ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fac0 GIF version

Theorem fac0 10425
Description: The factorial of 0. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
fac0 (!‘0) = 1

Proof of Theorem fac0
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 7724 . 2 0 ∈ V
2 1ex 7725 . 2 1 ∈ V
3 df-fac 10423 . . 3 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
4 nnuz 9313 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
5 dfn2 8944 . . . . . . 7 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
64, 5eqtr3i 2138 . . . . . 6 (ℤ‘1) = (ℕ0 ∖ {0})
76reseq2i 4784 . . . . 5 (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
8 eqid 2115 . . . . . . . . 9 (ℤ‘1) = (ℤ‘1)
9 1zzd 9035 . . . . . . . . 9 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
10 fvi 5444 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) = 𝑓)
1110eleq1d 2184 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ‘1) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ‘1)))
1211ibir 176 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ (ℤ‘1))
13 eluzelcn 9289 . . . . . . . . . . 11 (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
1412, 13syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (ℤ‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
1514adantl 273 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑓 ∈ (ℤ‘1)) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
16 mulcl 7711 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
1716adantl 273 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ (𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ)) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
188, 9, 15, 17seqf 10185 . . . . . . . 8 (⊤ → seq1( · , I ):(ℤ‘1)⟶ℂ)
1918ffnd 5241 . . . . . . 7 (⊤ → seq1( · , I ) Fn (ℤ‘1))
2019mptru 1323 . . . . . 6 seq1( · , I ) Fn (ℤ‘1)
21 fnresdm 5200 . . . . . 6 (seq1( · , I ) Fn (ℤ‘1) → (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I ))
2220, 21ax-mp 5 . . . . 5 (seq1( · , I ) ↾ (ℤ‘1)) = seq1( · , I )
237, 22eqtr3i 2138 . . . 4 (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})) = seq1( · , I )
2423uneq2i 3195 . . 3 ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
253, 24eqtr4i 2139 . 2 ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
261, 2, 25fvsnun1 5583 1 (!‘0) = 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103   = wceq 1314  wtru 1315  wcel 1463  cdif 3036  cun 3037  {csn 3495  cop 3498   I cid 4178  cres 4509   Fn wfn 5086  cfv 5091  (class class class)co 5740  cc 7582  0cc0 7584  1c1 7585   · cmul 7589  cn 8680  0cn0 8931  cuz 9278  seqcseq 10169  !cfa 10422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-seqfrec 10170  df-fac 10423
This theorem is referenced by:  facp1  10427  faccl  10432  facwordi  10437  faclbnd  10438  facubnd  10442  bcn0  10452  bcval5  10460  ef0lem  11276  ege2le3  11287  eft0val  11309  prmfac1  11737
  Copyright terms: Public domain W3C validator