Theorem sumsnf 11412

Description: A sum of a singleton is the term. A version of sumsn 11414 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumsnf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
sumsnf.2	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumsnf	⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sumsnf

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2319	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑚𝐴
2		nfcsb1v 3090	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
3		csbeq1a 3066	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴)
4	1, 2, 3	cbvsumi 11365	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑀}⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
5		csbeq1 3060	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴)
6		1nn 8928	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℕ)
8		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ 𝑉)
9		f1osng 5502	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
10	6, 8, 9	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
11		1z 9277	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		fzsn 10063	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
13		f1oeq2 5450	. . . . . . 7 ⊢ ((1...1) = {1} → ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀}))
14	11, 12, 13	mp2b 8	. . . . . 6 ⊢ ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
15	10, 14	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
16		elsni 3610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑀} → 𝑚 = 𝑀)
17	16	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 = 𝑀)
18	17	csbeq1d 3064	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴)
19		sumsnf.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
20	19	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → Ⅎ𝑘𝐵)
21		sumsnf.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐵)
22	20, 21	csbiegf 3100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
24		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝐵 ∈ ℂ)
25	23, 24	eqeltrd 2254	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
26	18, 25	eqeltrd 2254	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
27	22	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
28		elfz1eq 10032	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...1) → 𝑛 = 1)
29	28	fveq2d 5519	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
30		fvsng 5712	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
31	6, 8, 30	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
32	29, 31	sylan9eqr 2232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = 𝑀)
33	32	csbeq1d 3064	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴 = ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴)
34	28	fveq2d 5519	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
35		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
36		fvsng 5712	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
37	6, 35, 36	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
38	34, 37	sylan9eqr 2232	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = 𝐵)
39	27, 33, 38	3eqtr4rd 2221	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴)
40	5, 7, 15, 26, 39	fsum3 11390	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ {𝑀}⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0)))‘1))
41	4, 40	eqtrid 2222	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0)))‘1))
42		1zzd 9278	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℤ)
43		eqid 2177	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0))
44		breq1 4006	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑢 → (𝑛 ≤ 1 ↔ 𝑢 ≤ 1))
45		fveq2 5515	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑢 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑢))
46	44, 45	ifbieq1d 3556	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑢 → if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0) = if(𝑢 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑢), 0))
47		elnnuz 9562	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℕ ↔ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1))
48	47	biimpri 133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑢 ∈ ℕ)
49	48	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑢 ∈ ℕ)
50		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → 𝑢 ≤ 1)
51		eluzle 9538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ≤ 𝑢)
52	51	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → 1 ≤ 𝑢)
53		eluzelre 9536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑢 ∈ ℝ)
54	53	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → 𝑢 ∈ ℝ)
55		1red 7971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
56	54, 55	letri3d 8071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → (𝑢 = 1 ↔ (𝑢 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑢)))
57	50, 52, 56	mpbir2and 944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → 𝑢 = 1)
58	57	fveq2d 5519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑢) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
59	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
60	58, 59	eqtrd 2210	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑢) = 𝐵)
61	35	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
62	60, 61	eqeltrd 2254	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑢 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑢) ∈ ℂ)
63		0cnd 7949	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ ¬ 𝑢 ≤ 1) → 0 ∈ ℂ)
64	49	nnzd 9372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑢 ∈ ℤ)
65		1zzd 9278	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → 1 ∈ ℤ)
66		zdcle 9327	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑢 ≤ 1)
67	64, 65, 66	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → DECID 𝑢 ≤ 1)
68	62, 63, 67	ifcldadc 3563	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → if(𝑢 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑢), 0) ∈ ℂ)
69	43, 46, 49, 68	fvmptd3 5609	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0))‘𝑢) = if(𝑢 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑢), 0))
70	69, 68	eqeltrd 2254	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑢 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0))‘𝑢) ∈ ℂ)
71		addcl 7935	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ)
72	71	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ)
73	42, 70, 72	seq3-1 10457	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0)))‘1) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0))‘1))
74	41, 73	eqtrd 2210	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0))‘1))
75		1le1 8527	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 1
76	75	iftruei 3540	. . . . 5 ⊢ if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 0) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1)
77	76, 37	eqtrid 2222	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 0) = 𝐵)
78	77, 35	eqeltrd 2254	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 0) ∈ ℂ)
79		breq1 4006	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
80		fveq2 5515	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
81	79, 80	ifbieq1d 3556	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0) = if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 0))
82	81, 43	fvmptg 5592	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 0) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0))‘1) = if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 0))
83	6, 78, 82	sylancr 414	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 0))‘1) = if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 0))
84	74, 83, 77	3eqtrd 2214	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Ⅎwnfc 2306  ⦋csb 3057  ifcif 3534  {csn 3592  ⟨cop 3595   class class class wbr 4003   ↦ cmpt 4064  –1-1-onto→wf1o 5215  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  ℂcc 7808  ℝcr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   ≤ cle 7991  ℕcn 8917  ℤcz 9251  ℤ_≥cuz 9526  ...cfz 10006  seqcseq 10442  Σcsu 11356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-fz 10007  df-fzo 10140  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-ihash 10751  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-clim 11282  df-sumdc 11357

This theorem is referenced by:  fsumsplitsn  11413  sumsn  11414