Theorem qusmulf 13366

Description: The multiplication in a quotient structure as a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusaddf.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅 /s ∼ ))
qusaddf.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
qusaddf.r	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑉)
qusaddf.z	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
qusaddf.e	⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∼ 𝑝 ∧ 𝑏 ∼ 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) ∼ (𝑝 · 𝑞)))
qusaddf.c	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)
qusmulf.p	⊢ · = (.r‘𝑅)
qusmulf.a	⊢ ∙ = (.r‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
qusmulf	⊢ (𝜑 → ∙ :((𝑉 / ∼ ) × (𝑉 / ∼ ))⟶(𝑉 / ∼ ))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞, ∼   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   ∙ ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem qusmulf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusaddf.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅 /s ∼ ))
2		qusaddf.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		qusaddf.r	. 2 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑉)
4		qusaddf.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
5		qusaddf.e	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∼ 𝑝 ∧ 𝑏 ∼ 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) ∼ (𝑝 · 𝑞)))
6		qusaddf.c	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)
7		eqid 2229	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ ) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ )
8		basfn 13086	. . . . . . 7 ⊢ Base Fn V
9	4	elexd 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
10		funfvex 5643	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
11	10	funfni 5422	. . . . . . 7 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
12	8, 9, 11	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
13	2, 12	eqeltrd 2306	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
14		erex 6702	. . . . 5 ⊢ ( ∼ Er 𝑉 → (𝑉 ∈ V → ∼ ∈ V))
15	3, 13, 14	sylc 62	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
16	1, 2, 7, 15, 4	qusval 13351	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ ) “s 𝑅))
17	1, 2, 7, 15, 4	quslem 13352	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ ):𝑉–onto→(𝑉 / ∼ ))
18		qusmulf.p	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19		qusmulf.a	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝑈)
20	16, 2, 17, 4, 18, 19	imasmulr 13337	. 2 ⊢ (𝜑 → ∙ = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ )‘𝑝), ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ )‘𝑞)⟩, ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ )‘(𝑝 · 𝑞))⟩})
21		mulrslid 13160	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
22	21	slotex 13054	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑍 → (.r‘𝑅) ∈ V)
23	4, 22	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) ∈ V)
24	18, 23	eqeltrid 2316	. 2 ⊢ (𝜑 → · ∈ V)
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 20, 24	qusaddflemg 13362	1 ⊢ (𝜑 → ∙ :((𝑉 / ∼ ) × (𝑉 / ∼ ))⟶(𝑉 / ∼ ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   class class class wbr 4082   ↦ cmpt 4144   × cxp 4716   Fn wfn 5312  ⟶wf 5313  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000   Er wer 6675  [cec 6676   / cqs 6677  Basecbs 13027  ._rcmulr 13106   /_s cqus 13328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-er 6678  df-ec 6680  df-qs 6684  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-iimas 13330  df-qus 13331

This theorem is referenced by: (None)