ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unsnfi GIF version

Theorem unsnfi 6554
Description: Adding a singleton to a finite set yields a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
unsnfi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)

Proof of Theorem unsnfi
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6406 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
21biimpi 118 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
323ad2ant1 960 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
4 peano2 4372 . . . . 5 (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
54ad2antrl 474 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → suc 𝑛 ∈ ω)
6 simprr 499 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝐴𝑛)
7 simpl2 943 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝐵𝑉)
8 simprl 498 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝑛 ∈ ω)
9 en2sn 6458 . . . . . . 7 ((𝐵𝑉𝑛 ∈ ω) → {𝐵} ≈ {𝑛})
107, 8, 9syl2anc 403 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → {𝐵} ≈ {𝑛})
11 disjsn 3478 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵𝐴)
1211biimpri 131 . . . . . . . 8 𝐵𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
13123ad2ant3 962 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
1413adantr 270 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
15 nnord 4388 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ω → Ord 𝑛)
16 ordirr 4320 . . . . . . . . 9 (Ord 𝑛 → ¬ 𝑛𝑛)
1715, 16syl 14 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ω → ¬ 𝑛𝑛)
18 disjsn 3478 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅ ↔ ¬ 𝑛𝑛)
1917, 18sylibr 132 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ω → (𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅)
2019ad2antrl 474 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅)
21 unen 6461 . . . . . 6 (((𝐴𝑛 ∧ {𝐵} ≈ {𝑛}) ∧ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ (𝑛 ∪ {𝑛}))
226, 10, 14, 20, 21syl22anc 1171 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ (𝑛 ∪ {𝑛}))
23 df-suc 4161 . . . . 5 suc 𝑛 = (𝑛 ∪ {𝑛})
2422, 23syl6breqr 3851 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑛)
25 breq2 3815 . . . . 5 (𝑚 = suc 𝑛 → ((𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚 ↔ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑛))
2625rspcev 2712 . . . 4 ((suc 𝑛 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑛) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
275, 24, 26syl2anc 403 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
28 isfi 6406 . . 3 ((𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
2927, 28sylibr 132 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
303, 29rexlimddv 2487 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  wrex 2354  cun 2982  cin 2983  c0 3269  {csn 3422   class class class wbr 3811  Ord word 4152  suc csuc 4155  ωcom 4367  cen 6383  Fincfn 6385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-br 3812  df-opab 3866  df-tr 3902  df-id 4083  df-iord 4156  df-on 4158  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-1o 6111  df-er 6220  df-en 6386  df-fin 6388
This theorem is referenced by:  unfidisj  6557  fisseneq  6565  ssfirab  6566  fnfi  6569
  Copyright terms: Public domain W3C validator