Theorem cntzidss 14166

Description: If the elements of 𝑆 commute, the elements of a subset 𝑇 also commute. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
cntzmhm.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cntzidss	⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑇))

Proof of Theorem cntzidss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝑆)
2		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))
3		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		cntzmhm.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
5	3, 4	cntzssv 14154	. . . . 5 ⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
6	2, 5	sstrdi 3260	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
7	3, 4	cntz2ss 14162	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘𝑇))
8	6, 7	sylancom 424	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘𝑇))
9	2, 8	sstrd 3258	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇))
10	1, 9	sstrd 3258	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5377  Basecbs 13404  Cntzccntz 14140

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9308  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-cntz 14142

This theorem is used by: (None)