ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrmaxiflemval GIF version

Theorem xrmaxiflemval 11258
Description: Lemma for xrmaxif 11259. Value of the supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Apr-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
xrmaxiflemval.m 𝑀 = if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )))))
Assertion
Ref Expression
xrmaxiflemval ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑀 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑀 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑧   𝑥,𝐵,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem xrmaxiflemval
StepHypRef Expression
1 xrmaxiflemval.m . . 3 𝑀 = if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )))))
2 xrmaxiflemcl 11253 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))) ∈ ℝ*)
31, 2eqeltrid 2264 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝑀 ∈ ℝ*)
4 vex 2741 . . . . 5 𝑥 ∈ V
54elpr 3614 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵))
6 xrmaxifle 11254 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))))
76, 1breqtrrdi 4046 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴𝑀)
8 xrlenlt 8022 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑀 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑀 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐴))
93, 8syldan 282 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑀 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐴))
107, 9mpbid 147 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ 𝑀 < 𝐴)
11 breq2 4008 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑀 < 𝑥𝑀 < 𝐴))
1211notbid 667 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝑀 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐴))
1310, 12syl5ibrcom 157 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝐴 → ¬ 𝑀 < 𝑥))
14 xrmaxifle 11254 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ))))))
1514ancoms 268 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ))))))
16 xrmaxiflemcom 11257 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))) = if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ))))))
171, 16eqtrid 2222 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝑀 = if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, sup({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ))))))
1815, 17breqtrrd 4032 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵𝑀)
19 simpr 110 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20 xrlenlt 8022 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑀 ∈ ℝ*) → (𝐵𝑀 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐵))
2119, 3, 20syl2anc 411 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵𝑀 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐵))
2218, 21mpbid 147 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ 𝑀 < 𝐵)
23 breq2 4008 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑀 < 𝑥𝑀 < 𝐵))
2423notbid 667 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (¬ 𝑀 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑀 < 𝐵))
2522, 24syl5ibrcom 157 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑀 < 𝑥))
2613, 25jaod 717 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵) → ¬ 𝑀 < 𝑥))
275, 26biimtrid 152 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} → ¬ 𝑀 < 𝑥))
2827ralrimiv 2549 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑀 < 𝑥)
29 prid1g 3697 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
3029ad4antr 494 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
31 breq2 4008 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → (𝑥 < 𝑧𝑥 < 𝐴))
3231rspcev 2842 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑥 < 𝐴) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
3330, 32sylancom 420 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐴) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
34 prid2g 3698 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
3534ad4antlr 495 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐵) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
36 breq2 4008 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐵 → (𝑥 < 𝑧𝑥 < 𝐵))
3736rspcev 2842 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑥 < 𝐵) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
3835, 37sylancom 420 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) ∧ 𝑥 < 𝐵) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
39 simplll 533 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ*)
40 simpllr 534 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝐵 ∈ ℝ*)
41 simplr 528 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ*)
421breq2i 4012 . . . . . . . 8 (𝑥 < 𝑀𝑥 < if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))))
4342biimpi 120 . . . . . . 7 (𝑥 < 𝑀𝑥 < if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))))
4443adantl 277 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 < if(𝐵 = +∞, +∞, if(𝐵 = -∞, 𝐴, if(𝐴 = +∞, +∞, if(𝐴 = -∞, 𝐵, sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))))))
4539, 40, 41, 44xrmaxiflemlub 11256 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 < 𝐴𝑥 < 𝐵))
4633, 38, 45mpjaodan 798 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)
4746ex 115 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧))
4847ralrimiva 2550 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧))
493, 28, 483jca 1177 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑀 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑀 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑀 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑥 < 𝑧)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  ifcif 3535  {cpr 3594   class class class wbr 4004  supcsup 6981  cr 7810  +∞cpnf 7989  -∞cmnf 7990  *cxr 7991   < clt 7992  cle 7993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-sup 6983  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-rp 9654  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008
This theorem is referenced by:  xrmaxif  11259
  Copyright terms: Public domain W3C validator