Theorem unsnfi 6935

Description: Adding a singleton to a finite set yields a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unsnfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)

Proof of Theorem unsnfi

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6778	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	3ad2ant1 1019	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		peano2 4608	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
5	4	ad2antrl 490	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → suc 𝑛 ∈ ω)
6		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
7		simpl2 1002	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
8		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ω)
9		en2sn 6830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ ω) → {𝐵} ≈ {𝑛})
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → {𝐵} ≈ {𝑛})
11		disjsn 3668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
12	11	biimpri 133	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
13	12	3ad2ant3 1021	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
14	13	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
15		nnord 4625	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ω → Ord 𝑛)
16		ordirr 4555	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord 𝑛 → ¬ 𝑛 ∈ 𝑛)
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ω → ¬ 𝑛 ∈ 𝑛)
18		disjsn 3668	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅ ↔ ¬ 𝑛 ∈ 𝑛)
19	17, 18	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅)
20	19	ad2antrl 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅)
21		unen 6833	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≈ 𝑛 ∧ {𝐵} ≈ {𝑛}) ∧ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ (𝑛 ∪ {𝑛}))
22	6, 10, 14, 20, 21	syl22anc 1249	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ (𝑛 ∪ {𝑛}))
23		df-suc 4385	. . . . 5 ⊢ suc 𝑛 = (𝑛 ∪ {𝑛})
24	22, 23	breqtrrdi 4059	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑛)
25		breq2 4021	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → ((𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚 ↔ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑛))
26	25	rspcev 2855	. . . 4 ⊢ ((suc 𝑛 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑛) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
27	5, 24, 26	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
28		isfi 6778	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
29	27, 28	sylibr 134	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
30	3, 29	rexlimddv 2611	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2159  ∃wrex 2468   ∪ cun 3141   ∩ cin 3142  ∅c0 3436  {csn 3606   class class class wbr 4017  Ord word 4376  suc csuc 4379  ωcom 4603   ≈ cen 6755  Fincfn 6757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-ral 2472  df-rex 2473  df-v 2753  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-br 4018  df-opab 4079  df-tr 4116  df-id 4307  df-iord 4380  df-on 4382  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-1o 6434  df-er 6552  df-en 6758  df-fin 6760

This theorem is referenced by:  unfidisj  6938  fisseneq  6948  ssfirab  6950  fnfi  6953  fidcenumlemr  6971  fsumsplitsn  11435  fsumabs  11490  fsumiun  11502  fprodunsn  11629  fprod2dlemstep  11647  fsumcncntop  14439