Theorem eleqtrdi 2289

Description: A membership and equality inference. (Contributed by NM, 4-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
eleqtrdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
eleqtrdi.2	⊢ 𝐵 = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
eleqtrdi	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem eleqtrdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleqtrdi.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		eleqtrdi.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = 𝐶
3	2	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 3	eleqtrd 2275	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-ial 1548  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2189  df-clel 2192

This theorem is referenced by:  eleqtrrdi  2290  prid2g  3728  freccllem  6469  nninfisol  7208  finomni  7215  exmidomniim  7216  ismkvnex  7230  exmidaclem  7293  caucvgprprlem2  7796  gt0srpr  7834  eluzel2  9625  fseq1p1m1  10188  fznn0sub2  10222  nn0split  10230  nnsplit  10231  exple1  10706  bcval5  10874  bcpasc  10877  zfz1isolemsplit  10949  seq3coll  10953  clim2ser  11521  clim2ser2  11522  iserex  11523  isermulc2  11524  iserle  11526  iserge0  11527  climub  11528  climserle  11529  serf0  11536  summodclem3  11564  summodclem2a  11565  fsum3  11571  sum0  11572  fsumcl2lem  11582  fsumadd  11590  isumclim3  11607  isumadd  11615  fsump1i  11617  fsummulc2  11632  cvgcmpub  11660  binom1dif  11671  isumshft  11674  isumsplit  11675  isumrpcl  11678  arisum2  11683  trireciplem  11684  geoserap  11691  geolim  11695  geo2lim  11700  cvgratnnlemnexp  11708  cvgratnnlemseq  11710  cvgratgt0  11717  mertenslemi1  11719  mertenslem2  11720  mertensabs  11721  clim2prod  11723  clim2divap  11724  prodmodclem3  11759  prodmodclem2a  11760  fprodseq  11767  fprodntrivap  11768  fprodssdc  11774  fprodmul  11775  fprodabs  11800  fprodeq0  11801  efcvgfsum  11851  efcj  11857  effsumlt  11876  mod2eq1n2dvds  12063  bitsfzolem  12138  bitsfzo  12139  bitsfi  12141  bitsinv1lem  12145  bitsinv1  12146  nninfctlemfo  12234  algrp1  12241  phiprmpw  12417  crth  12419  phimullem  12420  prmdiv  12430  pcpremul  12489  pcmpt  12539  pcfac  12546  pockthlem  12552  pockthg  12553  1arith  12563  ennnfonelemp1  12650  nninfdclemp1  12694  relelbasov  12767  gsumwsubmcl  13200  gsumwmhm  13202  mulgnnp1  13338  mulgnn0z  13357  mulgnndir  13359  idomdomd  13911  idomcringd  13912  lspprid2  14046  istps  14376  topontopn  14381  cldrcl  14446  cnrehmeocntop  14954  elplyd  15085  ply1termlem  15086  ply1term  15087  plyaddlem1  15091  plymullem1  15092  plyaddlem  15093  plymullem  15094  plycoeid3  15101  plycolemc  15102  plycj  15105  dvply1  15109  0sgmppw  15337  1sgmprm  15338  lgsval2lem  15359  lgsdir2lem3  15379  lgsdir2lem5  15381  lgsdir  15384  lgsdilem2  15385  lgsdi  15386  lgsne0  15387  gausslemma2dlem3  15412  lgseisenlem1  15419  lgseisenlem4  15422  lgsquadlem2  15427  2omap  15750  nnsf  15760  nninfsellemqall  15770  nninfomnilem  15773  nnnninfex  15777  nninfnfiinf  15778  cvgcmp2nlemabs  15789  trilpolemeq1  15797  nconstwlpolemgt0  15821