Theorem sumfct 12059

Description: A lemma to facilitate conversions from the function form to the class-variable form of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
sumfct	⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → Σ𝑗 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sumfct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
2		nfcsb1v 3171	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
3	2	nfel1 2395	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
4		csbeq1a 3147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
5	4	eleq1d 2301	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
6	3, 5	rspc 2915	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
7	6	impcom 125	. . . 4 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
8		eqid 2232	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
9	8	fvmpts 5755	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
10	1, 7, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
11	10	sumeq2dv 12053	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → Σ𝑗 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
12		nfcv 2384	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
13	12, 2, 4	cbvsumi 12047	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
14	11, 13	eqtr4di 2283	1 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → Σ𝑗 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  ⦋csb 3138   ↦ cmpt 4171  ‘cfv 5352  ℂcc 8125  Σcsu 12038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-seqfrec 10810  df-sumdc 12039

This theorem is referenced by:  fsumf1o  12076  isumss  12077  fisumss  12078  fsumcl2lem  12084  fsumadd  12092  isumclim3  12109  isummulc2  12112  fsummulc2  12134  isumshft  12176