ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnf1o GIF version

Theorem nnf1o 11176
Description: Lemma for sum and product theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
nnf1o.mn (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
nnf1o.m (𝜑𝐹:(1...𝑀)–1-1-onto𝐴)
nnf1o.n (𝜑𝐺:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
Assertion
Ref Expression
nnf1o (𝜑𝑁 = 𝑀)

Proof of Theorem nnf1o
StepHypRef Expression
1 1zzd 9104 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2 nnf1o.mn . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
32simprd 113 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43nnzd 9195 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
51, 4fzfigd 10234 . . 3 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
6 nnf1o.m . . . . 5 (𝜑𝐹:(1...𝑀)–1-1-onto𝐴)
7 f1ocnv 5387 . . . . 5 (𝐹:(1...𝑀)–1-1-onto𝐴𝐹:𝐴1-1-onto→(1...𝑀))
86, 7syl 14 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴1-1-onto→(1...𝑀))
9 nnf1o.n . . . 4 (𝜑𝐺:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
10 f1oco 5397 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto→(1...𝑀) ∧ 𝐺:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴) → (𝐹𝐺):(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑀))
118, 9, 10syl2anc 409 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐺):(1...𝑁)–1-1-onto→(1...𝑀))
125, 11fihasheqf1od 10567 . 2 (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = (♯‘(1...𝑀)))
13 nnnn0 9007 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
14 hashfz1 10560 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
153, 13, 143syl 17 . 2 (𝜑 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
162simpld 111 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
17 nnnn0 9007 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
18 hashfz1 10560 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
1916, 17, 183syl 17 . 2 (𝜑 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
2012, 15, 193eqtr3d 2181 1 (𝜑𝑁 = 𝑀)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1332  wcel 1481  ccnv 4545  ccom 4550  1-1-ontowf1o 5129  cfv 5130  (class class class)co 5781  1c1 7644  cn 8743  0cn0 9000  ...cfz 9820  chash 10552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-1o 6320  df-er 6436  df-en 6642  df-dom 6643  df-fin 6644  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-fz 9821  df-ihash 10553
This theorem is referenced by:  summodclem3  11180  prodmodclem3  11375
  Copyright terms: Public domain W3C validator