Theorem sumsnf 11350

Description: A sum of a singleton is the term. A version of sumsn 11352 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumsnf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
sumsnf.2	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumsnf	⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sumsnf

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2308	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑚𝐴
2		nfcsb1v 3078	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
3		csbeq1a 3054	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴)
4	1, 2, 3	cbvsumi 11303	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑀}⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
5		csbeq1 3048	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴)
6		1nn 8868	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℕ)
8		simpl 108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ 𝑉)
9		f1osng 5473	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
10	6, 8, 9	sylancr 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
11		1z 9217	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		fzsn 10001	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
13		f1oeq2 5422	. . . . . . 7 ⊢ ((1...1) = {1} → ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀}))
14	11, 12, 13	mp2b 8	. . . . . 6 ⊢ ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
15	10, 14	sylibr 133	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
16		elsni 3594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑀} → 𝑚 = 𝑀)
17	16	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 = 𝑀)
18	17	csbeq1d 3052	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴)
19		sumsnf.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
20	19	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → Ⅎ𝑘𝐵)
21		sumsnf.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐵)
22	20, 21	csbiegf 3088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
23	22	ad2antrr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
24		simplr 520	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝐵 ∈ ℂ)
25	23, 24	eqeltrd 2243	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
26	18, 25	eqeltrd 2243	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
27	22	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
28		elfz1eq 9970	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...1) → 𝑛 = 1)
29	28	fveq2d 5490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
30		fvsng 5681	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
31	6, 8, 30	sylancr 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
32	29, 31	sylan9eqr 2221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = 𝑀)
33	32	csbeq1d 3052	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴 = ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴)
34	28	fveq2d 5490	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
35		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
36		fvsng 5681	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
37	6, 35, 36	sylancr 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
38	34, 37	sylan9eqr 2221	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = 𝐵)
39	27, 33, 38	3eqtr4rd 2209	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴)
40	5, 7, 15, 26, 39	fsum3 11328	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ {𝑀}⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0)))‘1))
41	4, 40	syl5eq 2211	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0)))‘1))
42		1zzd 9218	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℤ)
43		eqid 2165	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0))
44		breq1 3985	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑢 → (𝑛 ≤ 1 ↔ 𝑢 ≤ 1))
45		fveq2 5486	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑢 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑢))
46	44, 45	ifbieq1d 3542	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑢 → if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0) = if(𝑢 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑢), 0))
47		elnnuz 9502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℕ ↔ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1))
48	47	biimpri 132	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑢 ∈ ℕ)
49	48	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑢 ∈ ℕ)
50		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → 𝑢 ≤ 1)
51		eluzle 9478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ≤ 𝑢)
52	51	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → 1 ≤ 𝑢)
53		eluzelre 9476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑢 ∈ ℝ)
54	53	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → 𝑢 ∈ ℝ)
55		1red 7914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
56	54, 55	letri3d 8014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → (𝑢 = 1 ↔ (𝑢 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑢)))
57	50, 52, 56	mpbir2and 934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → 𝑢 = 1)
58	57	fveq2d 5490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑢) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
59	37	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
60	58, 59	eqtrd 2198	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑢) = 𝐵)
61	35	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
62	60, 61	eqeltrd 2243	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑢) ∈ ℂ)
63		0cnd 7892	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ ¬ 𝑢 ≤ 1) → 0 ∈ ℂ)
64	49	nnzd 9312	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑢 ∈ ℤ)
65		1zzd 9218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → 1 ∈ ℤ)
66		zdcle 9267	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑢 ≤ 1)
67	64, 65, 66	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → DECID 𝑢 ≤ 1)
68	62, 63, 67	ifcldadc 3549	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → if(𝑢 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑢), 0) ∈ ℂ)
69	43, 46, 49, 68	fvmptd3 5579	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0))‘𝑢) = if(𝑢 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑢), 0))
70	69, 68	eqeltrd 2243	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0))‘𝑢) ∈ ℂ)
71		addcl 7878	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ)
72	71	adantl 275	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ)
73	42, 70, 72	seq3-1 10395	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0)))‘1) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0))‘1))
74	41, 73	eqtrd 2198	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0))‘1))
75		1le1 8470	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 1
76	75	iftruei 3526	. . . . 5 ⊢ if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 0) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1)
77	76, 37	syl5eq 2211	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 0) = 𝐵)
78	77, 35	eqeltrd 2243	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 0) ∈ ℂ)
79		breq1 3985	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
80		fveq2 5486	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
81	79, 80	ifbieq1d 3542	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0) = if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 0))
82	81, 43	fvmptg 5562	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 0) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0))‘1) = if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 0))
83	6, 78, 82	sylancr 411	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0))‘1) = if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 0))
84	74, 83, 77	3eqtrd 2202	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  DECID wdc 824   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  Ⅎwnfc 2295  ⦋csb 3045  ifcif 3520  {csn 3576  ⟨cop 3579   class class class wbr 3982   ↦ cmpt 4043  –1-1-onto→wf1o 5187  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  ℝcr 7752  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   ≤ cle 7934  ℕcn 8857  ℤcz 9191  ℤ_≥cuz 9466  ...cfz 9944  seqcseq 10380  Σcsu 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by:  fsumsplitsn  11351  sumsn  11352