Theorem unsnfi 7077

Description: Adding a singleton to a finite set yields a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unsnfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)

Proof of Theorem unsnfi

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6910	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	3ad2ant1 1042	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		peano2 4686	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
5	4	ad2antrl 490	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → suc 𝑛 ∈ ω)
6		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
7		simpl2 1025	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
8		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ω)
9		en2sn 6964	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ ω) → {𝐵} ≈ {𝑛})
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → {𝐵} ≈ {𝑛})
11		disjsn 3728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
12	11	biimpri 133	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
13	12	3ad2ant3 1044	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
14	13	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
15		nnord 4703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ω → Ord 𝑛)
16		ordirr 4633	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord 𝑛 → ¬ 𝑛 ∈ 𝑛)
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ω → ¬ 𝑛 ∈ 𝑛)
18		disjsn 3728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅ ↔ ¬ 𝑛 ∈ 𝑛)
19	17, 18	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅)
20	19	ad2antrl 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅)
21		unen 6967	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≈ 𝑛 ∧ {𝐵} ≈ {𝑛}) ∧ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ (𝑛 ∪ {𝑛}))
22	6, 10, 14, 20, 21	syl22anc 1272	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ (𝑛 ∪ {𝑛}))
23		df-suc 4461	. . . . 5 ⊢ suc 𝑛 = (𝑛 ∪ {𝑛})
24	22, 23	breqtrrdi 4124	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑛)
25		breq2 4086	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → ((𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚 ↔ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑛))
26	25	rspcev 2907	. . . 4 ⊢ ((suc 𝑛 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑛) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
27	5, 24, 26	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
28		isfi 6910	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
29	27, 28	sylibr 134	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
30	3, 29	rexlimddv 2653	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   ∪ cun 3195   ∩ cin 3196  ∅c0 3491  {csn 3666   class class class wbr 4082  Ord word 4452  suc csuc 4455  ωcom 4681   ≈ cen 6883  Fincfn 6885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-1o 6560  df-er 6678  df-en 6886  df-fin 6888

This theorem is referenced by:  unfidisj  7080  tpfidceq  7088  fisseneq  7092  ssfirab  7094  fnfi  7099  fidcenumlemr  7118  fsumsplitsn  11916  fsumabs  11971  fsumiun  11983  fprodunsn  12110  fprod2dlemstep  12128  fsumcncntop  15235  dvmptfsum  15393