Theorem sumsnf 11372

Description: A sum of a singleton is the term. A version of sumsn 11374 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumsnf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
sumsnf.2	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumsnf	⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sumsnf

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2312	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑚𝐴
2		nfcsb1v 3082	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
3		csbeq1a 3058	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴)
4	1, 2, 3	cbvsumi 11325	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑀}⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
5		csbeq1 3052	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴)
6		1nn 8889	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℕ)
8		simpl 108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ 𝑉)
9		f1osng 5483	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
10	6, 8, 9	sylancr 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
11		1z 9238	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		fzsn 10022	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
13		f1oeq2 5432	. . . . . . 7 ⊢ ((1...1) = {1} → ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀}))
14	11, 12, 13	mp2b 8	. . . . . 6 ⊢ ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
15	10, 14	sylibr 133	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
16		elsni 3601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑀} → 𝑚 = 𝑀)
17	16	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 = 𝑀)
18	17	csbeq1d 3056	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴)
19		sumsnf.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
20	19	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → Ⅎ𝑘𝐵)
21		sumsnf.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐵)
22	20, 21	csbiegf 3092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
23	22	ad2antrr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
24		simplr 525	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝐵 ∈ ℂ)
25	23, 24	eqeltrd 2247	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
26	18, 25	eqeltrd 2247	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
27	22	ad2antrr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
28		elfz1eq 9991	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...1) → 𝑛 = 1)
29	28	fveq2d 5500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
30		fvsng 5692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
31	6, 8, 30	sylancr 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
32	29, 31	sylan9eqr 2225	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = 𝑀)
33	32	csbeq1d 3056	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴 = ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴)
34	28	fveq2d 5500	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
35		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
36		fvsng 5692	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
37	6, 35, 36	sylancr 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
38	34, 37	sylan9eqr 2225	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = 𝐵)
39	27, 33, 38	3eqtr4rd 2214	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴)
40	5, 7, 15, 26, 39	fsum3 11350	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ {𝑀}⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0)))‘1))
41	4, 40	eqtrid 2215	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0)))‘1))
42		1zzd 9239	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℤ)
43		eqid 2170	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0))
44		breq1 3992	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑢 → (𝑛 ≤ 1 ↔ 𝑢 ≤ 1))
45		fveq2 5496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑢 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑢))
46	44, 45	ifbieq1d 3548	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑢 → if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0) = if(𝑢 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑢), 0))
47		elnnuz 9523	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℕ ↔ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1))
48	47	biimpri 132	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑢 ∈ ℕ)
49	48	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑢 ∈ ℕ)
50		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → 𝑢 ≤ 1)
51		eluzle 9499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ≤ 𝑢)
52	51	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → 1 ≤ 𝑢)
53		eluzelre 9497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑢 ∈ ℝ)
54	53	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → 𝑢 ∈ ℝ)
55		1red 7935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
56	54, 55	letri3d 8035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → (𝑢 = 1 ↔ (𝑢 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑢)))
57	50, 52, 56	mpbir2and 939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → 𝑢 = 1)
58	57	fveq2d 5500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑢) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
59	37	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
60	58, 59	eqtrd 2203	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑢) = 𝐵)
61	35	ad2antrr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
62	60, 61	eqeltrd 2247	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑢) ∈ ℂ)
63		0cnd 7913	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ ¬ 𝑢 ≤ 1) → 0 ∈ ℂ)
64	49	nnzd 9333	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑢 ∈ ℤ)
65		1zzd 9239	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → 1 ∈ ℤ)
66		zdcle 9288	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑢 ≤ 1)
67	64, 65, 66	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → DECID 𝑢 ≤ 1)
68	62, 63, 67	ifcldadc 3555	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → if(𝑢 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑢), 0) ∈ ℂ)
69	43, 46, 49, 68	fvmptd3 5589	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0))‘𝑢) = if(𝑢 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑢), 0))
70	69, 68	eqeltrd 2247	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0))‘𝑢) ∈ ℂ)
71		addcl 7899	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ)
72	71	adantl 275	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ)
73	42, 70, 72	seq3-1 10416	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0)))‘1) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0))‘1))
74	41, 73	eqtrd 2203	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0))‘1))
75		1le1 8491	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 1
76	75	iftruei 3532	. . . . 5 ⊢ if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 0) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1)
77	76, 37	eqtrid 2215	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 0) = 𝐵)
78	77, 35	eqeltrd 2247	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 0) ∈ ℂ)
79		breq1 3992	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
80		fveq2 5496	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
81	79, 80	ifbieq1d 3548	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0) = if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 0))
82	81, 43	fvmptg 5572	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 0) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0))‘1) = if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 0))
83	6, 78, 82	sylancr 412	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0))‘1) = if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 0))
84	74, 83, 77	3eqtrd 2207	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  DECID wdc 829   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  Ⅎwnfc 2299  ⦋csb 3049  ifcif 3526  {csn 3583  ⟨cop 3586   class class class wbr 3989   ↦ cmpt 4050  –1-1-onto→wf1o 5197  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   ≤ cle 7955  ℕcn 8878  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487  ...cfz 9965  seqcseq 10401  Σcsu 11316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317

This theorem is referenced by:  fsumsplitsn  11373  sumsn  11374