Theorem fac0 11115

Description: The factorial of 0. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fac0	⊢ (!‘0) = 1

Proof of Theorem fac0

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 8284	. 2 ⊢ 0 ∈ V
2		1ex 8285	. 2 ⊢ 1 ∈ V
3		df-fac 11113	. . 3 ⊢ ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
4		nnuz 9908	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
5		dfn2 9526	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
6	4, 5	eqtr3i 2257	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℕ0 ∖ {0})
7	6	reseq2i 5040	. . . . 5 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
8		eqid 2234	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℤ≥‘1)
9		1zzd 9621	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
10		fvi 5739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) = 𝑓)
11	10	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘1)))
12	11	ibir 177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1))
13		eluzelcn 9883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
15	14	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘1)) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
16		mulcl 8270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
17	16	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ)) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
18	8, 9, 15, 17	seqf 10850	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → seq1( · , I ):(ℤ≥‘1)⟶ℂ)
19	18	ffnd 5514	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → seq1( · , I ) Fn (ℤ≥‘1))
20	19	mptru 1407	. . . . . 6 ⊢ seq1( · , I ) Fn (ℤ≥‘1)
21		fnresdm 5472	. . . . . 6 ⊢ (seq1( · , I ) Fn (ℤ≥‘1) → (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = seq1( · , I ))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = seq1( · , I )
23	7, 22	eqtr3i 2257	. . . 4 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})) = seq1( · , I )
24	23	uneq2i 3374	. . 3 ⊢ ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
25	3, 24	eqtr4i 2258	. 2 ⊢ ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
26	1, 2, 25	fvsnun1 5886	1 ⊢ (!‘0) = 1

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1398  ⊤wtru 1399   ∈ wcel 2205   ∖ cdif 3211   ∪ cun 3212  {csn 3694  ⟨cop 3697   I cid 4414   ↾ cres 4756   Fn wfn 5352  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  0cc0 8143  1c1 8144   · cmul 8148  ℕcn 9254  ℕ₀cn0 9513  ℤ_≥cuz 9871  seqcseq 10833  !cfa 11112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-seqfrec 10834  df-fac 11113

This theorem is referenced by:  facp1  11117  faccl  11122  facwordi  11127  faclbnd  11128  facubnd  11132  bcn0  11142  bcval5  11150  fprodfac  12326  ef0lem  12371  ege2le3  12382  eft0val  12404  prmfac1  12874  pcfac  13073