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Theorem nn0seqcvgd 11909
 Description: A strictly-decreasing nonnegative integer sequence with initial term 𝑁 reaches zero by the 𝑁 th term. Deduction version. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0seqcvgd.1 (𝜑𝐹:ℕ0⟶ℕ0)
nn0seqcvgd.2 (𝜑𝑁 = (𝐹‘0))
nn0seqcvgd.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
nn0seqcvgd (𝜑 → (𝐹𝑁) = 0)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem nn0seqcvgd
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0seqcvgd.2 . . . . . 6 (𝜑𝑁 = (𝐹‘0))
2 nn0seqcvgd.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℕ0⟶ℕ0)
3 0nn0 9099 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
4 ffvelrn 5599 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ0⟶ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹‘0) ∈ ℕ0)
52, 3, 4sylancl 410 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ ℕ0)
61, 5eqeltrd 2234 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
76nn0red 9138 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
87leidd 8383 . . . . 5 (𝜑𝑁𝑁)
9 fveq2 5467 . . . . . . . 8 (𝑚 = 0 → (𝐹𝑚) = (𝐹‘0))
10 oveq2 5829 . . . . . . . 8 (𝑚 = 0 → (𝑁𝑚) = (𝑁 − 0))
119, 10breq12d 3978 . . . . . . 7 (𝑚 = 0 → ((𝐹𝑚) ≤ (𝑁𝑚) ↔ (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0)))
1211imbi2d 229 . . . . . 6 (𝑚 = 0 → ((𝜑 → (𝐹𝑚) ≤ (𝑁𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0))))
13 fveq2 5467 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
14 oveq2 5829 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → (𝑁𝑚) = (𝑁𝑘))
1513, 14breq12d 3978 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑚) ≤ (𝑁𝑚) ↔ (𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘)))
1615imbi2d 229 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐹𝑚) ≤ (𝑁𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘))))
17 fveq2 5467 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑚) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
18 oveq2 5829 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑁𝑚) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
1917, 18breq12d 3978 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑚) ≤ (𝑁𝑚) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
2019imbi2d 229 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐹𝑚) ≤ (𝑁𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
21 fveq2 5467 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑁 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑁))
22 oveq2 5829 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑁 → (𝑁𝑚) = (𝑁𝑁))
2321, 22breq12d 3978 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑁 → ((𝐹𝑚) ≤ (𝑁𝑚) ↔ (𝐹𝑁) ≤ (𝑁𝑁)))
2423imbi2d 229 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹𝑚) ≤ (𝑁𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝑁𝑁))))
251, 8eqbrtrrd 3988 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ 𝑁)
267recnd 7900 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2726subid1d 8169 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 − 0) = 𝑁)
2825, 27breqtrrd 3992 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0))
2928a1i 9 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0)))
30 nn0re 9093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
31 posdif 8324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁𝑘)))
3230, 7, 31syl2anr 288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁𝑘)))
3332adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁𝑘)))
34 breq1 3968 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁𝑘) ↔ 0 < (𝑁𝑘)))
3534adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁𝑘) ↔ 0 < (𝑁𝑘)))
36 peano2nn0 9124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
37 ffvelrn 5599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
382, 36, 37syl2an 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
3938nn0zd 9278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
406nn0zd 9278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
41 nn0z 9181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
42 zsubcl 9202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
4340, 41, 42syl2an 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
44 zltlem1 9218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℤ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑁𝑘) − 1)))
4539, 43, 44syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑁𝑘) − 1)))
46 nn0cn 9094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
47 ax-1cn 7819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℂ
48 subsub4 8102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑘) − 1) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
4947, 48mp3an3 1308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑘) − 1) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
5026, 46, 49syl2an 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝑘) − 1) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
5150breq2d 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑁𝑘) − 1) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
5245, 51bitrd 187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
5352adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
5433, 35, 533bitr2d 215 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → (𝑘 < 𝑁 ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
5554biimpa 294 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))
5655an32s 558 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))
5756a1d 22 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → ((𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
58 nn0seqcvgd.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹𝑘)))
5938nn0red 9138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
602ffvelrnda 5601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℕ0)
6160nn0red 9138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
6243zred 9280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑘) ∈ ℝ)
63 ltletr 7960 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℝ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁𝑘)))
6459, 61, 62, 63syl3anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁𝑘)))
6564, 52sylibd 148 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
6658, 65syland 291 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
6766adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
6867expdimp 257 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0) → ((𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
6939adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
70 0zd 9173 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → 0 ∈ ℤ)
71 zdceq 9233 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0)
7269, 70, 71syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → DECID (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0)
73 dcne 2338 . . . . . . . . . . . 12 (DECID (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0 ↔ ((𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0 ∨ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0))
7472, 73sylib 121 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0 ∨ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0))
7557, 68, 74mpjaodan 788 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → ((𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
7675anasss 397 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 < 𝑁)) → ((𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
7776expcom 115 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑘 < 𝑁) → (𝜑 → ((𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
7877a2d 26 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑘 < 𝑁) → ((𝜑 → (𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
79783adant1 1000 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0𝑘 < 𝑁) → ((𝜑 → (𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
8012, 16, 20, 24, 29, 79fnn0ind 9274 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑁𝑁) → (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝑁𝑁)))
816, 6, 8, 80syl3anc 1220 . . . 4 (𝜑 → (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝑁𝑁)))
8281pm2.43i 49 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝑁𝑁))
8326subidd 8168 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑁) = 0)
8482, 83breqtrd 3990 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ 0)
852, 6ffvelrnd 5602 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℕ0)
8685nn0ge0d 9140 . 2 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹𝑁))
8785nn0red 9138 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
88 0re 7872 . . 3 0 ∈ ℝ
89 letri3 7952 . . 3 (((𝐹𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑁) = 0 ↔ ((𝐹𝑁) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐹𝑁))))
9087, 88, 89sylancl 410 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑁) = 0 ↔ ((𝐹𝑁) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐹𝑁))))
9184, 86, 90mpbir2and 929 1 (𝜑 → (𝐹𝑁) = 0)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   ≠ wne 2327   class class class wbr 3965  ⟶wf 5165  ‘cfv 5169  (class class class)co 5821  ℂcc 7724  ℝcr 7725  0cc0 7726  1c1 7727   + caddc 7729   < clt 7906   ≤ cle 7907   − cmin 8040  ℕ0cn0 9084  ℤcz 9161 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-addcom 7826  ax-addass 7828  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-inn 8828  df-n0 9085  df-z 9162 This theorem is referenced by:  algcvg  11916
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