ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unsnfi GIF version

Theorem unsnfi 6683
Description: Adding a singleton to a finite set yields a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
unsnfi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)

Proof of Theorem unsnfi
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6532 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
21biimpi 119 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
323ad2ant1 965 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
4 peano2 4423 . . . . 5 (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
54ad2antrl 475 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → suc 𝑛 ∈ ω)
6 simprr 500 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝐴𝑛)
7 simpl2 948 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝐵𝑉)
8 simprl 499 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → 𝑛 ∈ ω)
9 en2sn 6584 . . . . . . 7 ((𝐵𝑉𝑛 ∈ ω) → {𝐵} ≈ {𝑛})
107, 8, 9syl2anc 404 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → {𝐵} ≈ {𝑛})
11 disjsn 3508 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵𝐴)
1211biimpri 132 . . . . . . . 8 𝐵𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
13123ad2ant3 967 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
1413adantr 271 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
15 nnord 4439 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ω → Ord 𝑛)
16 ordirr 4371 . . . . . . . . 9 (Ord 𝑛 → ¬ 𝑛𝑛)
1715, 16syl 14 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ω → ¬ 𝑛𝑛)
18 disjsn 3508 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅ ↔ ¬ 𝑛𝑛)
1917, 18sylibr 133 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ω → (𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅)
2019ad2antrl 475 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅)
21 unen 6587 . . . . . 6 (((𝐴𝑛 ∧ {𝐵} ≈ {𝑛}) ∧ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ (𝑛 ∪ {𝑛}))
226, 10, 14, 20, 21syl22anc 1176 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ (𝑛 ∪ {𝑛}))
23 df-suc 4207 . . . . 5 suc 𝑛 = (𝑛 ∪ {𝑛})
2422, 23syl6breqr 3891 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑛)
25 breq2 3855 . . . . 5 (𝑚 = suc 𝑛 → ((𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚 ↔ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑛))
2625rspcev 2723 . . . 4 ((suc 𝑛 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑛) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
275, 24, 26syl2anc 404 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
28 isfi 6532 . . 3 ((𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
2927, 28sylibr 133 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
303, 29rexlimddv 2494 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  w3a 925   = wceq 1290  wcel 1439  wrex 2361  cun 2998  cin 2999  c0 3287  {csn 3450   class class class wbr 3851  Ord word 4198  suc csuc 4201  ωcom 4418  cen 6509  Fincfn 6511
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-1o 6195  df-er 6306  df-en 6512  df-fin 6514
This theorem is referenced by:  unfidisj  6686  fisseneq  6696  ssfirab  6697  fnfi  6700  fidcenumlemr  6718  fsumsplitsn  10858  fsumabs  10913  fsumiun  10925
  Copyright terms: Public domain W3C validator