Theorem fac0 10802

Description: The factorial of 0. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fac0	⊢ (!‘0) = 1

Proof of Theorem fac0

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 8015	. 2 ⊢ 0 ∈ V
2		1ex 8016	. 2 ⊢ 1 ∈ V
3		df-fac 10800	. . 3 ⊢ ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
4		nnuz 9631	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
5		dfn2 9256	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
6	4, 5	eqtr3i 2216	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℕ0 ∖ {0})
7	6	reseq2i 4940	. . . . 5 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
8		eqid 2193	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℤ≥‘1)
9		1zzd 9347	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
10		fvi 5615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) = 𝑓)
11	10	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘1)))
12	11	ibir 177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1))
13		eluzelcn 9606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
15	14	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘1)) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
16		mulcl 8001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
17	16	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ)) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
18	8, 9, 15, 17	seqf 10538	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → seq1( · , I ):(ℤ≥‘1)⟶ℂ)
19	18	ffnd 5405	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → seq1( · , I ) Fn (ℤ≥‘1))
20	19	mptru 1373	. . . . . 6 ⊢ seq1( · , I ) Fn (ℤ≥‘1)
21		fnresdm 5364	. . . . . 6 ⊢ (seq1( · , I ) Fn (ℤ≥‘1) → (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = seq1( · , I ))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = seq1( · , I )
23	7, 22	eqtr3i 2216	. . . 4 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})) = seq1( · , I )
24	23	uneq2i 3311	. . 3 ⊢ ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
25	3, 24	eqtr4i 2217	. 2 ⊢ ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
26	1, 2, 25	fvsnun1 5756	1 ⊢ (!‘0) = 1

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364  ⊤wtru 1365   ∈ wcel 2164   ∖ cdif 3151   ∪ cun 3152  {csn 3619  ⟨cop 3622   I cid 4320   ↾ cres 4662   Fn wfn 5250  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  0cc0 7874  1c1 7875   · cmul 7879  ℕcn 8984  ℕ₀cn0 9243  ℤ_≥cuz 9595  seqcseq 10521  !cfa 10799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-seqfrec 10522  df-fac 10800

This theorem is referenced by:  facp1  10804  faccl  10809  facwordi  10814  faclbnd  10815  facubnd  10819  bcn0  10829  bcval5  10837  fprodfac  11761  ef0lem  11806  ege2le3  11817  eft0val  11839  prmfac1  12293  pcfac  12491