Theorem qusmulval 13391

Description: The multiplication in a quotient structure. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusaddf.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅 /s ∼ ))
qusaddf.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
qusaddf.r	⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑉)
qusaddf.z	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
qusaddf.e	⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∼ 𝑝 ∧ 𝑏 ∼ 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) ∼ (𝑝 · 𝑞)))
qusaddf.c	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)
qusmulf.p	⊢ · = (.r‘𝑅)
qusmulf.a	⊢ ∙ = (.r‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
qusmulval	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋] ∼ ∙ [𝑌] ∼ ) = [(𝑋 · 𝑌)] ∼ )

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞, ∼   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝,𝑞   ∙ ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑌,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑎,𝑏)   𝑌(𝑎,𝑏)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem qusmulval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusaddf.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅 /s ∼ ))
2		qusaddf.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		qusaddf.r	. 2 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑉)
4		qusaddf.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
5		qusaddf.e	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 ∼ 𝑝 ∧ 𝑏 ∼ 𝑞) → (𝑎 · 𝑏) ∼ (𝑝 · 𝑞)))
6		qusaddf.c	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (𝑝 · 𝑞) ∈ 𝑉)
7		eqid 2229	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ ) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ )
8		basfn 13112	. . . . . . 7 ⊢ Base Fn V
9	4	elexd 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
10		funfvex 5649	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
11	10	funfni 5426	. . . . . . 7 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
12	8, 9, 11	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
13	2, 12	eqeltrd 2306	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
14		erex 6717	. . . . 5 ⊢ ( ∼ Er 𝑉 → (𝑉 ∈ V → ∼ ∈ V))
15	3, 13, 14	sylc 62	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
16	1, 2, 7, 15, 4	qusval 13377	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ ) “s 𝑅))
17	1, 2, 7, 15, 4	quslem 13378	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ ):𝑉–onto→(𝑉 / ∼ ))
18		qusmulf.p	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19		qusmulf.a	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝑈)
20	16, 2, 17, 4, 18, 19	imasmulr 13363	. 2 ⊢ (𝜑 → ∙ = ∪ 𝑝 ∈ 𝑉 ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 {⟨⟨((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ )‘𝑝), ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ )‘𝑞)⟩, ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ )‘(𝑝 · 𝑞))⟩})
21		mulrslid 13186	. . . . 5 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
22	21	slotex 13080	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑍 → (.r‘𝑅) ∈ V)
23	4, 22	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) ∈ V)
24	18, 23	eqeltrid 2316	. 2 ⊢ (𝜑 → · ∈ V)
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 20, 24	qusaddvallemg 13387	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ([𝑋] ∼ ∙ [𝑌] ∼ ) = [(𝑋 · 𝑌)] ∼ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   class class class wbr 4083   ↦ cmpt 4145   Fn wfn 5316  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010   Er wer 6690  [cec 6691   / cqs 6692  Basecbs 13053  ._rcmulr 13132   /_s cqus 13354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-er 6693  df-ec 6695  df-qs 6699  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-ltxr 8202  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-iimas 13356  df-qus 13357

This theorem is referenced by:  qusrhm  14513  qusmul2  14514  qusmulrng  14517