ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2strstr1g GIF version

Theorem 2strstr1g 11899
Description: A constructed two-slot structure. Version of 2strstrg 11896 not depending on the hard-coded index value of the base set. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2str1.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩}
2str1.b (Base‘ndx) < 𝑁
2str1.n 𝑁 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
2strstr1g ((𝐵𝑉+𝑊) → 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑁⟩)

Proof of Theorem 2strstr1g
StepHypRef Expression
1 2str1.g . . . 4 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩}
2 eqid 2113 . . . . . . . 8 Slot 𝑁 = Slot 𝑁
3 2str1.n . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℕ
42, 3ndxarg 11819 . . . . . . 7 (Slot 𝑁‘ndx) = 𝑁
54eqcomi 2117 . . . . . 6 𝑁 = (Slot 𝑁‘ndx)
65opeq1i 3672 . . . . 5 𝑁, + ⟩ = ⟨(Slot 𝑁‘ndx), +
76preq2i 3568 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Slot 𝑁‘ndx), + ⟩}
81, 7eqtri 2133 . . 3 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Slot 𝑁‘ndx), + ⟩}
9 basendx 11850 . . . 4 (Base‘ndx) = 1
10 2str1.b . . . 4 (Base‘ndx) < 𝑁
119, 10eqbrtrri 3914 . . 3 1 < 𝑁
128, 2, 11, 32strstrg 11896 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊) → 𝐺 Struct ⟨1, 𝑁⟩)
139opeq1i 3672 . 2 ⟨(Base‘ndx), 𝑁⟩ = ⟨1, 𝑁
1412, 13syl6breqr 3933 1 ((𝐵𝑉+𝑊) → 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑁⟩)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1312  wcel 1461  {cpr 3492  cop 3494   class class class wbr 3893  cfv 5079  1c1 7542   < clt 7718  cn 8624   Struct cstr 11792  ndxcnx 11793  Slot cslot 11795  Basecbs 11796
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-addass 7641  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-inn 8625  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223  df-fz 9678  df-struct 11798  df-ndx 11799  df-slot 11800  df-base 11802
This theorem is referenced by:  2strbas1g  11900  2strop1g  11901
  Copyright terms: Public domain W3C validator