Theorem hash2en 11083

Description: Two equivalent ways to say a set has two elements. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
hash2en	⊢ (𝑉 ≈ 2o ↔ (𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2))

Proof of Theorem hash2en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6680	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ ω
2		nnfi 7047	. . . . 5 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 2o ∈ Fin
4		enfi 7048	. . . 4 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → (𝑉 ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
5	3, 4	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → 𝑉 ∈ Fin)
6		hashen 11023	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 2o ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) = (♯‘2o) ↔ 𝑉 ≈ 2o))
7	5, 3, 6	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → ((♯‘𝑉) = (♯‘2o) ↔ 𝑉 ≈ 2o))
8	7	ibir 177	. . . 4 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → (♯‘𝑉) = (♯‘2o))
9		hash2 11052	. . . 4 ⊢ (♯‘2o) = 2
10	8, 9	eqtrdi 2278	. . 3 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → (♯‘𝑉) = 2)
11	5, 10	jca 306	. 2 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → (𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2))
12		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (♯‘𝑉) = 2)
13	12, 9	eqtr4di 2280	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (♯‘𝑉) = (♯‘2o))
14		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑉 ∈ Fin)
15	14, 3, 6	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ((♯‘𝑉) = (♯‘2o) ↔ 𝑉 ≈ 2o))
16	13, 15	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑉 ≈ 2o)
17	11, 16	impbii 126	1 ⊢ (𝑉 ≈ 2o ↔ (𝑉 ∈ Fin ∧ (♯‘𝑉) = 2))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ωcom 4683  ‘cfv 5321  2_oc2o 6567   ≈ cen 6898  Fincfn 6900  2c2 9177  ♯chash 11014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-irdg 6527  df-frec 6548  df-1o 6573  df-2o 6574  df-oadd 6577  df-er 6693  df-en 6901  df-dom 6902  df-fin 6903  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-2 9185  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-fz 10222  df-ihash 11015

This theorem is referenced by:  upgr2wlkdc  16147