ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumsplitf GIF version

Theorem fsumsplitf 10798
Description: Split a sum into two parts. A version of fsumsplit 10797 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsplitf.ph 𝑘𝜑
fsumsplitf.ab (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
fsumsplitf.u (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
fsumsplitf.fi (𝜑𝑈 ∈ Fin)
fsumsplitf.c ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumsplitf (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑈,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbeq1a 2941 . . . 4 (𝑘 = 𝑗𝐶 = 𝑗 / 𝑘𝐶)
2 nfcv 2228 . . . 4 𝑗𝑈
3 nfcv 2228 . . . 4 𝑘𝑈
4 nfcv 2228 . . . 4 𝑗𝐶
5 nfcsb1v 2963 . . . 4 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶
61, 2, 3, 4, 5cbvsum 10745 . . 3 Σ𝑘𝑈 𝐶 = Σ𝑗𝑈 𝑗 / 𝑘𝐶
76a1i 9 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐶 = Σ𝑗𝑈 𝑗 / 𝑘𝐶)
8 fsumsplitf.ab . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
9 fsumsplitf.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
10 fsumsplitf.fi . . 3 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
11 fsumsplitf.ph . . . . . 6 𝑘𝜑
12 nfv 1466 . . . . . 6 𝑘 𝑗𝑈
1311, 12nfan 1502 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗𝑈)
145nfel1 2239 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
1513, 14nfim 1509 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝑈) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
16 eleq1w 2148 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑈𝑗𝑈))
1716anbi2d 452 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑈) ↔ (𝜑𝑗𝑈)))
181eleq1d 2156 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
1917, 18imbi12d 232 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑈) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)))
20 fsumsplitf.c . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
2115, 19, 20chvar 1687 . . 3 ((𝜑𝑗𝑈) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
228, 9, 10, 21fsumsplit 10797 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝑈 𝑗 / 𝑘𝐶 = (Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 + Σ𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶))
23 csbeq1a 2941 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 = 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐶)
24 csbco 2942 . . . . . . . . 9 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐶 = 𝑘 / 𝑘𝐶
25 csbid 2940 . . . . . . . . 9 𝑘 / 𝑘𝐶 = 𝐶
2624, 25eqtri 2108 . . . . . . . 8 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐶 = 𝐶
2726a1i 9 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐶 = 𝐶)
2823, 27eqtrd 2120 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 = 𝐶)
29 nfcv 2228 . . . . . 6 𝑘𝐴
30 nfcv 2228 . . . . . 6 𝑗𝐴
3128, 29, 30, 5, 4cbvsum 10745 . . . . 5 Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 = Σ𝑘𝐴 𝐶
32 eqid 2088 . . . . 5 Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐴 𝐶
3331, 32eqtri 2108 . . . 4 Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 = Σ𝑘𝐴 𝐶
345, 4, 28cbvsumi 10747 . . . 4 Σ𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶
3533, 34oveq12i 5664 . . 3 𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 + Σ𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶)
3635a1i 9 . 2 (𝜑 → (Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 + Σ𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
377, 22, 363eqtrd 2124 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wnf 1394  wcel 1438  csb 2933  cun 2997  cin 2998  c0 3286  (class class class)co 5652  Fincfn 6455  cc 7346   + caddc 7351  Σcsu 10738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461  ax-arch 7462  ax-caucvg 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6290  df-en 6456  df-dom 6457  df-fin 6458  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-3 8480  df-4 8481  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-q 9103  df-rp 9133  df-fz 9423  df-fzo 9550  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951  df-ihash 10180  df-cj 10272  df-re 10273  df-im 10274  df-rsqrt 10427  df-abs 10428  df-clim 10663  df-isum 10739
This theorem is referenced by:  fsumsplitsn  10800
  Copyright terms: Public domain W3C validator