Theorem znidomb 14793

Description: The ℤ/nℤ structure is a domain precisely when 𝑛 is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zntos.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
znidomb	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑁 ∈ ℙ))

Proof of Theorem znidomb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9601	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
2	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2 ∈ ℤ)
3		nnz 9592	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		hash2 11172	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘2o) = 2
6		isidom 14411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
7	6	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ Domn)
8		domnnzr 14405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ Domn → 𝑌 ∈ NzRing)
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ NzRing)
10		eqid 2232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
11	10	isnzr2 14318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ NzRing ↔ (𝑌 ∈ Ring ∧ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
12	11	simprbi 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ NzRing → 2o ≼ (Base‘𝑌))
13	9, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 2o ≼ (Base‘𝑌))
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2o ≼ (Base‘𝑌))
15		2onn 6753	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2o ∈ ω
16		nnfi 7126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o ∈ Fin
18		zntos.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
19	18, 10	znfi 14790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
20	19	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
21		fihashdom 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ (Base‘𝑌) ∈ Fin) → ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
22	17, 20, 21	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
23	14, 22	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → (♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
24	5, 23	eqbrtrrid 4144	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2 ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
25	18, 10	znhash 14791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
26	25	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
27	24, 26	breqtrd 4134	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2 ≤ 𝑁)
28		eluz2 9855	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
29	2, 4, 27, 28	syl3anbrc 1208	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
30		nncn 9241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
31	30	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
32		nncn 9241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
33	32	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
34		nnap0 9262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 # 0)
35	34	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 # 0)
36	31, 33, 35	divcanap1d 9061	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((𝑁 / 𝑥) · 𝑥) = 𝑁)
37	36	fveq2d 5673	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘((𝑁 / 𝑥) · 𝑥)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁))
38	7	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑌 ∈ Domn)
39		domnring 14406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ Domn → 𝑌 ∈ Ring)
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑌 ∈ Ring)
41		eqid 2232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
42	41	zrhrhm 14758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
43	40, 42	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
44		simprr 533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∥ 𝑁)
45		nnz 9592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
46	45	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℤ)
47		nnne0 9261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ≠ 0)
48	47	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ≠ 0)
49	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
50		dvdsval2 12469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ))
51	46, 48, 49, 50	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ))
52	44, 51	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ)
53		zringbas 14731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
54		zringmulr 14734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘ℤring)
55		eqid 2232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
56	53, 54, 55	rhmmul 14298	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘((𝑁 / 𝑥) · 𝑥)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)))
57	43, 52, 46, 56	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘((𝑁 / 𝑥) · 𝑥)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)))
58		iddvds 12483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)
59	49, 58	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∥ 𝑁)
60		nnnn0 9499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
61	60	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
62		eqid 2232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
63	18, 41, 62	zndvds0 14785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑁))
64	61, 49, 63	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑁))
65	59, 64	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁) = (0g‘𝑌))
66	37, 57, 65	3eqtr3d 2273	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)) = (0g‘𝑌))
67	53, 10	rhmf 14297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶(Base‘𝑌))
68	43, 67	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶(Base‘𝑌))
69	68, 52	ffvelcdmd 5812	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌))
70	68, 46	ffvelcdmd 5812	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑌))
71	10, 55, 62	domneq0 14407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ Domn ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑌)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)) = (0g‘𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌))))
72	38, 69, 70, 71	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)) = (0g‘𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌))))
73	66, 72	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌)))
74	18, 41, 62	zndvds0 14785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥)))
75	61, 52, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥)))
76		nnre 9240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
77	76	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
78		nnre 9240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
79	78	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ)
80		nngt0 9258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
81	80	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 0 < 𝑁)
82		nngt0 9258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 0 < 𝑥)
83	82	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 0 < 𝑥)
84	77, 79, 81, 83	divgt0d 9205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 0 < (𝑁 / 𝑥))
85		elnnz 9583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 / 𝑥)))
86	52, 84, 85	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 / 𝑥) ∈ ℕ)
87		dvdsle 12523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥) → 𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥)))
88	49, 86, 87	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥) → 𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥)))
89		1red 8285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
90		0lt1 8396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
91	90	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 0 < 1)
92		lediv2 9161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (𝑥 ≤ 1 ↔ (𝑁 / 1) ≤ (𝑁 / 𝑥)))
93	79, 83, 89, 91, 77, 81, 92	syl222anc 1290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑥 ≤ 1 ↔ (𝑁 / 1) ≤ (𝑁 / 𝑥)))
94		nnle1eq1 9257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 ≤ 1 ↔ 𝑥 = 1))
95	94	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑥 ≤ 1 ↔ 𝑥 = 1))
96	31	div1d 9050	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 / 1) = 𝑁)
97	96	breq1d 4118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((𝑁 / 1) ≤ (𝑁 / 𝑥) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥)))
98	93, 95, 97	3bitr3rd 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥) ↔ 𝑥 = 1))
99	88, 98	sylibd 149	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥) → 𝑥 = 1))
100	75, 99	sylbid 150	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) → 𝑥 = 1))
101	18, 41, 62	zndvds0 14785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
102	61, 46, 101	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
103		nnnn0 9499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
104	103	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
105		dvdseq 12527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)) → 𝑥 = 𝑁)
106	105	expr 375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∥ 𝑁) → (𝑁 ∥ 𝑥 → 𝑥 = 𝑁))
107	104, 61, 44, 106	syl21anc 1273	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ∥ 𝑥 → 𝑥 = 𝑁))
108	102, 107	sylbid 150	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌) → 𝑥 = 𝑁))
109	100, 108	orim12d 794	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌)) → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁)))
110	73, 109	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁))
111	110	expr 375	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ∥ 𝑁 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁)))
112	111	ralrimiva 2615	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 ∥ 𝑁 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁)))
113		isprm2 12807	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 ∥ 𝑁 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁))))
114	29, 112, 113	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 𝑁 ∈ ℙ)
115	114	ex 115	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑌 ∈ IDomn → 𝑁 ∈ ℙ))
116	18	znidom 14792	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ IDomn)
117	115, 116	impbid1 142	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑁 ∈ ℙ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  ∀wral 2520   class class class wbr 4108  ωcom 4711  ⟶wf 5347  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  2_oc2o 6640   ≼ cdom 6973  Fincfn 6974  ℂcc 8121  ℝcr 8122  0cc0 8123  1c1 8124   · cmul 8128   < clt 8304   ≤ cle 8305   # cap 8851   / cdiv 8942  ℕcn 9233  2c2 9284  ℕ₀cn0 9492  ℤcz 9573  ℤ_≥cuz 9849  ♯chash 11133   ∥ cdvds 12466  ℙcprime 12797  Basecbs 13201  ._rcmulr 13280  0_gc0g 13458  Ringcrg 14129  CRingccrg 14130   RingHom crh 14284  NzRingcnzr 14313  Domncdomn 14390  IDomncidom 14391  ℤ_ringczring 14725  ℤRHomczrh 14746  ℤ/nℤczn 14748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241  ax-arch 8242  ax-caucvg 8243  ax-addf 8245  ax-mulf 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-tpos 6475  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-frec 6621  df-1o 6646  df-2o 6647  df-oadd 6650  df-er 6766  df-ec 6768  df-qs 6772  df-map 6883  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-sup 7274  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-z 9574  df-dec 9706  df-uz 9850  df-q 9948  df-rp 9983  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-fl 10626  df-mod 10681  df-seqfrec 10806  df-exp 10897  df-ihash 11134  df-cj 11520  df-re 11521  df-im 11522  df-rsqrt 11676  df-abs 11677  df-dvds 12467  df-gcd 12643  df-prm 12798  df-struct 13203  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-sets 13208  df-iress 13209  df-plusg 13292  df-mulr 13293  df-starv 13294  df-sca 13295  df-vsca 13296  df-ip 13297  df-tset 13298  df-ple 13299  df-ds 13301  df-unif 13302  df-0g 13460  df-topgen 13462  df-iimas 13504  df-qus 13505  df-mgm 13558  df-sgrp 13604  df-mnd 13619  df-mhm 13661  df-grp 13705  df-minusg 13706  df-sbg 13707  df-mulg 13826  df-subg 13876  df-nsg 13877  df-eqg 13878  df-ghm 13947  df-cmn 13992  df-abl 13993  df-mgp 14054  df-rng 14066  df-ur 14093  df-srg 14097  df-ring 14131  df-cring 14132  df-oppr 14201  df-dvdsr 14222  df-rhm 14286  df-nzr 14314  df-subrg 14353  df-domn 14393  df-idom 14394  df-lmod 14424  df-lssm 14488  df-lsp 14522  df-sra 14570  df-rgmod 14571  df-lidl 14604  df-rsp 14605  df-2idl 14635  df-bl 14681  df-mopn 14682  df-fg 14684  df-metu 14685  df-cnfld 14692  df-zring 14726  df-zrh 14749  df-zn 14751

This theorem is referenced by: (None)