Theorem snex 4117

Description: A singleton whose element exists is a set. (Contributed by NM, 7-Aug-1994.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
snex.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
snex	⊢ {𝐴} ∈ V

Proof of Theorem snex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		snexg 4116	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ {𝐴} ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 1481  Vcvv 2689  {csn 3532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538

This theorem is referenced by:  snelpw  4143  rext  4145  sspwb  4146  intid  4154  euabex  4155  mss  4156  exss  4157  opi1  4162  opeqsn  4182  opeqpr  4183  uniop  4185  snnex  4377  op1stb  4407  dtruex  4482  relop  4697  funopg  5165  fo1st  6063  fo2nd  6064  mapsn  6592  mapsnconst  6596  mapsncnv  6597  mapsnf1o2  6598  elixpsn  6637  ixpsnf1o  6638  ensn1  6698  mapsnen  6713  xpsnen  6723  endisj  6726  xpcomco  6728  xpassen  6732  phplem2  6755  findcard2  6791  findcard2s  6792  ac6sfi  6800  xpfi  6826  djuex  6936  0ct  7000  finomni  7020  exmidfodomrlemim  7074  djuassen  7090  cc2lem  7098  nn0ex  9007  fxnn0nninf  10242  inftonninf  10245  hashxp  10604  reldvg  12856