7	6, 1	breqtrrdi 4089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ 𝑀)
8		xrlenlt 8144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐴))
9	3, 8	syldan 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐴))
10	7, 9	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ 𝑀 < 𝐴)
11		breq2 4051	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑀 < 𝑥 ↔ 𝑀 < 𝐴))
12	11	notbid 669	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝑀 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐴))
13	10, 12	syl5ibrcom 157	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝐴 → ¬ 𝑀 < 𝑥))
14		xrmaxifle 11601	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ))))))
15	14	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ))))))
16		xrmaxiflemcom 11604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))) = if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ))))))
17	1, 16	eqtrid 2251	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝑀 = if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ))))))
18	15, 17	breqtrrd 4075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ 𝑀)
19		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20		xrlenlt 8144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐵))
21	19, 3, 20	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐵))
22	18, 21	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ 𝑀 < 𝐵)
23		breq2 4051	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑀 < 𝑥 ↔ 𝑀 < 𝐵))
24	23	notbid 669	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (¬ 𝑀 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐵))
25	22, 24	syl5ibrcom 157	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑀 < 𝑥))
26	13, 25	jaod 719	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵) → ¬ 𝑀 < 𝑥))
27	5, 26	biimtrid 152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → ¬ 𝑀 < 𝑥))
28	27	ralrimiv 2579	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑀 < 𝑥)
29		prid1g 3738	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
30	29	ad4antr 494	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
31		breq2 4051	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑥 < 𝑧 ↔ 𝑥 < 𝐴))
32	31	rspcev 2878	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑥 < 𝐴) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
33	30, 32	sylancom 420	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐴) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
34		prid2g 3739	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
35	34	ad4antlr 495	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
36		breq2 4051	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑥 < 𝑧 ↔ 𝑥 < 𝐵))
37	36	rspcev 2878	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑥 < 𝐵) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
38	35, 37	sylancom 420	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐵) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
39		simplll 533	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ*)
40		simpllr 534	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝐵 ∈ ℝ*)
41		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ*)
42	1	breq2i 4055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 < 𝑀 ↔ 𝑥 < if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))))
43	42	biimpi 120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 < 𝑀 → 𝑥 < if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))))
44	43	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 < if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))))
45	39, 40, 41, 44	xrmaxiflemlub 11603	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 < 𝐴 ∨ 𝑥 < 𝐵))
46	33, 38, 45	mpjaodan 800	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
47	46	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧))
48	47	ralrimiva 2580	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧))
49	3, 28, 48	3jca 1180	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑀 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑀 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  ∃wrex 2486  ifcif 3572  {cpr 3635   class class class wbr 4047  supcsup 7091  ℝcr 7931  +∞cpnf 8111  -∞cmnf 8112  ℝ^*cxr 8113   < clt 8114   ≤ cle 8115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051  ax-caucvg 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-sup 7093  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-rp 9783  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-cj 11197  df-re 11198  df-im 11199  df-rsqrt 11353  df-abs 11354

This theorem is referenced by:  xrmaxif  11606