ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fac0 GIF version

Theorem fac0 10101
Description: The factorial of 0. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
fac0 (!‘0) = 1

Proof of Theorem fac0
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 7461 . 2 0 ∈ V
2 1ex 7462 . 2 1 ∈ V
3 df-fac 10099 . . 3 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I , ℂ))
4 nnuz 9023 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
5 dfn2 8656 . . . . . . 7 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
64, 5eqtr3i 2110 . . . . . 6 (ℤ‘1) = (ℕ0 ∖ {0})
76reseq2i 4698 . . . . 5 (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℤ‘1)) = (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
8 eqid 2088 . . . . . . . . 9 (ℤ‘1) = (ℤ‘1)
9 1zzd 8747 . . . . . . . . 9 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
10 fvi 5345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) = 𝑓)
1110eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ‘1) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ‘1)))
1211ibir 175 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ (ℤ‘1))
13 eluzelcn 8999 . . . . . . . . . . 11 (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
1412, 13syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
1514adantl 271 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑓 ∈ (ℤ‘1)) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
16 mulcl 7448 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
1716adantl 271 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ (𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ)) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
188, 9, 15, 17iseqfcl 9843 . . . . . . . 8 (⊤ → seq1( · , I , ℂ):(ℤ‘1)⟶ℂ)
19 ffn 5147 . . . . . . . 8 (seq1( · , I , ℂ):(ℤ‘1)⟶ℂ → seq1( · , I , ℂ) Fn (ℤ‘1))
2018, 19syl 14 . . . . . . 7 (⊤ → seq1( · , I , ℂ) Fn (ℤ‘1))
2120mptru 1298 . . . . . 6 seq1( · , I , ℂ) Fn (ℤ‘1)
22 fnresdm 5109 . . . . . 6 (seq1( · , I , ℂ) Fn (ℤ‘1) → (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I , ℂ))
2321, 22ax-mp 7 . . . . 5 (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I , ℂ)
247, 23eqtr3i 2110 . . . 4 (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})) = seq1( · , I , ℂ)
2524uneq2i 3149 . . 3 ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I , ℂ))
263, 25eqtr4i 2111 . 2 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I , ℂ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
271, 2, 26fvsnun1 5478 1 (!‘0) = 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102   = wceq 1289  wtru 1290  wcel 1438  cdif 2994  cun 2995  {csn 3441  cop 3444   I cid 4106  cres 4430   Fn wfn 4997  wf 4998  cfv 5002  (class class class)co 5634  cc 7327  0cc0 7329  1c1 7330   · cmul 7334  cn 8394  0cn0 8643  cuz 8988  seqcseq4 9816  !cfa 10098
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-iseq 9818  df-fac 10099
This theorem is referenced by:  facp1  10103  faccl  10108  facwordi  10113  faclbnd  10114  facubnd  10118  bcn0  10128  ibcval5  10136  prmfac1  11224
  Copyright terms: Public domain W3C validator