Theorem unsnfi 6962

Description: Adding a singleton to a finite set yields a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unsnfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)

Proof of Theorem unsnfi

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6802	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	3ad2ant1 1020	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		peano2 4619	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
5	4	ad2antrl 490	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → suc 𝑛 ∈ ω)
6		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
7		simpl2 1003	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
8		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ω)
9		en2sn 6854	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ ω) → {𝐵} ≈ {𝑛})
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → {𝐵} ≈ {𝑛})
11		disjsn 3676	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
12	11	biimpri 133	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
13	12	3ad2ant3 1022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
14	13	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
15		nnord 4636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ω → Ord 𝑛)
16		ordirr 4566	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord 𝑛 → ¬ 𝑛 ∈ 𝑛)
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ω → ¬ 𝑛 ∈ 𝑛)
18		disjsn 3676	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅ ↔ ¬ 𝑛 ∈ 𝑛)
19	17, 18	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅)
20	19	ad2antrl 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅)
21		unen 6857	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≈ 𝑛 ∧ {𝐵} ≈ {𝑛}) ∧ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ (𝑛 ∪ {𝑛}))
22	6, 10, 14, 20, 21	syl22anc 1250	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ (𝑛 ∪ {𝑛}))
23		df-suc 4396	. . . . 5 ⊢ suc 𝑛 = (𝑛 ∪ {𝑛})
24	22, 23	breqtrrdi 4067	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑛)
25		breq2 4029	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → ((𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚 ↔ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑛))
26	25	rspcev 2860	. . . 4 ⊢ ((suc 𝑛 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑛) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
27	5, 24, 26	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
28		isfi 6802	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
29	27, 28	sylibr 134	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
30	3, 29	rexlimddv 2612	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∃wrex 2469   ∪ cun 3147   ∩ cin 3148  ∅c0 3442  {csn 3614   class class class wbr 4025  Ord word 4387  suc csuc 4390  ωcom 4614   ≈ cen 6779  Fincfn 6781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-iinf 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2758  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-nul 3443  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-br 4026  df-opab 4087  df-tr 4124  df-id 4318  df-iord 4391  df-on 4393  df-suc 4396  df-iom 4615  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-f1 5247  df-fo 5248  df-f1o 5249  df-1o 6456  df-er 6574  df-en 6782  df-fin 6784

This theorem is referenced by:  unfidisj  6965  fisseneq  6975  ssfirab  6977  fnfi  6981  fidcenumlemr  7000  fsumsplitsn  11527  fsumabs  11582  fsumiun  11594  fprodunsn  11721  fprod2dlemstep  11739  fsumcncntop  14681