Theorem hash2en 11317

Description: Two equivalent ways to say a set has two elements. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
hash2en	⊢ (𝑉 ≈ 2o ↔ (𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2))

Proof of Theorem hash2en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6798	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ ω
2		nnfi 7178	. . . . 5 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 2o ∈ Fin
4		enfi 7179	. . . 4 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → (𝑉 ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
5	3, 4	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → 𝑉 ∈ Fin)
6		hashen 11245	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 2o ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) = (♯‘2o) ↔ 𝑉 ≈ 2o))
7	5, 3, 6	sylancl 417	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → ((♯‘𝑉) = (♯‘2o) ↔ 𝑉 ≈ 2o))
8	7	ibir 177	. . . 4 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → (♯‘𝑉) = (♯‘2o))
9		hash2 11275	. . . 4 ⊢ (♯‘2o) = 2
10	8, 9	eqtrdi 2287	. . 3 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → (♯‘𝑉) = 2)
11	5, 10	jca 306	. 2 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → (𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2))
12		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (♯‘𝑉) = 2)
13	12, 9	eqtr4di 2289	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (♯‘𝑉) = (♯‘2o))
14		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑉 ∈ Fin)
15	14, 3, 6	sylancl 417	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ((♯‘𝑉) = (♯‘2o) ↔ 𝑉 ≈ 2o))
16	13, 15	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑉 ≈ 2o)
17	11, 16	impbii 126	1 ⊢ (𝑉 ≈ 2o ↔ (𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ωcom 4739  ‘cfv 5380  2_oc2o 6685   ≈ cen 7024  Fincfn 7026  2c2 9364  ♯chash 11236

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-ihash 11237

This theorem is used by:  upgr2wlkdc  16823