Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fac0 GIF version

Theorem fac0 10579
 Description: The factorial of 0. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
fac0 (!‘0) = 1

Proof of Theorem fac0
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 7851 . 2 0 ∈ V
2 1ex 7852 . 2 1 ∈ V
3 df-fac 10577 . . 3 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
4 nnuz 9453 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
5 dfn2 9082 . . . . . . 7 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
64, 5eqtr3i 2177 . . . . . 6 (ℤ‘1) = (ℕ0 ∖ {0})
76reseq2i 4856 . . . . 5 (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
8 eqid 2154 . . . . . . . . 9 (ℤ‘1) = (ℤ‘1)
9 1zzd 9173 . . . . . . . . 9 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
10 fvi 5518 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) = 𝑓)
1110eleq1d 2223 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ‘1) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ‘1)))
1211ibir 176 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ (ℤ‘1))
13 eluzelcn 9429 . . . . . . . . . . 11 (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
1412, 13syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
1514adantl 275 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑓 ∈ (ℤ‘1)) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
16 mulcl 7838 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
1716adantl 275 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ (𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ)) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
188, 9, 15, 17seqf 10338 . . . . . . . 8 (⊤ → seq1( · , I ):(ℤ‘1)⟶ℂ)
1918ffnd 5313 . . . . . . 7 (⊤ → seq1( · , I ) Fn (ℤ‘1))
2019mptru 1341 . . . . . 6 seq1( · , I ) Fn (ℤ‘1)
21 fnresdm 5272 . . . . . 6 (seq1( · , I ) Fn (ℤ‘1) → (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I ))
2220, 21ax-mp 5 . . . . 5 (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I )
237, 22eqtr3i 2177 . . . 4 (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})) = seq1( · , I )
2423uneq2i 3254 . . 3 ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
253, 24eqtr4i 2178 . 2 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
261, 2, 25fvsnun1 5657 1 (!‘0) = 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1332  ⊤wtru 1333   ∈ wcel 2125   ∖ cdif 3095   ∪ cun 3096  {csn 3556  ⟨cop 3559   I cid 4243   ↾ cres 4581   Fn wfn 5158  ‘cfv 5163  (class class class)co 5814  ℂcc 7709  0cc0 7711  1c1 7712   · cmul 7716  ℕcn 8812  ℕ0cn0 9069  ℤ≥cuz 9418  seqcseq 10322  !cfa 10576 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-addcom 7811  ax-addass 7813  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-ltadd 7827 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-frec 6328  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-inn 8813  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-seqfrec 10323  df-fac 10577 This theorem is referenced by:  facp1  10581  faccl  10586  facwordi  10591  faclbnd  10592  facubnd  10596  bcn0  10606  bcval5  10614  fprodfac  11489  ef0lem  11534  ege2le3  11545  eft0val  11567  prmfac1  11998
 Copyright terms: Public domain W3C validator