Theorem snex 4324

Description: A singleton whose element exists is a set. (Contributed by NM, 7-Aug-1994.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
snex.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
snex	⊢ {𝐴} ∈ V

Proof of Theorem snex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		snexg 4323	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ {𝐴} ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  {csn 3709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715

This theorem is used by:  snelpw  4354  rext  4357  sspwb  4358  intid  4366  euabex  4367  mss  4368  exss  4369  opi1  4374  opeqsn  4395  opeqpr  4396  uniop  4398  snnex  4596  op1stb  4626  dtruex  4708  relop  4932  funopg  5414  funopsn  5894  fo1st  6395  fo2nd  6396  mapsn  6976  mapsnconst  6980  mapsncnv  6981  mapsnf1o2  6982  elixpsn  7021  ixpsnf1o  7022  ensn1  7087  mapsnen  7104  dom1o  7120  xpsnen  7123  endisj  7126  xpcomco  7128  xpassen  7132  phplem2  7158  findcard2  7197  findcard2s  7198  ac6sfi  7206  xpfi  7243  mapfi  7265  djuex  7389  0ct  7453  finomni  7486  exmidfodomrlemim  7559  djuassen  7579  cc2lem  7638  nn0ex  9580  xnn0nnen  10895  fxnn0nninf  10897  inftonninf  10900  hashxp  11289  hashf1lem1  11307  nninfct  12843  fngzsum  13767  znval  15080  fnpsr  15160  psrlidmfi  15199  reldvg  15905  plyval  15958  elply2  15961  plyss  15964  plyco  15985  plycj  15987  wexmiddifxy  17251