ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1dmvrnfibi GIF version

Theorem f1dmvrnfibi 6651
Description: A one-to-one function whose domain is a set is finite if and only if its range is finite. See also f1vrnfibi 6652. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
f1dmvrnfibi ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))

Proof of Theorem f1dmvrnfibi
StepHypRef Expression
1 f1rel 5220 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → Rel 𝐹)
21ad2antlr 473 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → Rel 𝐹)
3 f1cnv 5277 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴)
4 f1ofun 5255 . . . . 5 (𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴 → Fun 𝐹)
53, 4syl 14 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → Fun 𝐹)
65ad2antlr 473 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → Fun 𝐹)
7 simpr 108 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
8 funrnfi 6649 . . 3 ((Rel 𝐹 ∧ Fun 𝐹𝐹 ∈ Fin) → ran 𝐹 ∈ Fin)
92, 6, 7, 8syl3anc 1174 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → ran 𝐹 ∈ Fin)
10 simpr 108 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → ran 𝐹 ∈ Fin)
11 f1dm 5221 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
12 f1f1orn 5264 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹)
13 eleq1 2150 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = dom 𝐹 → (𝐴𝑉 ↔ dom 𝐹𝑉))
14 f1oeq2 5245 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = dom 𝐹 → (𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1513, 14anbi12d 457 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = dom 𝐹 → ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹) ↔ (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
1615eqcoms 2091 . . . . . . . . . 10 (dom 𝐹 = 𝐴 → ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹) ↔ (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
1716biimpd 142 . . . . . . . . 9 (dom 𝐹 = 𝐴 → ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹) → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
1817expcomd 1375 . . . . . . . 8 (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹 → (𝐴𝑉 → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹))))
1911, 12, 18sylc 61 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐴𝑉 → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
2019impcom 123 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2120adantr 270 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
22 f1oeng 6472 . . . . 5 ((dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹) → dom 𝐹 ≈ ran 𝐹)
2321, 22syl 14 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → dom 𝐹 ≈ ran 𝐹)
24 enfii 6588 . . . 4 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ dom 𝐹 ≈ ran 𝐹) → dom 𝐹 ∈ Fin)
2510, 23, 24syl2anc 403 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → dom 𝐹 ∈ Fin)
26 f1fun 5219 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → Fun 𝐹)
2726ad2antlr 473 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → Fun 𝐹)
28 fundmfibi 6646 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))
2927, 28syl 14 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))
3025, 29mpbird 165 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
319, 30impbida 563 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438   class class class wbr 3845  ccnv 4437  dom cdm 4438  ran crn 4439  Rel wrel 4443  Fun wfun 5009  1-1wf1 5012  1-1-ontowf1o 5014  cen 6453  Fincfn 6455
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-1o 6181  df-er 6290  df-en 6456  df-fin 6458
This theorem is referenced by:  f1vrnfibi  6652
  Copyright terms: Public domain W3C validator