ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  znidomb GIF version

Theorem znidomb 14103
Description: The ℤ/n structure is a domain precisely when 𝑛 is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zntos.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
znidomb (𝑁 ∈ ℕ → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑁 ∈ ℙ))

Proof of Theorem znidomb
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 9331 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
21a1i 9 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2 ∈ ℤ)
3 nnz 9322 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
43adantr 276 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 𝑁 ∈ ℤ)
5 hash2 10857 . . . . . . 7 (♯‘2o) = 2
6 isidom 13736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
76simprbi 275 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ Domn)
8 domnnzr 13730 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ Domn → 𝑌 ∈ NzRing)
97, 8syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ NzRing)
10 eqid 2189 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
1110isnzr2 13644 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ NzRing ↔ (𝑌 ∈ Ring ∧ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
1211simprbi 275 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ NzRing → 2o ≼ (Base‘𝑌))
139, 12syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ IDomn → 2o ≼ (Base‘𝑌))
1413adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2o ≼ (Base‘𝑌))
15 2onn 6561 . . . . . . . . . 10 2o ∈ ω
16 nnfi 6915 . . . . . . . . . 10 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . 9 2o ∈ Fin
18 zntos.y . . . . . . . . . . 11 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
1918, 10znfi 14100 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
2019adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
21 fihashdom 10848 . . . . . . . . 9 ((2o ∈ Fin ∧ (Base‘𝑌) ∈ Fin) → ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
2217, 20, 21sylancr 414 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
2314, 22mpbird 167 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → (♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
245, 23eqbrtrrid 4061 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2 ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
2518, 10znhash 14101 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
2625adantr 276 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
2724, 26breqtrd 4051 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2 ≤ 𝑁)
28 eluz2 9584 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
292, 4, 27, 28syl3anbrc 1183 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
30 nncn 8976 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
3130ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
32 nncn 8976 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
3332ad2antrl 490 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
34 nnap0 8997 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 # 0)
3534ad2antrl 490 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑥 # 0)
3631, 33, 35divcanap1d 8796 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((𝑁 / 𝑥) · 𝑥) = 𝑁)
3736fveq2d 5546 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘((𝑁 / 𝑥) · 𝑥)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁))
387ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑌 ∈ Domn)
39 domnring 13731 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ Domn → 𝑌 ∈ Ring)
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑌 ∈ Ring)
41 eqid 2189 . . . . . . . . . . . 12 (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
4241zrhrhm 14068 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
4340, 42syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
44 simprr 531 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑥𝑁)
45 nnz 9322 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
4645ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑥 ∈ ℤ)
47 nnne0 8996 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ≠ 0)
4847ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑥 ≠ 0)
493ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
50 dvdsval2 11907 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ))
5146, 48, 49, 50syl3anc 1249 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑥𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ))
5244, 51mpbid 147 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ)
53 zringbas 14042 . . . . . . . . . . 11 ℤ = (Base‘ℤring)
54 zringmulr 14045 . . . . . . . . . . 11 · = (.r‘ℤring)
55 eqid 2189 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑌) = (.r𝑌)
5653, 54, 55rhmmul 13624 . . . . . . . . . 10 (((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘((𝑁 / 𝑥) · 𝑥)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)))
5743, 52, 46, 56syl3anc 1249 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘((𝑁 / 𝑥) · 𝑥)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)))
58 iddvds 11921 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝑁)
5949, 58syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑁𝑁)
60 nnnn0 9233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
6160ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
62 eqid 2189 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑌) = (0g𝑌)
6318, 41, 62zndvds0 14095 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑁))
6461, 49, 63syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑁))
6559, 64mpbird 167 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁) = (0g𝑌))
6637, 57, 653eqtr3d 2230 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)) = (0g𝑌))
6753, 10rhmf 13623 . . . . . . . . . . 11 ((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶(Base‘𝑌))
6843, 67syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶(Base‘𝑌))
6968, 52ffvelcdmd 5682 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌))
7068, 46ffvelcdmd 5682 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑌))
7110, 55, 62domneq0 13732 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ Domn ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑌)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)) = (0g𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌))))
7238, 69, 70, 71syl3anc 1249 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)) = (0g𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌))))
7366, 72mpbid 147 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌)))
7418, 41, 62zndvds0 14095 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥)))
7561, 52, 74syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥)))
76 nnre 8975 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
7776ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
78 nnre 8975 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
7978ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ)
80 nngt0 8993 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
8180ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 0 < 𝑁)
82 nngt0 8993 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℕ → 0 < 𝑥)
8382ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 0 < 𝑥)
8477, 79, 81, 83divgt0d 8940 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 0 < (𝑁 / 𝑥))
85 elnnz 9313 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 / 𝑥)))
8652, 84, 85sylanbrc 417 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑁 / 𝑥) ∈ ℕ)
87 dvdsle 11960 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥) → 𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥)))
8849, 86, 87syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥) → 𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥)))
89 1red 8020 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
90 0lt1 8132 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
9190a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 0 < 1)
92 lediv2 8896 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (𝑥 ≤ 1 ↔ (𝑁 / 1) ≤ (𝑁 / 𝑥)))
9379, 83, 89, 91, 77, 81, 92syl222anc 1265 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑥 ≤ 1 ↔ (𝑁 / 1) ≤ (𝑁 / 𝑥)))
94 nnle1eq1 8992 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 ≤ 1 ↔ 𝑥 = 1))
9594ad2antrl 490 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑥 ≤ 1 ↔ 𝑥 = 1))
9631div1d 8785 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑁 / 1) = 𝑁)
9796breq1d 4035 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((𝑁 / 1) ≤ (𝑁 / 𝑥) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥)))
9893, 95, 973bitr3rd 219 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥) ↔ 𝑥 = 1))
9988, 98sylibd 149 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥) → 𝑥 = 1))
10075, 99sylbid 150 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g𝑌) → 𝑥 = 1))
10118, 41, 62zndvds0 14095 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑥))
10261, 46, 101syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑥))
103 nnnn0 9233 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
104103ad2antrl 490 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
105 dvdseq 11964 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝑁𝑁𝑥)) → 𝑥 = 𝑁)
106105expr 375 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑁) → (𝑁𝑥𝑥 = 𝑁))
107104, 61, 44, 106syl21anc 1248 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑁𝑥𝑥 = 𝑁))
108102, 107sylbid 150 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌) → 𝑥 = 𝑁))
109100, 108orim12d 787 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌)) → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁)))
11073, 109mpd 13 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁))
111110expr 375 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥𝑁 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁)))
112111ralrimiva 2563 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥𝑁 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁)))
113 isprm2 12229 . . . 4 (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥𝑁 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁))))
11429, 112, 113sylanbrc 417 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 𝑁 ∈ ℙ)
115114ex 115 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑌 ∈ IDomn → 𝑁 ∈ ℙ))
11618znidom 14102 . 2 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ IDomn)
117115, 116impbid1 142 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑁 ∈ ℙ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709   = wceq 1364  wcel 2160  wne 2360  wral 2468   class class class wbr 4025  ωcom 4614  wf 5238  cfv 5242  (class class class)co 5906  2oc2o 6450  cdom 6780  Fincfn 6781  cc 7856  cr 7857  0cc0 7858  1c1 7859   · cmul 7863   < clt 8040  cle 8041   # cap 8586   / cdiv 8677  cn 8968  2c2 9019  0cn0 9226  cz 9303  cuz 9578  chash 10820  cdvds 11904  cprime 12219  Basecbs 12592  .rcmulr 12670  0gc0g 12841  Ringcrg 13456  CRingccrg 13457   RingHom crh 13610  NzRingcnzr 13639  Domncdomn 13716  IDomncidom 13717  ringczring 14036  ℤRHomczrh 14056  ℤ/nczn 14058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4140  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-iinf 4612  ax-cnex 7949  ax-resscn 7950  ax-1cn 7951  ax-1re 7952  ax-icn 7953  ax-addcl 7954  ax-addrcl 7955  ax-mulcl 7956  ax-mulrcl 7957  ax-addcom 7958  ax-mulcom 7959  ax-addass 7960  ax-mulass 7961  ax-distr 7962  ax-i2m1 7963  ax-0lt1 7964  ax-1rid 7965  ax-0id 7966  ax-rnegex 7967  ax-precex 7968  ax-cnre 7969  ax-pre-ltirr 7970  ax-pre-ltwlin 7971  ax-pre-lttrn 7972  ax-pre-apti 7973  ax-pre-ltadd 7974  ax-pre-mulgt0 7975  ax-pre-mulext 7976  ax-arch 7977  ax-caucvg 7978  ax-addf 7980  ax-mulf 7981
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-csb 3077  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-nul 3443  df-if 3554  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-iun 3910  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-tr 4124  df-id 4318  df-po 4321  df-iso 4322  df-iord 4391  df-on 4393  df-ilim 4394  df-suc 4396  df-iom 4615  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-f1 5247  df-fo 5248  df-f1o 5249  df-fv 5250  df-riota 5861  df-ov 5909  df-oprab 5910  df-mpo 5911  df-1st 6180  df-2nd 6181  df-tpos 6285  df-recs 6345  df-irdg 6410  df-frec 6431  df-1o 6456  df-2o 6457  df-oadd 6460  df-er 6574  df-ec 6576  df-qs 6580  df-map 6691  df-en 6782  df-dom 6783  df-fin 6784  df-sup 7029  df-pnf 8042  df-mnf 8043  df-xr 8044  df-ltxr 8045  df-le 8046  df-sub 8178  df-neg 8179  df-reap 8580  df-ap 8587  df-div 8678  df-inn 8969  df-2 9027  df-3 9028  df-4 9029  df-5 9030  df-6 9031  df-7 9032  df-8 9033  df-9 9034  df-n0 9227  df-z 9304  df-dec 9435  df-uz 9579  df-q 9671  df-rp 9706  df-fz 10061  df-fzo 10195  df-fl 10325  df-mod 10380  df-seqfrec 10505  df-exp 10584  df-ihash 10821  df-cj 10960  df-re 10961  df-im 10962  df-rsqrt 11116  df-abs 11117  df-dvds 11905  df-gcd 12054  df-prm 12220  df-struct 12594  df-ndx 12595  df-slot 12596  df-base 12598  df-sets 12599  df-iress 12600  df-plusg 12682  df-mulr 12683  df-starv 12684  df-sca 12685  df-vsca 12686  df-ip 12687  df-ple 12689  df-0g 12843  df-iimas 12859  df-qus 12860  df-mgm 12913  df-sgrp 12959  df-mnd 12972  df-mhm 13005  df-grp 13049  df-minusg 13050  df-sbg 13051  df-mulg 13164  df-subg 13213  df-nsg 13214  df-eqg 13215  df-ghm 13284  df-cmn 13329  df-abl 13330  df-mgp 13381  df-rng 13393  df-ur 13420  df-srg 13424  df-ring 13458  df-cring 13459  df-oppr 13528  df-dvdsr 13549  df-rhm 13612  df-nzr 13640  df-subrg 13679  df-domn 13719  df-idom 13720  df-lmod 13749  df-lssm 13813  df-lsp 13847  df-sra 13895  df-rgmod 13896  df-lidl 13929  df-rsp 13930  df-2idl 13960  df-icnfld 14012  df-zring 14037  df-zrh 14059  df-zn 14061
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator