ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1dmvrnfibi GIF version

Theorem f1dmvrnfibi 6782
Description: A one-to-one function whose domain is a set is finite if and only if its range is finite. See also f1vrnfibi 6783. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
f1dmvrnfibi ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))

Proof of Theorem f1dmvrnfibi
StepHypRef Expression
1 f1rel 5288 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → Rel 𝐹)
21ad2antlr 478 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → Rel 𝐹)
3 f1cnv 5345 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴)
4 f1ofun 5323 . . . . 5 (𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴 → Fun 𝐹)
53, 4syl 14 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → Fun 𝐹)
65ad2antlr 478 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → Fun 𝐹)
7 simpr 109 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
8 funrnfi 6780 . . 3 ((Rel 𝐹 ∧ Fun 𝐹𝐹 ∈ Fin) → ran 𝐹 ∈ Fin)
92, 6, 7, 8syl3anc 1197 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → ran 𝐹 ∈ Fin)
10 simpr 109 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → ran 𝐹 ∈ Fin)
11 f1dm 5289 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
12 f1f1orn 5332 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹)
13 eleq1 2175 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = dom 𝐹 → (𝐴𝑉 ↔ dom 𝐹𝑉))
14 f1oeq2 5313 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = dom 𝐹 → (𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1513, 14anbi12d 462 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = dom 𝐹 → ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹) ↔ (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
1615eqcoms 2116 . . . . . . . . . 10 (dom 𝐹 = 𝐴 → ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹) ↔ (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
1716biimpd 143 . . . . . . . . 9 (dom 𝐹 = 𝐴 → ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹) → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
1817expcomd 1398 . . . . . . . 8 (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹 → (𝐴𝑉 → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹))))
1911, 12, 18sylc 62 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐴𝑉 → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
2019impcom 124 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2120adantr 272 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
22 f1oeng 6603 . . . . 5 ((dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹) → dom 𝐹 ≈ ran 𝐹)
2321, 22syl 14 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → dom 𝐹 ≈ ran 𝐹)
24 enfii 6719 . . . 4 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ dom 𝐹 ≈ ran 𝐹) → dom 𝐹 ∈ Fin)
2510, 23, 24syl2anc 406 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → dom 𝐹 ∈ Fin)
26 f1fun 5287 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → Fun 𝐹)
2726ad2antlr 478 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → Fun 𝐹)
28 fundmfibi 6777 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))
2927, 28syl 14 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))
3025, 29mpbird 166 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
319, 30impbida 568 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1312  wcel 1461   class class class wbr 3893  ccnv 4496  dom cdm 4497  ran crn 4498  Rel wrel 4502  Fun wfun 5073  1-1wf1 5076  1-1-ontowf1o 5078  cen 6584  Fincfn 6586
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-iord 4246  df-on 4248  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-1o 6265  df-er 6381  df-en 6587  df-fin 6589
This theorem is referenced by:  f1vrnfibi  6783
  Copyright terms: Public domain W3C validator