Theorem 2strstr1g 12498

Description: A constructed two-slot structure. Version of 2strstrg 12495 not depending on the hard-coded index value of the base set. (Contributed by AV, 22-Sep-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2str1.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩}
2str1.b	⊢ (Base‘ndx) < 𝑁
2str1.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
2strstr1g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑁⟩)

Proof of Theorem 2strstr1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2str1.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩}
2		eqid 2165	. . . . . . . 8 ⊢ Slot 𝑁 = Slot 𝑁
3		2str1.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
4	2, 3	ndxarg 12417	. . . . . . 7 ⊢ (Slot 𝑁‘ndx) = 𝑁
5	4	eqcomi 2169	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (Slot 𝑁‘ndx)
6	5	opeq1i 3761	. . . . 5 ⊢ ⟨𝑁, + ⟩ = ⟨(Slot 𝑁‘ndx), + ⟩
7	6	preq2i 3657	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨𝑁, + ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Slot 𝑁‘ndx), + ⟩}
8	1, 7	eqtri 2186	. . 3 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(Slot 𝑁‘ndx), + ⟩}
9		basendx 12448	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) = 1
10		2str1.b	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) < 𝑁
11	9, 10	eqbrtrri 4005	. . 3 ⊢ 1 < 𝑁
12	8, 2, 11, 3	2strstrg 12495	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → 𝐺 Struct ⟨1, 𝑁⟩)
13	9	opeq1i 3761	. 2 ⊢ ⟨(Base‘ndx), 𝑁⟩ = ⟨1, 𝑁⟩
14	12, 13	breqtrrdi 4024	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊) → 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑁⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  {cpr 3577  ⟨cop 3579   class class class wbr 3982  ‘cfv 5188  1c1 7754   < clt 7933  ℕcn 8857   Struct cstr 12390  ndxcnx 12391  Slot cslot 12393  Basecbs 12394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945  df-struct 12396  df-ndx 12397  df-slot 12398  df-base 12400

This theorem is referenced by:  2strbas1g  12499  2strop1g  12500