Theorem uzenom 10451

Description: An upper integer set is denumerable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzinf.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uzenom	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑍 ≈ ω)

Proof of Theorem uzenom

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
2		eqid 2189	. . . . 5 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝑀) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝑀)
3	1, 2	frec2uzf1od 10432	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝑀):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝑀))
4		omex 4607	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
5	4	f1oen 6780	. . . 4 ⊢ (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝑀):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝑀) → ω ≈ (ℤ≥‘𝑀))
6	3, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ω ≈ (ℤ≥‘𝑀))
7		uzinf.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
8	6, 7	breqtrrdi 4060	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ω ≈ 𝑍)
9	8	ensymd 6804	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑍 ≈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018   ↦ cmpt 4079  ωcom 4604  –1-1-onto→wf1o 5231  ‘cfv 5232  (class class class)co 5892  freccfrec 6410   ≈ cen 6759  1c1 7837   + caddc 7839  ℤcz 9278  ℤ_≥cuz 9553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-addcom 7936  ax-addass 7938  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-ltadd 7952

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-recs 6325  df-frec 6411  df-er 6554  df-en 6762  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156  df-inn 8945  df-n0 9202  df-z 9279  df-uz 9554

This theorem is referenced by: (None)