Theorem znidomb 14292

Description: The ℤ/nℤ structure is a domain precisely when 𝑛 is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zntos.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
znidomb	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑁 ∈ ℙ))

Proof of Theorem znidomb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9373	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
2	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2 ∈ ℤ)
3		nnz 9364	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		hash2 10923	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘2o) = 2
6		isidom 13910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
7	6	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ Domn)
8		domnnzr 13904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ Domn → 𝑌 ∈ NzRing)
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ NzRing)
10		eqid 2196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
11	10	isnzr2 13818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ NzRing ↔ (𝑌 ∈ Ring ∧ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
12	11	simprbi 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ NzRing → 2o ≼ (Base‘𝑌))
13	9, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 2o ≼ (Base‘𝑌))
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2o ≼ (Base‘𝑌))
15		2onn 6588	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2o ∈ ω
16		nnfi 6942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o ∈ Fin
18		zntos.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
19	18, 10	znfi 14289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
20	19	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
21		fihashdom 10914	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ (Base‘𝑌) ∈ Fin) → ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
22	17, 20, 21	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
23	14, 22	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → (♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
24	5, 23	eqbrtrrid 4070	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2 ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
25	18, 10	znhash 14290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
26	25	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
27	24, 26	breqtrd 4060	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2 ≤ 𝑁)
28		eluz2 9626	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
29	2, 4, 27, 28	syl3anbrc 1183	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
30		nncn 9017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
31	30	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
32		nncn 9017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
33	32	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
34		nnap0 9038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 # 0)
35	34	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 # 0)
36	31, 33, 35	divcanap1d 8837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((𝑁 / 𝑥) · 𝑥) = 𝑁)
37	36	fveq2d 5565	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘((𝑁 / 𝑥) · 𝑥)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁))
38	7	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑌 ∈ Domn)
39		domnring 13905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ Domn → 𝑌 ∈ Ring)
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑌 ∈ Ring)
41		eqid 2196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
42	41	zrhrhm 14257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
43	40, 42	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
44		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∥ 𝑁)
45		nnz 9364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
46	45	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℤ)
47		nnne0 9037	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ≠ 0)
48	47	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ≠ 0)
49	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
50		dvdsval2 11974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ))
51	46, 48, 49, 50	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ))
52	44, 51	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ)
53		zringbas 14230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
54		zringmulr 14233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘ℤring)
55		eqid 2196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
56	53, 54, 55	rhmmul 13798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘((𝑁 / 𝑥) · 𝑥)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)))
57	43, 52, 46, 56	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘((𝑁 / 𝑥) · 𝑥)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)))
58		iddvds 11988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)
59	49, 58	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∥ 𝑁)
60		nnnn0 9275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
61	60	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
62		eqid 2196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
63	18, 41, 62	zndvds0 14284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑁))
64	61, 49, 63	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑁))
65	59, 64	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁) = (0g‘𝑌))
66	37, 57, 65	3eqtr3d 2237	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)) = (0g‘𝑌))
67	53, 10	rhmf 13797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶(Base‘𝑌))
68	43, 67	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶(Base‘𝑌))
69	68, 52	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌))
70	68, 46	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑌))
71	10, 55, 62	domneq0 13906	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ Domn ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑌)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)) = (0g‘𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌))))
72	38, 69, 70, 71	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)) = (0g‘𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌))))
73	66, 72	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌)))
74	18, 41, 62	zndvds0 14284	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥)))
75	61, 52, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥)))
76		nnre 9016	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
77	76	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
78		nnre 9016	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
79	78	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ)
80		nngt0 9034	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
81	80	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 0 < 𝑁)
82		nngt0 9034	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 0 < 𝑥)
83	82	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 0 < 𝑥)
84	77, 79, 81, 83	divgt0d 8981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 0 < (𝑁 / 𝑥))
85		elnnz 9355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 / 𝑥)))
86	52, 84, 85	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 / 𝑥) ∈ ℕ)
87		dvdsle 12028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥) → 𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥)))
88	49, 86, 87	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥) → 𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥)))
89		1red 8060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
90		0lt1 8172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
91	90	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 0 < 1)
92		lediv2 8937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (𝑥 ≤ 1 ↔ (𝑁 / 1) ≤ (𝑁 / 𝑥)))
93	79, 83, 89, 91, 77, 81, 92	syl222anc 1265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑥 ≤ 1 ↔ (𝑁 / 1) ≤ (𝑁 / 𝑥)))
94		nnle1eq1 9033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 ≤ 1 ↔ 𝑥 = 1))
95	94	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑥 ≤ 1 ↔ 𝑥 = 1))
96	31	div1d 8826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 / 1) = 𝑁)
97	96	breq1d 4044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((𝑁 / 1) ≤ (𝑁 / 𝑥) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥)))
98	93, 95, 97	3bitr3rd 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥) ↔ 𝑥 = 1))
99	88, 98	sylibd 149	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥) → 𝑥 = 1))
100	75, 99	sylbid 150	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) → 𝑥 = 1))
101	18, 41, 62	zndvds0 14284	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
102	61, 46, 101	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
103		nnnn0 9275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
104	103	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
105		dvdseq 12032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)) → 𝑥 = 𝑁)
106	105	expr 375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∥ 𝑁) → (𝑁 ∥ 𝑥 → 𝑥 = 𝑁))
107	104, 61, 44, 106	syl21anc 1248	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ∥ 𝑥 → 𝑥 = 𝑁))
108	102, 107	sylbid 150	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌) → 𝑥 = 𝑁))
109	100, 108	orim12d 787	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌)) → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁)))
110	73, 109	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁))
111	110	expr 375	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ∥ 𝑁 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁)))
112	111	ralrimiva 2570	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 ∥ 𝑁 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁)))
113		isprm2 12312	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 ∥ 𝑁 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁))))
114	29, 112, 113	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 𝑁 ∈ ℙ)
115	114	ex 115	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑌 ∈ IDomn → 𝑁 ∈ ℙ))
116	18	znidom 14291	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ IDomn)
117	115, 116	impbid1 142	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑁 ∈ ℙ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∀wral 2475   class class class wbr 4034  ωcom 4627  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  2_oc2o 6477   ≼ cdom 6807  Fincfn 6808  ℂcc 7896  ℝcr 7897  0cc0 7898  1c1 7899   · cmul 7903   < clt 8080   ≤ cle 8081   # cap 8627   / cdiv 8718  ℕcn 9009  2c2 9060  ℕ₀cn0 9268  ℤcz 9345  ℤ_≥cuz 9620  ♯chash 10886   ∥ cdvds 11971  ℙcprime 12302  Basecbs 12705  ._rcmulr 12783  0_gc0g 12960  Ringcrg 13630  CRingccrg 13631   RingHom crh 13784  NzRingcnzr 13813  Domncdomn 13890  IDomncidom 13891  ℤ_ringczring 14224  ℤRHomczrh 14245  ℤ/nℤczn 14247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016  ax-arch 8017  ax-caucvg 8018  ax-addf 8020  ax-mulf 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-tpos 6312  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-oadd 6487  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-map 6718  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-5 9071  df-6 9072  df-7 9073  df-8 9074  df-9 9075  df-n0 9269  df-z 9346  df-dec 9477  df-uz 9621  df-q 9713  df-rp 9748  df-fz 10103  df-fzo 10237  df-fl 10379  df-mod 10434  df-seqfrec 10559  df-exp 10650  df-ihash 10887  df-cj 11026  df-re 11027  df-im 11028  df-rsqrt 11182  df-abs 11183  df-dvds 11972  df-gcd 12148  df-prm 12303  df-struct 12707  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-sets 12712  df-iress 12713  df-plusg 12795  df-mulr 12796  df-starv 12797  df-sca 12798  df-vsca 12799  df-ip 12800  df-tset 12801  df-ple 12802  df-ds 12804  df-unif 12805  df-0g 12962  df-topgen 12964  df-iimas 13006  df-qus 13007  df-mgm 13060  df-sgrp 13106  df-mnd 13121  df-mhm 13163  df-grp 13207  df-minusg 13208  df-sbg 13209  df-mulg 13328  df-subg 13378  df-nsg 13379  df-eqg 13380  df-ghm 13449  df-cmn 13494  df-abl 13495  df-mgp 13555  df-rng 13567  df-ur 13594  df-srg 13598  df-ring 13632  df-cring 13633  df-oppr 13702  df-dvdsr 13723  df-rhm 13786  df-nzr 13814  df-subrg 13853  df-domn 13893  df-idom 13894  df-lmod 13923  df-lssm 13987  df-lsp 14021  df-sra 14069  df-rgmod 14070  df-lidl 14103  df-rsp 14104  df-2idl 14134  df-bl 14180  df-mopn 14181  df-fg 14183  df-metu 14184  df-cnfld 14191  df-zring 14225  df-zrh 14248  df-zn 14250

This theorem is referenced by: (None)