Theorem hash2en 11273

Description: Two equivalent ways to say a set has two elements. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
hash2en	⊢ (𝑉 ≈ 2o ↔ (𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2))

Proof of Theorem hash2en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6784	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ ω
2		nnfi 7164	. . . . 5 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 2o ∈ Fin
4		enfi 7165	. . . 4 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → (𝑉 ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
5	3, 4	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → 𝑉 ∈ Fin)
6		hashen 11201	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 2o ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) = (♯‘2o) ↔ 𝑉 ≈ 2o))
7	5, 3, 6	sylancl 417	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → ((♯‘𝑉) = (♯‘2o) ↔ 𝑉 ≈ 2o))
8	7	ibir 177	. . . 4 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → (♯‘𝑉) = (♯‘2o))
9		hash2 11231	. . . 4 ⊢ (♯‘2o) = 2
10	8, 9	eqtrdi 2287	. . 3 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → (♯‘𝑉) = 2)
11	5, 10	jca 306	. 2 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → (𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2))
12		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (♯‘𝑉) = 2)
13	12, 9	eqtr4di 2289	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (♯‘𝑉) = (♯‘2o))
14		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑉 ∈ Fin)
15	14, 3, 6	sylancl 417	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ((♯‘𝑉) = (♯‘2o) ↔ 𝑉 ≈ 2o))
16	13, 15	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑉 ≈ 2o)
17	11, 16	impbii 126	1 ⊢ (𝑉 ≈ 2o ↔ (𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  ωcom 4732  ‘cfv 5372  2_oc2o 6671   ≈ cen 7010  Fincfn 7012  2c2 9334  ♯chash 11192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-ihash 11193

This theorem is referenced by:  upgr2wlkdc  16532