Theorem 2strstr1g 12809

Description: A constructed two-slot structure. Version of 2strstrg 12806 not depending on the hard-coded index value of the base set. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2str1.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩}
2str1.b	⊢ (Base‘ndx) < 𝑁
2str1.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
2strstr1g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑁⟩)

Proof of Theorem 2strstr1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2str1.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩}
2		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ Slot 𝑁 = Slot 𝑁
3		2str1.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
4	2, 3	ndxarg 12711	. . . . . . 7 ⊢ (Slot 𝑁‘ndx) = 𝑁
5	4	eqcomi 2200	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (Slot 𝑁‘ndx)
6	5	opeq1i 3812	. . . . 5 ⊢ ⟨𝑁, + ⟩ = ⟨(Slot 𝑁‘ndx), + ⟩
7	6	preq2i 3704	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Slot 𝑁‘ndx), + ⟩}
8	1, 7	eqtri 2217	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Slot 𝑁‘ndx), + ⟩}
9		basendx 12743	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10		2str1.b	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) < 𝑁
11	9, 10	eqbrtrri 4057	. . 3 ⊢ 1 < 𝑁
12	8, 2, 11, 3	2strstrg 12806	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → 𝐺 Struct ⟨1, 𝑁⟩)
13	9	opeq1i 3812	. 2 ⊢ ⟨(Base‘ndx), 𝑁⟩ = ⟨1, 𝑁⟩
14	12, 13	breqtrrdi 4076	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑁⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {cpr 3624  ⟨cop 3626   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  1c1 7882   < clt 8063  ℕcn 8992   Struct cstr 12684  ndxcnx 12685  Slot cslot 12687  Basecbs 12688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-inn 8993  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-fz 10086  df-struct 12690  df-ndx 12691  df-slot 12692  df-base 12694

This theorem is referenced by:  2strbas1g  12810  2strop1g  12811