ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1dmvrnfibi GIF version

Theorem f1dmvrnfibi 6946
Description: A one-to-one function whose domain is a set is finite if and only if its range is finite. See also f1vrnfibi 6947. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
f1dmvrnfibi ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))

Proof of Theorem f1dmvrnfibi
StepHypRef Expression
1 f1rel 5427 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → Rel 𝐹)
21ad2antlr 489 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → Rel 𝐹)
3 f1cnv 5487 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴)
4 f1ofun 5465 . . . . 5 (𝐹:ran 𝐹1-1-onto𝐴 → Fun 𝐹)
53, 4syl 14 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → Fun 𝐹)
65ad2antlr 489 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → Fun 𝐹)
7 simpr 110 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
8 funrnfi 6944 . . 3 ((Rel 𝐹 ∧ Fun 𝐹𝐹 ∈ Fin) → ran 𝐹 ∈ Fin)
92, 6, 7, 8syl3anc 1238 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝐹 ∈ Fin) → ran 𝐹 ∈ Fin)
10 simpr 110 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → ran 𝐹 ∈ Fin)
11 f1dm 5428 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
12 f1f1orn 5474 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹)
13 eleq1 2240 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = dom 𝐹 → (𝐴𝑉 ↔ dom 𝐹𝑉))
14 f1oeq2 5452 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = dom 𝐹 → (𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1513, 14anbi12d 473 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = dom 𝐹 → ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹) ↔ (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
1615eqcoms 2180 . . . . . . . . . 10 (dom 𝐹 = 𝐴 → ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹) ↔ (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
1716biimpd 144 . . . . . . . . 9 (dom 𝐹 = 𝐴 → ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹) → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
1817expcomd 1441 . . . . . . . 8 (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹 → (𝐴𝑉 → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹))))
1911, 12, 18sylc 62 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐴𝑉 → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
2019impcom 125 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2120adantr 276 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
22 f1oeng 6760 . . . . 5 ((dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹) → dom 𝐹 ≈ ran 𝐹)
2321, 22syl 14 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → dom 𝐹 ≈ ran 𝐹)
24 enfii 6877 . . . 4 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ dom 𝐹 ≈ ran 𝐹) → dom 𝐹 ∈ Fin)
2510, 23, 24syl2anc 411 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → dom 𝐹 ∈ Fin)
26 f1fun 5426 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → Fun 𝐹)
2726ad2antlr 489 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → Fun 𝐹)
28 fundmfibi 6941 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))
2927, 28syl 14 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))
3025, 29mpbird 167 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
319, 30impbida 596 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4005  ccnv 4627  dom cdm 4628  ran crn 4629  Rel wrel 4633  Fun wfun 5212  1-1wf1 5215  1-1-ontowf1o 5217  cen 6741  Fincfn 6743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-1o 6420  df-er 6538  df-en 6744  df-fin 6746
This theorem is referenced by:  f1vrnfibi  6947
  Copyright terms: Public domain W3C validator