ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqgen GIF version

Theorem eqgen 13300
Description: Each coset is equipotent to the subgroup itself (which is also the coset containing the identity). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqger.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
eqger.r = (𝐺 ~QG 𝑌)
Assertion
Ref Expression
eqgen ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (𝑋 / )) → 𝑌𝐴)

Proof of Theorem eqgen
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2193 . 2 (𝑋 / ) = (𝑋 / )
2 breq2 4034 . 2 ([𝑥] = 𝐴 → (𝑌 ≈ [𝑥] 𝑌𝐴))
3 simpl 109 . . . 4 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4 subgrcl 13252 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
5 eqger.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
65subgss 13247 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑌𝑋)
74, 6jca 306 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑋))
8 eqger.r . . . . . . . 8 = (𝐺 ~QG 𝑌)
9 eqid 2193 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
105, 8, 9eqglact 13298 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑋𝑥𝑋) → [𝑥] = ((𝑧𝑋 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑧)) “ 𝑌))
11103expa 1205 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → [𝑥] = ((𝑧𝑋 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑧)) “ 𝑌))
127, 11sylan 283 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑋) → [𝑥] = ((𝑧𝑋 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑧)) “ 𝑌))
135, 8eqger 13297 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → Er 𝑋)
14 basfn 12679 . . . . . . . . . 10 Base Fn V
154elexd 2773 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
16 funfvex 5572 . . . . . . . . . . 11 ((Fun Base ∧ 𝐺 ∈ dom Base) → (Base‘𝐺) ∈ V)
1716funfni 5355 . . . . . . . . . 10 ((Base Fn V ∧ 𝐺 ∈ V) → (Base‘𝐺) ∈ V)
1814, 15, 17sylancr 414 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (Base‘𝐺) ∈ V)
195, 18eqeltrid 2280 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑋 ∈ V)
20 erex 6613 . . . . . . . 8 ( Er 𝑋 → (𝑋 ∈ V → ∈ V))
2113, 19, 20sylc 62 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∈ V)
22 ecexg 6593 . . . . . . 7 ( ∈ V → [𝑥] ∈ V)
2321, 22syl 14 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → [𝑥] ∈ V)
2423adantr 276 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑋) → [𝑥] ∈ V)
2512, 24eqeltrrd 2271 . . . 4 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑧)) “ 𝑌) ∈ V)
26 eqid 2193 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑋 ↦ (𝑧𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑧))) = (𝑦𝑋 ↦ (𝑧𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
2726, 5, 9grplactf1o 13178 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑦𝑋 ↦ (𝑧𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑧)))‘𝑥):𝑋1-1-onto𝑋)
2826, 5grplactfval 13176 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑋 → ((𝑦𝑋 ↦ (𝑧𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑧)))‘𝑥) = (𝑧𝑋 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑧)))
2928adantl 277 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑦𝑋 ↦ (𝑧𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑧)))‘𝑥) = (𝑧𝑋 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑧)))
3029f1oeq1d 5496 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑦𝑋 ↦ (𝑧𝑋 ↦ (𝑦(+g𝐺)𝑧)))‘𝑥):𝑋1-1-onto𝑋 ↔ (𝑧𝑋 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑧)):𝑋1-1-onto𝑋))
3127, 30mpbid 147 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → (𝑧𝑋 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑧)):𝑋1-1-onto𝑋)
324, 31sylan 283 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑧𝑋 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑧)):𝑋1-1-onto𝑋)
33 f1of1 5500 . . . . . 6 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑧)):𝑋1-1-onto𝑋 → (𝑧𝑋 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑧)):𝑋1-1𝑋)
3432, 33syl 14 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑧𝑋 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑧)):𝑋1-1𝑋)
356adantr 276 . . . . 5 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑌𝑋)
36 f1ores 5516 . . . . 5 (((𝑧𝑋 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑧)):𝑋1-1𝑋𝑌𝑋) → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑧)) ↾ 𝑌):𝑌1-1-onto→((𝑧𝑋 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑧)) “ 𝑌))
3734, 35, 36syl2anc 411 . . . 4 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑧)) ↾ 𝑌):𝑌1-1-onto→((𝑧𝑋 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑧)) “ 𝑌))
38 f1oen2g 6811 . . . 4 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((𝑧𝑋 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑧)) “ 𝑌) ∈ V ∧ ((𝑧𝑋 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑧)) ↾ 𝑌):𝑌1-1-onto→((𝑧𝑋 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑧)) “ 𝑌)) → 𝑌 ≈ ((𝑧𝑋 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑧)) “ 𝑌))
393, 25, 37, 38syl3anc 1249 . . 3 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑌 ≈ ((𝑧𝑋 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑧)) “ 𝑌))
4039, 12breqtrrd 4058 . 2 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑌 ≈ [𝑥] )
411, 2, 40ectocld 6657 1 ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (𝑋 / )) → 𝑌𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2164  Vcvv 2760  wss 3154   class class class wbr 4030  cmpt 4091  cres 4662  cima 4663   Fn wfn 5250  1-1wf1 5252  1-1-ontowf1o 5254  cfv 5255  (class class class)co 5919   Er wer 6586  [cec 6587   / cqs 6588  cen 6794  Basecbs 12621  +gcplusg 12698  Grpcgrp 13075  SubGrpcsubg 13240   ~QG cqg 13242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltadd 7990
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-er 6589  df-ec 6591  df-qs 6595  df-en 6797  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-iress 12629  df-plusg 12711  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-subg 13243  df-eqg 13245
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator