Theorem fac0 10190

Description: The factorial of 0. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fac0	⊢ (!‘0) = 1

Proof of Theorem fac0

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 7536	. 2 ⊢ 0 ∈ V
2		1ex 7537	. 2 ⊢ 1 ∈ V
3		df-fac 10188	. . 3 ⊢ ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I , ℂ))
4		nnuz 9108	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
5		dfn2 8740	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
6	4, 5	eqtr3i 2111	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℕ0 ∖ {0})
7	6	reseq2i 4723	. . . . 5 ⊢ (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℤ≥‘1)) = (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
8		eqid 2089	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℤ≥‘1)
9		1zzd 8831	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
10		fvi 5374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) = 𝑓)
11	10	eleq1d 2157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘1)))
12	11	ibir 176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1))
13		eluzelcn 9084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
15	14	adantl 272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘1)) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
16		mulcl 7523	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
17	16	adantl 272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ)) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
18	8, 9, 15, 17	iseqfcl 9932	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → seq1( · , I , ℂ):(ℤ≥‘1)⟶ℂ)
19		ffn 5174	. . . . . . . 8 ⊢ (seq1( · , I , ℂ):(ℤ≥‘1)⟶ℂ → seq1( · , I , ℂ) Fn (ℤ≥‘1))
20	18, 19	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → seq1( · , I , ℂ) Fn (ℤ≥‘1))
21	20	mptru 1299	. . . . . 6 ⊢ seq1( · , I , ℂ) Fn (ℤ≥‘1)
22		fnresdm 5136	. . . . . 6 ⊢ (seq1( · , I , ℂ) Fn (ℤ≥‘1) → (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℤ≥‘1)) = seq1( · , I , ℂ))
23	21, 22	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℤ≥‘1)) = seq1( · , I , ℂ)
24	7, 23	eqtr3i 2111	. . . 4 ⊢ (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})) = seq1( · , I , ℂ)
25	24	uneq2i 3152	. . 3 ⊢ ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I , ℂ))
26	3, 25	eqtr4i 2112	. 2 ⊢ ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
27	1, 2, 26	fvsnun1 5508	1 ⊢ (!‘0) = 1

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1290  ⊤wtru 1291   ∈ wcel 1439   ∖ cdif 2997   ∪ cun 2998  {csn 3450  ⟨cop 3453   I cid 4124   ↾ cres 4453   Fn wfn 5023  ⟶wf 5024  ‘cfv 5028  (class class class)co 5666  ℂcc 7402  0cc0 7404  1c1 7405   · cmul 7409  ℕcn 8476  ℕ₀cn0 8727  ℤ_≥cuz 9073  seqcseq4 9905  !cfa 10187

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-addcom 7499  ax-addass 7501  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-ltadd 7515

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-inn 8477  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-iseq 9907  df-fac 10188

This theorem is referenced by:  facp1  10192  faccl  10197  facwordi  10202  faclbnd  10203  facubnd  10207  bcn0  10217  ibcval5  10225  ef0lem  11004  ege2le3  11015  eft0val  11037  prmfac1  11463