Theorem fac0 11144

Description: The factorial of 0. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fac0	⊢ (!‘0) = 1

Proof of Theorem fac0

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 8310	. 2 ⊢ 0 ∈ V
2		1ex 8311	. 2 ⊢ 1 ∈ V
3		df-fac 11142	. . 3 ⊢ ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
4		nnuz 9937	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
5		dfn2 9555	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
6	4, 5	eqtr3i 2261	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℕ0 ∖ {0})
7	6	reseq2i 5055	. . . . 5 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
8		eqid 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℤ≥‘1)
9		1zzd 9650	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
10		fvi 5754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) = 𝑓)
11	10	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘1)))
12	11	ibir 177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1))
13		eluzelcn 9912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
15	14	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘1)) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
16		mulcl 8296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
17	16	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ)) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
18	8, 9, 15, 17	seqf 10879	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → seq1( · , I ):(ℤ≥‘1)⟶ℂ)
19	18	ffnd 5529	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → seq1( · , I ) Fn (ℤ≥‘1))
20	19	mptru 1411	. . . . . 6 ⊢ seq1( · , I ) Fn (ℤ≥‘1)
21		fnresdm 5487	. . . . . 6 ⊢ (seq1( · , I ) Fn (ℤ≥‘1) → (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = seq1( · , I ))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = seq1( · , I )
23	7, 22	eqtr3i 2261	. . . 4 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})) = seq1( · , I )
24	23	uneq2i 3380	. . 3 ⊢ ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
25	3, 24	eqtr4i 2262	. 2 ⊢ ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
26	1, 2, 25	fvsnun1 5903	1 ⊢ (!‘0) = 1

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209   ∖ cdif 3217   ∪ cun 3218  {csn 3705  ⟨cop 3708   I cid 4428   ↾ cres 4771   Fn wfn 5367  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  0cc0 8169  1c1 8170   · cmul 8174  ℕcn 9283  ℕ₀cn0 9542  ℤ_≥cuz 9900  seqcseq 10862  !cfa 11141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-seqfrec 10863  df-fac 11142

This theorem is referenced by:  facp1  11146  faccl  11151  facwordi  11156  faclbnd  11157  facubnd  11161  bcn0  11171  bcval5  11179  hashf1  11265  fprodfac  12360  ef0lem  12405  ege2le3  12416  eft0val  12438  prmfac1  12908  pcfac  13107  logfac  15918