Theorem gtndiv 9350

Description: A larger number does not divide a smaller positive integer. (Contributed by NM, 3-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
gtndiv	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → ¬ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem gtndiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 8928	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant2 1019	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		simp1 997	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		nngt0 8946	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
5	4	3ad2ant2 1019	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐵)
6	4	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
7		0re 7959	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		lttr 8033	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
9	7, 8	mp3an1 1324	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
10	1, 9	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
11	10	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
12	6, 11	mpand 429	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
13	12	3impia 1200	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
14	2, 3, 5, 13	divgt0d 8894	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < (𝐵 / 𝐴))
15		simp3 999	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
16		1re 7958	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		ltdivmul2 8837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐵 / 𝐴) < 1 ↔ 𝐵 < (1 · 𝐴)))
18	16, 17	mp3an2 1325	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐵 / 𝐴) < 1 ↔ 𝐵 < (1 · 𝐴)))
19	2, 3, 13, 18	syl12anc 1236	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐵 / 𝐴) < 1 ↔ 𝐵 < (1 · 𝐴)))
20		recn 7946	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20	mulid2d 7978	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
22	21	breq2d 4017	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 < (1 · 𝐴) ↔ 𝐵 < 𝐴))
23	22	3ad2ant1 1018	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 < (1 · 𝐴) ↔ 𝐵 < 𝐴))
24	19, 23	bitrd 188	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐵 / 𝐴) < 1 ↔ 𝐵 < 𝐴))
25	15, 24	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 / 𝐴) < 1)
26		0p1e1 9035	. . 3 ⊢ (0 + 1) = 1
27	25, 26	breqtrrdi 4047	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 / 𝐴) < (0 + 1))
28		0z 9266	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
29		btwnnz 9349	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐵 / 𝐴) ∧ (𝐵 / 𝐴) < (0 + 1)) → ¬ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℤ)
30	28, 29	mp3an1 1324	. 2 ⊢ ((0 < (𝐵 / 𝐴) ∧ (𝐵 / 𝐴) < (0 + 1)) → ¬ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℤ)
31	14, 27, 30	syl2anc 411	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → ¬ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  ℝcr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   · cmul 7818   < clt 7994   / cdiv 8631  ℕcn 8921  ℤcz 9255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256

This theorem is referenced by:  prime  9354