Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrmaxiflemval GIF version

Theorem xrmaxiflemval 11031
 Description: Lemma for xrmaxif 11032. Value of the supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Apr-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
xrmaxiflemval.m 𝑀 = if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )))))
Assertion
Ref Expression
xrmaxiflemval ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑀 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑀 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐵,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem xrmaxiflemval
StepHypRef Expression
1 xrmaxiflemval.m . . 3 𝑀 = if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )))))
2 xrmaxiflemcl 11026 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))) ∈ ℝ*)
31, 2eqeltrid 2226 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝑀 ∈ ℝ*)
4 vex 2689 . . . . 5 𝑥 ∈ V
54elpr 3548 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵))
6 xrmaxifle 11027 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))))
76, 1breqtrrdi 3970 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴𝑀)
8 xrlenlt 7841 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑀 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑀 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐴))
93, 8syldan 280 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑀 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐴))
107, 9mpbid 146 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ 𝑀 < 𝐴)
11 breq2 3933 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑀 < 𝑥𝑀 < 𝐴))
1211notbid 656 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝑀 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐴))
1310, 12syl5ibrcom 156 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝐴 → ¬ 𝑀 < 𝑥))
14 xrmaxifle 11027 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ))))))
1514ancoms 266 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ))))))
16 xrmaxiflemcom 11030 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))) = if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ))))))
171, 16syl5eq 2184 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝑀 = if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ))))))
1815, 17breqtrrd 3956 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵𝑀)
19 simpr 109 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20 xrlenlt 7841 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑀 ∈ ℝ*) → (𝐵𝑀 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐵))
2119, 3, 20syl2anc 408 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵𝑀 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐵))
2218, 21mpbid 146 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ 𝑀 < 𝐵)
23 breq2 3933 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑀 < 𝑥𝑀 < 𝐵))
2423notbid 656 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (¬ 𝑀 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐵))
2522, 24syl5ibrcom 156 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑀 < 𝑥))
2613, 25jaod 706 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵) → ¬ 𝑀 < 𝑥))
275, 26syl5bi 151 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → ¬ 𝑀 < 𝑥))
2827ralrimiv 2504 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑀 < 𝑥)
29 prid1g 3627 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
3029ad4antr 485 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
31 breq2 3933 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → (𝑥 < 𝑧𝑥 < 𝐴))
3231rspcev 2789 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑥 < 𝐴) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
3330, 32sylancom 416 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐴) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
34 prid2g 3628 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
3534ad4antlr 486 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
36 breq2 3933 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐵 → (𝑥 < 𝑧𝑥 < 𝐵))
3736rspcev 2789 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑥 < 𝐵) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
3835, 37sylancom 416 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐵) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
39 simplll 522 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ*)
40 simpllr 523 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝐵 ∈ ℝ*)
41 simplr 519 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ*)
421breq2i 3937 . . . . . . . 8 (𝑥 < 𝑀𝑥 < if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))))
4342biimpi 119 . . . . . . 7 (𝑥 < 𝑀𝑥 < if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))))
4443adantl 275 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 < if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))))
4539, 40, 41, 44xrmaxiflemlub 11029 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵))
4633, 38, 45mpjaodan 787 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
4746ex 114 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧))
4847ralrimiva 2505 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧))
493, 28, 483jca 1161 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑀 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑀 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ∃wrex 2417  ifcif 3474  {cpr 3528   class class class wbr 3929  supcsup 6869  ℝcr 7631  +∞cpnf 7809  -∞cmnf 7810  ℝ*cxr 7811   < clt 7812   ≤ cle 7813 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-rp 9454  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783 This theorem is referenced by:  xrmaxif  11032
 Copyright terms: Public domain W3C validator