Theorem snex 4219

Description: A singleton whose element exists is a set. (Contributed by NM, 7-Aug-1994.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
snex.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
snex	⊢ {𝐴} ∈ V

Proof of Theorem snex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		snexg 4218	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ {𝐴} ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763  {csn 3623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629

This theorem is referenced by:  snelpw  4247  rext  4249  sspwb  4250  intid  4258  euabex  4259  mss  4260  exss  4261  opi1  4266  opeqsn  4286  opeqpr  4287  uniop  4289  snnex  4484  op1stb  4514  dtruex  4596  relop  4817  funopg  5293  fo1st  6224  fo2nd  6225  mapsn  6758  mapsnconst  6762  mapsncnv  6763  mapsnf1o2  6764  elixpsn  6803  ixpsnf1o  6804  ensn1  6864  mapsnen  6879  xpsnen  6889  endisj  6892  xpcomco  6894  xpassen  6898  phplem2  6923  findcard2  6959  findcard2s  6960  ac6sfi  6968  xpfi  7002  djuex  7118  0ct  7182  finomni  7215  exmidfodomrlemim  7280  djuassen  7300  cc2lem  7349  nn0ex  9272  xnn0nnen  10546  fxnn0nninf  10548  inftonninf  10551  hashxp  10935  nninfct  12233  fngsum  13090  znval  14268  fnpsr  14297  reldvg  14999  plyval  15052  elply2  15055  plyss  15058  plyco  15079  plycj  15081