Theorem 2strstr1g 13527

Description: A constructed two-slot structure. Version of 2strstrg 13524 not depending on the hard-coded index value of the base set. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2str1.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩}
2str1.b	⊢ (Base‘ndx) < 𝑁
2str1.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
2strstr1g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑁⟩)

Proof of Theorem 2strstr1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2str1.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩}
2		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ Slot 𝑁 = Slot 𝑁
3		2str1.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
4	2, 3	ndxarg 13426	. . . . . . 7 ⊢ (Slot 𝑁‘ndx) = 𝑁
5	4	eqcomi 2242	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (Slot 𝑁‘ndx)
6	5	opeq1i 3907	. . . . 5 ⊢ ⟨𝑁, + ⟩ = ⟨(Slot 𝑁‘ndx), + ⟩
7	6	preq2i 3792	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Slot 𝑁‘ndx), + ⟩}
8	1, 7	eqtri 2259	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Slot 𝑁‘ndx), + ⟩}
9		basendx 13458	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10		2str1.b	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) < 𝑁
11	9, 10	eqbrtrri 4153	. . 3 ⊢ 1 < 𝑁
12	8, 2, 11, 3	2strstrg 13524	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → 𝐺 Struct ⟨1, 𝑁⟩)
13	9	opeq1i 3907	. 2 ⊢ ⟨(Base‘ndx), 𝑁⟩ = ⟨1, 𝑁⟩
14	12, 13	breqtrrdi 4172	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑁⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cpr 3710  ⟨cop 3712   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  1c1 8181   < clt 8361  ℕcn 9307   Struct cstr 13399  ndxcnx 13400  Slot cslot 13402  Basecbs 13403

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423  df-struct 13405  df-ndx 13406  df-slot 13407  df-base 13409

This theorem is used by:  2strbas1g  13528  2strop1g  13529