ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gtndiv GIF version

Theorem gtndiv 9104
Description: A larger number does not divide a smaller positive integer. (Contributed by NM, 3-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
gtndiv ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → ¬ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem gtndiv
StepHypRef Expression
1 nnre 8691 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
213ad2ant2 988 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 simp1 966 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 nngt0 8709 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
543ad2ant2 988 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐵)
64adantl 275 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
7 0re 7734 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
8 lttr 7806 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
97, 8mp3an1 1287 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
101, 9sylan 281 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
1110ancoms 266 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐴))
126, 11mpand 425 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐴 → 0 < 𝐴))
13123impia 1163 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
142, 3, 5, 13divgt0d 8657 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 0 < (𝐵 / 𝐴))
15 simp3 968 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
16 1re 7733 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
17 ltdivmul2 8600 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐵 / 𝐴) < 1 ↔ 𝐵 < (1 · 𝐴)))
1816, 17mp3an2 1288 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((𝐵 / 𝐴) < 1 ↔ 𝐵 < (1 · 𝐴)))
192, 3, 13, 18syl12anc 1199 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐵 / 𝐴) < 1 ↔ 𝐵 < (1 · 𝐴)))
20 recn 7721 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2120mulid2d 7752 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
2221breq2d 3911 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 < (1 · 𝐴) ↔ 𝐵 < 𝐴))
23223ad2ant1 987 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 < (1 · 𝐴) ↔ 𝐵 < 𝐴))
2419, 23bitrd 187 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐵 / 𝐴) < 1 ↔ 𝐵 < 𝐴))
2515, 24mpbird 166 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 / 𝐴) < 1)
26 0p1e1 8798 . . 3 (0 + 1) = 1
2725, 26breqtrrdi 3940 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → (𝐵 / 𝐴) < (0 + 1))
28 0z 9023 . . 3 0 ∈ ℤ
29 btwnnz 9103 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐵 / 𝐴) ∧ (𝐵 / 𝐴) < (0 + 1)) → ¬ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℤ)
3028, 29mp3an1 1287 . 2 ((0 < (𝐵 / 𝐴) ∧ (𝐵 / 𝐴) < (0 + 1)) → ¬ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℤ)
3114, 27, 30syl2anc 408 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 < 𝐴) → ¬ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 947  wcel 1465   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742  cr 7587  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591   · cmul 7593   < clt 7768   / cdiv 8399  cn 8684  cz 9012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8304  df-ap 8311  df-div 8400  df-inn 8685  df-n0 8936  df-z 9013
This theorem is referenced by:  prime  9108
  Copyright terms: Public domain W3C validator