ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qusmulval GIF version

Theorem qusmulval 13422
Description: The multiplication in a quotient structure. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qusaddf.u (𝜑𝑈 = (𝑅 /s ))
qusaddf.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
qusaddf.r (𝜑 Er 𝑉)
qusaddf.z (𝜑𝑅𝑍)
qusaddf.e (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) (𝑝 · 𝑞)))
qusaddf.c ((𝜑 ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)
qusmulf.p · = (.r𝑅)
qusmulf.a = (.r𝑈)
Assertion
Ref Expression
qusmulval ((𝜑𝑋𝑉𝑌𝑉) → ([𝑋] [𝑌] ) = [(𝑋 · 𝑌)] )
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝,𝑞   ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑌,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑎,𝑏)   𝑌(𝑎,𝑏)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem qusmulval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qusaddf.u . 2 (𝜑𝑈 = (𝑅 /s ))
2 qusaddf.v . 2 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 qusaddf.r . 2 (𝜑 Er 𝑉)
4 qusaddf.z . 2 (𝜑𝑅𝑍)
5 qusaddf.e . 2 (𝜑 → ((𝑎 𝑝𝑏 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) (𝑝 · 𝑞)))
6 qusaddf.c . 2 ((𝜑 ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)
7 eqid 2231 . 2 (𝑥𝑉 ↦ [𝑥] ) = (𝑥𝑉 ↦ [𝑥] )
8 basfn 13143 . . . . . . 7 Base Fn V
94elexd 2816 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ V)
10 funfvex 5656 . . . . . . . 8 ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
1110funfni 5432 . . . . . . 7 ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
128, 9, 11sylancr 414 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
132, 12eqeltrd 2308 . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ V)
14 erex 6726 . . . . 5 ( Er 𝑉 → (𝑉 ∈ V → ∈ V))
153, 13, 14sylc 62 . . . 4 (𝜑 ∈ V)
161, 2, 7, 15, 4qusval 13408 . . 3 (𝜑𝑈 = ((𝑥𝑉 ↦ [𝑥] ) “s 𝑅))
171, 2, 7, 15, 4quslem 13409 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑉 ↦ [𝑥] ):𝑉onto→(𝑉 / ))
18 qusmulf.p . . 3 · = (.r𝑅)
19 qusmulf.a . . 3 = (.r𝑈)
2016, 2, 17, 4, 18, 19imasmulr 13394 . 2 (𝜑 = 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨((𝑥𝑉 ↦ [𝑥] )‘𝑝), ((𝑥𝑉 ↦ [𝑥] )‘𝑞)⟩, ((𝑥𝑉 ↦ [𝑥] )‘(𝑝 · 𝑞))⟩})
21 mulrslid 13217 . . . . 5 (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
2221slotex 13111 . . . 4 (𝑅𝑍 → (.r𝑅) ∈ V)
234, 22syl 14 . . 3 (𝜑 → (.r𝑅) ∈ V)
2418, 23eqeltrid 2318 . 2 (𝜑· ∈ V)
251, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 20, 24qusaddvallemg 13418 1 ((𝜑𝑋𝑉𝑌𝑉) → ([𝑋] [𝑌] ) = [(𝑋 · 𝑌)] )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 1004   = wceq 1397  wcel 2202  Vcvv 2802   class class class wbr 4088  cmpt 4150   Fn wfn 5321  cfv 5326  (class class class)co 6018   Er wer 6699  [cec 6700   / cqs 6701  Basecbs 13084  .rcmulr 13163   /s cqus 13385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-plusg 13175  df-mulr 13176  df-iimas 13387  df-qus 13388
This theorem is referenced by:  qusrhm  14545  qusmul2  14546  qusmulrng  14549
  Copyright terms: Public domain W3C validator