Theorem snex 4171

Description: A singleton whose element exists is a set. (Contributed by NM, 7-Aug-1994.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
snex.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
snex	⊢ {𝐴} ∈ V

Proof of Theorem snex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		snexg 4170	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ {𝐴} ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730  {csn 3583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589

This theorem is referenced by:  snelpw  4198  rext  4200  sspwb  4201  intid  4209  euabex  4210  mss  4211  exss  4212  opi1  4217  opeqsn  4237  opeqpr  4238  uniop  4240  snnex  4433  op1stb  4463  dtruex  4543  relop  4761  funopg  5232  fo1st  6136  fo2nd  6137  mapsn  6668  mapsnconst  6672  mapsncnv  6673  mapsnf1o2  6674  elixpsn  6713  ixpsnf1o  6714  ensn1  6774  mapsnen  6789  xpsnen  6799  endisj  6802  xpcomco  6804  xpassen  6808  phplem2  6831  findcard2  6867  findcard2s  6868  ac6sfi  6876  xpfi  6907  djuex  7020  0ct  7084  finomni  7116  exmidfodomrlemim  7178  djuassen  7194  cc2lem  7228  nn0ex  9141  fxnn0nninf  10394  inftonninf  10397  hashxp  10761  reldvg  13442