Theorem snex 4303

Description: A singleton whose element exists is a set. (Contributed by NM, 7-Aug-1994.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
snex.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
snex	⊢ {𝐴} ∈ V

Proof of Theorem snex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		snexg 4302	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ {𝐴} ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815  {csn 3694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700

This theorem is referenced by:  snelpw  4333  rext  4336  sspwb  4337  intid  4345  euabex  4346  mss  4347  exss  4348  opi1  4353  opeqsn  4374  opeqpr  4375  uniop  4377  snnex  4574  op1stb  4604  dtruex  4686  relop  4910  funopg  5391  funopsn  5865  fo1st  6364  fo2nd  6365  mapsn  6938  mapsnconst  6942  mapsncnv  6943  mapsnf1o2  6944  elixpsn  6983  ixpsnf1o  6984  ensn1  7049  mapsnen  7066  dom1o  7082  xpsnen  7085  endisj  7088  xpcomco  7090  xpassen  7094  phplem2  7120  findcard2  7159  findcard2s  7160  ac6sfi  7168  xpfi  7205  mapfi  7227  djuex  7347  0ct  7411  finomni  7444  exmidfodomrlemim  7517  djuassen  7537  cc2lem  7596  nn0ex  9519  xnn0nnen  10823  fxnn0nninf  10825  inftonninf  10828  hashxp  11216  nninfct  12762  fngsum  13651  znval  14910  fnpsr  14941  reldvg  15670  plyval  15723  elply2  15726  plyss  15729  plyco  15750  plycj  15752