Theorem fac0 10662

Description: The factorial of 0. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fac0	⊢ (!‘0) = 1

Proof of Theorem fac0

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 7914	. 2 ⊢ 0 ∈ V
2		1ex 7915	. 2 ⊢ 1 ∈ V
3		df-fac 10660	. . 3 ⊢ ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
4		nnuz 9522	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
5		dfn2 9148	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
6	4, 5	eqtr3i 2193	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℕ0 ∖ {0})
7	6	reseq2i 4888	. . . . 5 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
8		eqid 2170	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℤ≥‘1)
9		1zzd 9239	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
10		fvi 5553	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) = 𝑓)
11	10	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘1)))
12	11	ibir 176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1))
13		eluzelcn 9498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( I ‘𝑓) ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘1) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
15	14	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘1)) → ( I ‘𝑓) ∈ ℂ)
16		mulcl 7901	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
17	16	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑓 ∈ ℂ ∧ 𝑔 ∈ ℂ)) → (𝑓 · 𝑔) ∈ ℂ)
18	8, 9, 15, 17	seqf 10417	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → seq1( · , I ):(ℤ≥‘1)⟶ℂ)
19	18	ffnd 5348	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → seq1( · , I ) Fn (ℤ≥‘1))
20	19	mptru 1357	. . . . . 6 ⊢ seq1( · , I ) Fn (ℤ≥‘1)
21		fnresdm 5307	. . . . . 6 ⊢ (seq1( · , I ) Fn (ℤ≥‘1) → (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = seq1( · , I ))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℤ≥‘1)) = seq1( · , I )
23	7, 22	eqtr3i 2193	. . . 4 ⊢ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})) = seq1( · , I )
24	23	uneq2i 3278	. . 3 ⊢ ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, 1⟩} ∪ seq1( · , I ))
25	3, 24	eqtr4i 2194	. 2 ⊢ ! = ({⟨0, 1⟩} ∪ (seq1( · , I ) ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
26	1, 2, 25	fvsnun1 5693	1 ⊢ (!‘0) = 1

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1348  ⊤wtru 1349   ∈ wcel 2141   ∖ cdif 3118   ∪ cun 3119  {csn 3583  ⟨cop 3586   I cid 4273   ↾ cres 4613   Fn wfn 5193  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  0cc0 7774  1c1 7775   · cmul 7779  ℕcn 8878  ℕ₀cn0 9135  ℤ_≥cuz 9487  seqcseq 10401  !cfa 10659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-seqfrec 10402  df-fac 10660

This theorem is referenced by:  facp1  10664  faccl  10669  facwordi  10674  faclbnd  10675  facubnd  10679  bcn0  10689  bcval5  10697  fprodfac  11578  ef0lem  11623  ege2le3  11634  eft0val  11656  prmfac1  12106  pcfac  12302