Theorem uzenom 9797

Description: An upper integer set is denumerable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzinf.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzenom	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑍 ≈ ω)

Proof of Theorem uzenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
2		eqid 2088	. . . . 5 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝑀) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝑀)
3	1, 2	frec2uzf1od 9778	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝑀):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝑀))
4		omex 4398	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
5	4	f1oen 6456	. . . 4 ⊢ (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝑀):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝑀) → ω ≈ (ℤ≥‘𝑀))
6	3, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ω ≈ (ℤ≥‘𝑀))
7		uzinf.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
8	6, 7	syl6breqr 3877	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ω ≈ 𝑍)
9	8	ensymd 6480	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑍 ≈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1289   ∈ wcel 1438   class class class wbr 3837   ↦ cmpt 3891  ωcom 4395  –1-1-onto→wf1o 5001  ‘cfv 5002  (class class class)co 5634  freccfrec 6137   ≈ cen 6435  1c1 7330   + caddc 7332  ℤcz 8720  ℤ_≥cuz 8988

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-recs 6052  df-frec 6138  df-er 6272  df-en 6438  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989

This theorem is referenced by: (None)