Theorem hash2en 11153

Description: Two equivalent ways to say a set has two elements. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
hash2en	⊢ (𝑉 ≈ 2o ↔ (𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2))

Proof of Theorem hash2en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6732	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ ω
2		nnfi 7102	. . . . 5 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 2o ∈ Fin
4		enfi 7103	. . . 4 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → (𝑉 ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
5	3, 4	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → 𝑉 ∈ Fin)
6		hashen 11092	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 2o ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) = (♯‘2o) ↔ 𝑉 ≈ 2o))
7	5, 3, 6	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → ((♯‘𝑉) = (♯‘2o) ↔ 𝑉 ≈ 2o))
8	7	ibir 177	. . . 4 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → (♯‘𝑉) = (♯‘2o))
9		hash2 11122	. . . 4 ⊢ (♯‘2o) = 2
10	8, 9	eqtrdi 2280	. . 3 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → (♯‘𝑉) = 2)
11	5, 10	jca 306	. 2 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → (𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2))
12		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (♯‘𝑉) = 2)
13	12, 9	eqtr4di 2282	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (♯‘𝑉) = (♯‘2o))
14		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑉 ∈ Fin)
15	14, 3, 6	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ((♯‘𝑉) = (♯‘2o) ↔ 𝑉 ≈ 2o))
16	13, 15	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑉 ≈ 2o)
17	11, 16	impbii 126	1 ⊢ (𝑉 ≈ 2o ↔ (𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ωcom 4694  ‘cfv 5333  2_oc2o 6619   ≈ cen 6950  Fincfn 6952  2c2 9236  ♯chash 11083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-2 9244  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-ihash 11084

This theorem is referenced by:  upgr2wlkdc  16301