Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumsplitf GIF version

Theorem fsumsplitf 11128
 Description: Split a sum into two parts. A version of fsumsplit 11127 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsplitf.ph 𝑘𝜑
fsumsplitf.ab (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
fsumsplitf.u (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
fsumsplitf.fi (𝜑𝑈 ∈ Fin)
fsumsplitf.c ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumsplitf (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑈,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbeq1a 2981 . . . 4 (𝑘 = 𝑗𝐶 = 𝑗 / 𝑘𝐶)
2 nfcv 2256 . . . 4 𝑗𝑈
3 nfcv 2256 . . . 4 𝑘𝑈
4 nfcv 2256 . . . 4 𝑗𝐶
5 nfcsb1v 3003 . . . 4 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶
61, 2, 3, 4, 5cbvsum 11080 . . 3 Σ𝑘𝑈 𝐶 = Σ𝑗𝑈 𝑗 / 𝑘𝐶
76a1i 9 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐶 = Σ𝑗𝑈 𝑗 / 𝑘𝐶)
8 fsumsplitf.ab . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
9 fsumsplitf.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
10 fsumsplitf.fi . . 3 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
11 fsumsplitf.ph . . . . . 6 𝑘𝜑
12 nfv 1491 . . . . . 6 𝑘 𝑗𝑈
1311, 12nfan 1527 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗𝑈)
145nfel1 2267 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
1513, 14nfim 1534 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝑈) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
16 eleq1w 2176 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑈𝑗𝑈))
1716anbi2d 457 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑈) ↔ (𝜑𝑗𝑈)))
181eleq1d 2184 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
1917, 18imbi12d 233 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑈) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)))
20 fsumsplitf.c . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
2115, 19, 20chvar 1713 . . 3 ((𝜑𝑗𝑈) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
228, 9, 10, 21fsumsplit 11127 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝑈 𝑗 / 𝑘𝐶 = (Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 + Σ𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶))
23 csbeq1a 2981 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 = 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐶)
24 csbco 2982 . . . . . . . . 9 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐶 = 𝑘 / 𝑘𝐶
25 csbid 2980 . . . . . . . . 9 𝑘 / 𝑘𝐶 = 𝐶
2624, 25eqtri 2136 . . . . . . . 8 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐶 = 𝐶
2726a1i 9 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐶 = 𝐶)
2823, 27eqtrd 2148 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 = 𝐶)
29 nfcv 2256 . . . . . 6 𝑘𝐴
30 nfcv 2256 . . . . . 6 𝑗𝐴
3128, 29, 30, 5, 4cbvsum 11080 . . . . 5 Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 = Σ𝑘𝐴 𝐶
32 eqid 2115 . . . . 5 Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐴 𝐶
3331, 32eqtri 2136 . . . 4 Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 = Σ𝑘𝐴 𝐶
345, 4, 28cbvsumi 11082 . . . 4 Σ𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶
3533, 34oveq12i 5752 . . 3 𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 + Σ𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶)
3635a1i 9 . 2 (𝜑 → (Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 + Σ𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
377, 22, 363eqtrd 2152 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1314  Ⅎwnf 1419   ∈ wcel 1463  ⦋csb 2973   ∪ cun 3037   ∩ cin 3038  ∅c0 3331  (class class class)co 5740  Fincfn 6600  ℂcc 7582   + caddc 7587  Σcsu 11073 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-fz 9742  df-fzo 9871  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-ihash 10473  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722  df-clim 10999  df-sumdc 11074 This theorem is referenced by:  fsumsplitsn  11130
 Copyright terms: Public domain W3C validator