ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sumsnf GIF version

Theorem sumsnf 11417
Description: A sum of a singleton is the term. A version of sumsn 11419 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sumsnf.1 𝑘𝐵
sumsnf.2 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sumsnf ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sumsnf
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2319 . . . . 5 𝑚𝐴
2 nfcsb1v 3091 . . . . 5 𝑘𝑚 / 𝑘𝐴
3 csbeq1a 3067 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑘𝐴)
41, 2, 3cbvsumi 11370 . . . 4 Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑀}𝑚 / 𝑘𝐴
5 csbeq1 3061 . . . . 5 (𝑚 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) → 𝑚 / 𝑘𝐴 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴)
6 1nn 8930 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
76a1i 9 . . . . 5 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℕ)
8 simpl 109 . . . . . . 7 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → 𝑀𝑉)
9 f1osng 5503 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
106, 8, 9sylancr 414 . . . . . 6 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
11 1z 9279 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
12 fzsn 10066 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
13 f1oeq2 5451 . . . . . . 7 ((1...1) = {1} → ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀}))
1411, 12, 13mp2b 8 . . . . . 6 ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
1510, 14sylibr 134 . . . . 5 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
16 elsni 3611 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ {𝑀} → 𝑚 = 𝑀)
1716adantl 277 . . . . . . 7 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 = 𝑀)
1817csbeq1d 3065 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 / 𝑘𝐴 = 𝑀 / 𝑘𝐴)
19 sumsnf.1 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐵
2019a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝑀𝑉𝑘𝐵)
21 sumsnf.2 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐵)
2220, 21csbiegf 3101 . . . . . . . 8 (𝑀𝑉𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
2322ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
24 simplr 528 . . . . . . 7 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝐵 ∈ ℂ)
2523, 24eqeltrd 2254 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑀 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
2618, 25eqeltrd 2254 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
2722ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → 𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
28 elfz1eq 10035 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...1) → 𝑛 = 1)
2928fveq2d 5520 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
30 fvsng 5713 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑉) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
316, 8, 30sylancr 414 . . . . . . . 8 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
3229, 31sylan9eqr 2232 . . . . . . 7 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = 𝑀)
3332csbeq1d 3065 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴 = 𝑀 / 𝑘𝐴)
3428fveq2d 5520 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
35 simpr 110 . . . . . . . 8 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
36 fvsng 5713 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
376, 35, 36sylancr 414 . . . . . . 7 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
3834, 37sylan9eqr 2232 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = 𝐵)
3927, 33, 383eqtr4rd 2221 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴)
405, 7, 15, 26, 39fsum3 11395 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ {𝑀}𝑚 / 𝑘𝐴 = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0)))‘1))
414, 40eqtrid 2222 . . 3 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0)))‘1))
42 1zzd 9280 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℤ)
43 eqid 2177 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0))
44 breq1 4007 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑢 → (𝑛 ≤ 1 ↔ 𝑢 ≤ 1))
45 fveq2 5516 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑢 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑢))
4644, 45ifbieq1d 3557 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑢 → if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0) = if(𝑢 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑢), 0))
47 elnnuz 9564 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ℕ ↔ 𝑢 ∈ (ℤ‘1))
4847biimpri 133 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (ℤ‘1) → 𝑢 ∈ ℕ)
4948adantl 277 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑢 ∈ ℕ)
50 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → 𝑢 ≤ 1)
51 eluzle 9540 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (ℤ‘1) → 1 ≤ 𝑢)
5251ad2antlr 489 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → 1 ≤ 𝑢)
53 eluzelre 9538 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ (ℤ‘1) → 𝑢 ∈ ℝ)
5453ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → 𝑢 ∈ ℝ)
55 1red 7972 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
5654, 55letri3d 8073 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → (𝑢 = 1 ↔ (𝑢 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑢)))
5750, 52, 56mpbir2and 944 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → 𝑢 = 1)
5857fveq2d 5520 . . . . . . . . 9 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑢) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
5937ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
6058, 59eqtrd 2210 . . . . . . . 8 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑢) = 𝐵)
6135ad2antrr 488 . . . . . . . 8 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
6260, 61eqeltrd 2254 . . . . . . 7 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑢) ∈ ℂ)
63 0cnd 7950 . . . . . . 7 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ‘1)) ∧ ¬ 𝑢 ≤ 1) → 0 ∈ ℂ)
6449nnzd 9374 . . . . . . . 8 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑢 ∈ ℤ)
65 1zzd 9280 . . . . . . . 8 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ‘1)) → 1 ∈ ℤ)
66 zdcle 9329 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑢 ≤ 1)
6764, 65, 66syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ‘1)) → DECID 𝑢 ≤ 1)
6862, 63, 67ifcldadc 3564 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ‘1)) → if(𝑢 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑢), 0) ∈ ℂ)
6943, 46, 49, 68fvmptd3 5610 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0))‘𝑢) = if(𝑢 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑢), 0))
7069, 68eqeltrd 2254 . . . 4 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0))‘𝑢) ∈ ℂ)
71 addcl 7936 . . . . 5 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ)
7271adantl 277 . . . 4 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ)
7342, 70, 72seq3-1 10460 . . 3 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0)))‘1) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0))‘1))
7441, 73eqtrd 2210 . 2 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0))‘1))
75 1le1 8529 . . . . . 6 1 ≤ 1
7675iftruei 3541 . . . . 5 if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 0) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1)
7776, 37eqtrid 2222 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 0) = 𝐵)
7877, 35eqeltrd 2254 . . 3 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 0) ∈ ℂ)
79 breq1 4007 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (𝑛 ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
80 fveq2 5516 . . . . 5 (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
8179, 80ifbieq1d 3557 . . . 4 (𝑛 = 1 → if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0) = if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 0))
8281, 43fvmptg 5593 . . 3 ((1 ∈ ℕ ∧ if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 0) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0))‘1) = if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 0))
836, 78, 82sylancr 414 . 2 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0))‘1) = if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 0))
8474, 83, 773eqtrd 2214 1 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2148  wnfc 2306  csb 3058  ifcif 3535  {csn 3593  cop 3596   class class class wbr 4004  cmpt 4065  1-1-ontowf1o 5216  cfv 5217  (class class class)co 5875  cc 7809  cr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814  cle 7993  cn 8919  cz 9253  cuz 9528  ...cfz 10008  seqcseq 10445  Σcsu 11361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362
This theorem is referenced by:  fsumsplitsn  11418  sumsn  11419
  Copyright terms: Public domain W3C validator