Theorem unsnfi 7154

Description: Adding a singleton to a finite set yields a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unsnfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)

Proof of Theorem unsnfi

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6977	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	3ad2ant1 1045	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		peano2 4699	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
5	4	ad2antrl 490	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → suc 𝑛 ∈ ω)
6		simprr 533	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
7		simpl2 1028	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
8		simprl 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ω)
9		en2sn 7031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ ω) → {𝐵} ≈ {𝑛})
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → {𝐵} ≈ {𝑛})
11		disjsn 3735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
12	11	biimpri 133	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
13	12	3ad2ant3 1047	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
14	13	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
15		nnord 4716	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ω → Ord 𝑛)
16		ordirr 4646	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord 𝑛 → ¬ 𝑛 ∈ 𝑛)
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ω → ¬ 𝑛 ∈ 𝑛)
18		disjsn 3735	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅ ↔ ¬ 𝑛 ∈ 𝑛)
19	17, 18	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅)
20	19	ad2antrl 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅)
21		unen 7034	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≈ 𝑛 ∧ {𝐵} ≈ {𝑛}) ∧ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ (𝑛 ∪ {𝑛}))
22	6, 10, 14, 20, 21	syl22anc 1275	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ (𝑛 ∪ {𝑛}))
23		df-suc 4474	. . . . 5 ⊢ suc 𝑛 = (𝑛 ∪ {𝑛})
24	22, 23	breqtrrdi 4135	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑛)
25		breq2 4097	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → ((𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚 ↔ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑛))
26	25	rspcev 2911	. . . 4 ⊢ ((suc 𝑛 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑛) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
27	5, 24, 26	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
28		isfi 6977	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
29	27, 28	sylibr 134	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
30	3, 29	rexlimddv 2656	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2512   ∪ cun 3199   ∩ cin 3200  ∅c0 3496  {csn 3673   class class class wbr 4093  Ord word 4465  suc csuc 4468  ωcom 4694   ≈ cen 6950  Fincfn 6952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955

This theorem is referenced by:  unfidisj  7157  tpfidceq  7165  fisseneq  7170  ssfirab  7172  fnfi  7178  fidcenumlemr  7197  fsumsplitsn  12034  fsumabs  12089  fsumiun  12101  fprodunsn  12228  fprod2dlemstep  12246  fsumcncntop  15361  dvmptfsum  15519  gfsump1  16798