Theorem elrabi 2957

Description: Implication for the membership in a restricted class abstraction. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elrabi	⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ 𝜑} → 𝐴 ∈ 𝑉)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem elrabi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clelab 2355	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝜑)} ↔ ∃𝑥(𝑥 = 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝜑)))
2		eleq1 2292	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑉 ↔ 𝐴 ∈ 𝑉))
3	2	anbi1d 465	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝜑) ↔ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝜑)))
4	3	simprbda 383	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝜑)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
5	4	exlimiv 1644	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 = 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝜑)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
6	1, 5	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝜑)} → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		df-rab 2517	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ 𝜑} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝜑)}
8	6, 7	eleq2s 2324	1 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ 𝜑} → 𝐴 ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  {cab 2215  {crab 2512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-11 1552  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-rab 2517

This theorem is referenced by:  rabsnif  3736  ordtriexmidlem  4615  ordtri2or2exmidlem  4622  onsucelsucexmidlem  4625  ordsoexmid  4658  reg3exmidlemwe  4675  elfvmptrab1  5737  acexmidlemcase  6008  elovmporab  6217  elovmporab1w  6218  ssfirab  7121  exmidonfinlem  7394  cc4f  7478  genpelvl  7722  genpelvu  7723  suplocsrlempr  8017  nnindnn  8103  sup3exmid  9127  nnind  9149  supinfneg  9819  infsupneg  9820  supminfex  9821  ublbneg  9837  zsupcllemstep  10479  infssuzex  10483  infssuzledc  10484  hashinfuni  11029  bezoutlemsup  12570  uzwodc  12598  nninfctlemfo  12601  lcmgcdlem  12639  phisum  12803  oddennn  13003  evenennn  13004  znnen  13009  ennnfonelemg  13014  rrgval  14266  psrbagf  14674  txdis1cn  14992  reopnap  15260  divcnap  15279  limccl  15373  dvlemap  15394  dvaddxxbr  15415  dvmulxxbr  15416  dvcoapbr  15421  dvcjbr  15422  dvrecap  15427  dveflem  15440  sgmval  15697  0sgm  15699  sgmf  15700  sgmnncl  15702  dvdsppwf1o  15703  sgmppw  15706  uhgrss  15916  usgredg2v  16063  clwwlknon  16224