Theorem snex 4322

Description: A singleton whose element exists is a set. (Contributed by NM, 7-Aug-1994.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
snex.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
snex	⊢ {𝐴} ∈ V

Proof of Theorem snex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		snexg 4321	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ {𝐴} ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  {csn 3709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715

This theorem is used by:  snelpw  4352  rext  4355  sspwb  4356  intid  4364  euabex  4365  mss  4366  exss  4367  opi1  4372  opeqsn  4393  opeqpr  4394  uniop  4396  snnex  4594  op1stb  4624  dtruex  4706  relop  4930  funopg  5411  funopsn  5891  fo1st  6391  fo2nd  6392  mapsn  6972  mapsnconst  6976  mapsncnv  6977  mapsnf1o2  6978  elixpsn  7017  ixpsnf1o  7018  ensn1  7083  mapsnen  7100  dom1o  7116  xpsnen  7119  endisj  7122  xpcomco  7124  xpassen  7128  phplem2  7154  findcard2  7193  findcard2s  7194  ac6sfi  7202  xpfi  7239  mapfi  7261  djuex  7383  0ct  7447  finomni  7480  exmidfodomrlemim  7553  djuassen  7573  cc2lem  7632  nn0ex  9569  xnn0nnen  10874  fxnn0nninf  10876  inftonninf  10879  hashxp  11267  hashf1lem1  11285  nninfct  12818  fngzsum  13708  znval  14971  fnpsr  15051  reldvg  15780  plyval  15833  elply2  15836  plyss  15839  plyco  15860  plycj  15862  wexmiddifxy  17046