Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1dmvrnfibi GIF version

Theorem f1dmvrnfibi 6885
 Description: A one-to-one function whose domain is a set is finite if and only if its range is finite. See also f1vrnfibi 6886. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
f1dmvrnfibi ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))

Proof of Theorem f1dmvrnfibi
StepHypRef Expression
1 f1rel 5378 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → Rel 𝐹)
21ad2antlr 481 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → Rel 𝐹)
3 f1cnv 5437 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴)
4 f1ofun 5415 . . . . 5 (𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴 → Fun 𝐹)
53, 4syl 14 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → Fun 𝐹)
65ad2antlr 481 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → Fun 𝐹)
7 simpr 109 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
8 funrnfi 6883 . . 3 ((Rel 𝐹 ∧ Fun 𝐹𝐹 ∈ Fin) → ran 𝐹 ∈ Fin)
92, 6, 7, 8syl3anc 1220 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → ran 𝐹 ∈ Fin)
10 simpr 109 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → ran 𝐹 ∈ Fin)
11 f1dm 5379 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
12 f1f1orn 5424 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹)
13 eleq1 2220 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = dom 𝐹 → (𝐴𝑉 ↔ dom 𝐹𝑉))
14 f1oeq2 5403 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = dom 𝐹 → (𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1513, 14anbi12d 465 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = dom 𝐹 → ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹) ↔ (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
1615eqcoms 2160 . . . . . . . . . 10 (dom 𝐹 = 𝐴 → ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹) ↔ (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
1716biimpd 143 . . . . . . . . 9 (dom 𝐹 = 𝐴 → ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹) → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
1817expcomd 1421 . . . . . . . 8 (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹 → (𝐴𝑉 → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹))))
1911, 12, 18sylc 62 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐴𝑉 → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
2019impcom 124 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2120adantr 274 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
22 f1oeng 6699 . . . . 5 ((dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹) → dom 𝐹 ≈ ran 𝐹)
2321, 22syl 14 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → dom 𝐹 ≈ ran 𝐹)
24 enfii 6816 . . . 4 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ dom 𝐹 ≈ ran 𝐹) → dom 𝐹 ∈ Fin)
2510, 23, 24syl2anc 409 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → dom 𝐹 ∈ Fin)
26 f1fun 5377 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → Fun 𝐹)
2726ad2antlr 481 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → Fun 𝐹)
28 fundmfibi 6880 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))
2927, 28syl 14 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))
3025, 29mpbird 166 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
319, 30impbida 586 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  ◡ccnv 4584  dom cdm 4585  ran crn 4586  Rel wrel 4590  Fun wfun 5163  –1-1→wf1 5166  –1-1-onto→wf1o 5168   ≈ cen 6680  Fincfn 6682 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-1o 6360  df-er 6477  df-en 6683  df-fin 6685 This theorem is referenced by:  f1vrnfibi  6886
 Copyright terms: Public domain W3C validator