Theorem xrmaxiflemval 11727

Description: Lemma for xrmaxif 11728. Value of the supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Apr-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrmaxiflemval.m	⊢ 𝑀 = if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )))))

Assertion

Ref	Expression
xrmaxiflemval	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑀 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑀 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐵,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem xrmaxiflemval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrmaxiflemval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )))))
2		xrmaxiflemcl 11722	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))) ∈ ℝ*)
3	1, 2	eqeltrid 2296	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝑀 ∈ ℝ*)
4		vex 2782	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	4	elpr 3667	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵))
6		xrmaxifle 11723	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))))
7	6, 1	breqtrrdi 4104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ 𝑀)
8		xrlenlt 8179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐴))
9	3, 8	syldan 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐴))
10	7, 9	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ 𝑀 < 𝐴)
11		breq2 4066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑀 < 𝑥 ↔ 𝑀 < 𝐴))
12	11	notbid 671	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝑀 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐴))
13	10, 12	syl5ibrcom 157	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝐴 → ¬ 𝑀 < 𝑥))
14		xrmaxifle 11723	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ))))))
15	14	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ))))))
16		xrmaxiflemcom 11726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))) = if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ))))))
17	1, 16	eqtrid 2254	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝑀 = if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ))))))
18	15, 17	breqtrrd 4090	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ 𝑀)
19		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20		xrlenlt 8179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐵))
21	19, 3, 20	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐵))
22	18, 21	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ 𝑀 < 𝐵)
23		breq2 4066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑀 < 𝑥 ↔ 𝑀 < 𝐵))
24	23	notbid 671	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (¬ 𝑀 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐵))
25	22, 24	syl5ibrcom 157	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑀 < 𝑥))
26	13, 25	jaod 721	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵) → ¬ 𝑀 < 𝑥))
27	5, 26	biimtrid 152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → ¬ 𝑀 < 𝑥))
28	27	ralrimiv 2582	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑀 < 𝑥)
29		prid1g 3750	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
30	29	ad4antr 494	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
31		breq2 4066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑥 < 𝑧 ↔ 𝑥 < 𝐴))
32	31	rspcev 2887	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑥 < 𝐴) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
33	30, 32	sylancom 420	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐴) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
34		prid2g 3751	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
35	34	ad4antlr 495	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
36		breq2 4066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑥 < 𝑧 ↔ 𝑥 < 𝐵))
37	36	rspcev 2887	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑥 < 𝐵) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
38	35, 37	sylancom 420	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐵) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
39		simplll 533	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ*)
40		simpllr 534	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝐵 ∈ ℝ*)
41		simplr 528	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ*)
42	1	breq2i 4070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 < 𝑀 ↔ 𝑥 < if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))))
43	42	biimpi 120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 < 𝑀 → 𝑥 < if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))))
44	43	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 < if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))))
45	39, 40, 41, 44	xrmaxiflemlub 11725	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 < 𝐴 ∨ 𝑥 < 𝐵))
46	33, 38, 45	mpjaodan 802	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
47	46	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧))
48	47	ralrimiva 2583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧))
49	3, 28, 48	3jca 1182	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑀 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑀 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 712   ∧ w3a 983   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ∀wral 2488  ∃wrex 2489  ifcif 3582  {cpr 3647   class class class wbr 4062  supcsup 7117  ℝcr 7966  +∞cpnf 8146  -∞cmnf 8147  ℝ^*cxr 8148   < clt 8149   ≤ cle 8150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086  ax-caucvg 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-frec 6507  df-sup 7119  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-rp 9818  df-seqfrec 10637  df-exp 10728  df-cj 11319  df-re 11320  df-im 11321  df-rsqrt 11475  df-abs 11476

This theorem is referenced by:  xrmaxif  11728