Theorem unsnfi 7110

Description: Adding a singleton to a finite set yields a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unsnfi	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)

Proof of Theorem unsnfi

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6933	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	3ad2ant1 1044	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		peano2 4693	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → suc 𝑛 ∈ ω)
5	4	ad2antrl 490	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → suc 𝑛 ∈ ω)
6		simprr 533	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
7		simpl2 1027	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
8		simprl 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ω)
9		en2sn 6987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ ω) → {𝐵} ≈ {𝑛})
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → {𝐵} ≈ {𝑛})
11		disjsn 3731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
12	11	biimpri 133	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
13	12	3ad2ant3 1046	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
14	13	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
15		nnord 4710	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ω → Ord 𝑛)
16		ordirr 4640	. . . . . . . . 9 ⊢ (Ord 𝑛 → ¬ 𝑛 ∈ 𝑛)
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ω → ¬ 𝑛 ∈ 𝑛)
18		disjsn 3731	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅ ↔ ¬ 𝑛 ∈ 𝑛)
19	17, 18	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅)
20	19	ad2antrl 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅)
21		unen 6990	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≈ 𝑛 ∧ {𝐵} ≈ {𝑛}) ∧ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ (𝑛 ∩ {𝑛}) = ∅)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ (𝑛 ∪ {𝑛}))
22	6, 10, 14, 20, 21	syl22anc 1274	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ (𝑛 ∪ {𝑛}))
23		df-suc 4468	. . . . 5 ⊢ suc 𝑛 = (𝑛 ∪ {𝑛})
24	22, 23	breqtrrdi 4130	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑛)
25		breq2 4092	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → ((𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚 ↔ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑛))
26	25	rspcev 2910	. . . 4 ⊢ ((suc 𝑛 ∈ ω ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc 𝑛) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
27	5, 24, 26	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
28		isfi 6933	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ 𝑚)
29	27, 28	sylibr 134	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
30	3, 29	rexlimddv 2655	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511   ∪ cun 3198   ∩ cin 3199  ∅c0 3494  {csn 3669   class class class wbr 4088  Ord word 4459  suc csuc 4462  ωcom 4688   ≈ cen 6906  Fincfn 6908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-fin 6911

This theorem is referenced by:  unfidisj  7113  tpfidceq  7121  fisseneq  7126  ssfirab  7128  fnfi  7134  fidcenumlemr  7153  fsumsplitsn  11970  fsumabs  12025  fsumiun  12037  fprodunsn  12164  fprod2dlemstep  12182  fsumcncntop  15290  dvmptfsum  15448