Theorem fsumsplitf 11959

Description: Split a sum into two parts. A version of fsumsplit 11958 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplitf.ph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fsumsplitf.ab	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
fsumsplitf.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
fsumsplitf.fi	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
fsumsplitf.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumsplitf	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑈,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1a 3134	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
2		nfcv 2372	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝑈
3		nfcv 2372	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝑈
4		nfcv 2372	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
5		nfcsb1v 3158	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvsum 11911	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = Σ𝑗 ∈ 𝑈 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
7	6	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = Σ𝑗 ∈ 𝑈 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
8		fsumsplitf.ab	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
9		fsumsplitf.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
10		fsumsplitf.fi	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
11		fsumsplitf.ph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
12		nfv 1574	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑈
13	11, 12	nfan 1611	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈)
14	5	nfel1 2383	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ
15	13, 14	nfim 1618	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
16		eleq1w 2290	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑗 ∈ 𝑈))
17	16	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈)))
18	1	eleq1d 2298	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
19	17, 18	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)))
20		fsumsplitf.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
21	15, 19, 20	chvar 1803	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
22	8, 9, 10, 21	fsumsplit 11958	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝑈 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = (Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 + Σ𝑗 ∈ 𝐵 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
23		csbeq1a 3134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = ⦋𝑘 / 𝑗⦌⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
24		csbco 3135	. . . . . . . . 9 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑗⦌⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = ⦋𝑘 / 𝑘⦌𝐶
25		csbid 3133	. . . . . . . . 9 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑘⦌𝐶 = 𝐶
26	24, 25	eqtri 2250	. . . . . . . 8 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑗⦌⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = 𝐶
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ⦋𝑘 / 𝑗⦌⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = 𝐶)
28	23, 27	eqtrd 2262	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = 𝐶)
29		nfcv 2372	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
30		nfcv 2372	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
31	28, 29, 30, 5, 4	cbvsum 11911	. . . . 5 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶
32		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶
33	31, 32	eqtri 2250	. . . 4 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶
34	5, 4, 28	cbvsumi 11913	. . . 4 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝐵 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶
35	33, 34	oveq12i 6025	. . 3 ⊢ (Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 + Σ𝑗 ∈ 𝐵 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
36	35	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 + Σ𝑗 ∈ 𝐵 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))
37	7, 22, 36	3eqtrd 2266	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395  Ⅎwnf 1506   ∈ wcel 2200  ⦋csb 3125   ∪ cun 3196   ∩ cin 3197  ∅c0 3492  (class class class)co 6013  Fincfn 6904  ℂcc 8020   + caddc 8025  Σcsu 11904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-ihash 11028  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-clim 11830  df-sumdc 11905

This theorem is referenced by:  fsumsplitsn  11961