ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0seqcvgd GIF version

Theorem nn0seqcvgd 12054
Description: A strictly-decreasing nonnegative integer sequence with initial term 𝑁 reaches zero by the 𝑁 th term. Deduction version. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0seqcvgd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0βŸΆβ„•0)
nn0seqcvgd.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 = (πΉβ€˜0))
nn0seqcvgd.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) β‰  0 β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (πΉβ€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
nn0seqcvgd (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = 0)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜

Proof of Theorem nn0seqcvgd
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0seqcvgd.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 = (πΉβ€˜0))
2 nn0seqcvgd.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0βŸΆβ„•0)
3 0nn0 9204 . . . . . . 7 0 ∈ β„•0
4 ffvelcdm 5662 . . . . . . 7 ((𝐹:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ β„•0)
52, 3, 4sylancl 413 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) ∈ β„•0)
61, 5eqeltrd 2264 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
76nn0red 9243 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
87leidd 8484 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ≀ 𝑁)
9 fveq2 5527 . . . . . . . 8 (π‘š = 0 β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜0))
10 oveq2 5896 . . . . . . . 8 (π‘š = 0 β†’ (𝑁 βˆ’ π‘š) = (𝑁 βˆ’ 0))
119, 10breq12d 4028 . . . . . . 7 (π‘š = 0 β†’ ((πΉβ€˜π‘š) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘š) ↔ (πΉβ€˜0) ≀ (𝑁 βˆ’ 0)))
1211imbi2d 230 . . . . . 6 (π‘š = 0 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘š) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘š)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) ≀ (𝑁 βˆ’ 0))))
13 fveq2 5527 . . . . . . . 8 (π‘š = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘˜))
14 oveq2 5896 . . . . . . . 8 (π‘š = π‘˜ β†’ (𝑁 βˆ’ π‘š) = (𝑁 βˆ’ π‘˜))
1513, 14breq12d 4028 . . . . . . 7 (π‘š = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘š) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘š) ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘˜)))
1615imbi2d 230 . . . . . 6 (π‘š = π‘˜ β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘š) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘š)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘˜))))
17 fveq2 5527 . . . . . . . 8 (π‘š = (π‘˜ + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
18 oveq2 5896 . . . . . . . 8 (π‘š = (π‘˜ + 1) β†’ (𝑁 βˆ’ π‘š) = (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1)))
1917, 18breq12d 4028 . . . . . . 7 (π‘š = (π‘˜ + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘š) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘š) ↔ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1))))
2019imbi2d 230 . . . . . 6 (π‘š = (π‘˜ + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘š) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘š)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1)))))
21 fveq2 5527 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑁 β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘))
22 oveq2 5896 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑁 β†’ (𝑁 βˆ’ π‘š) = (𝑁 βˆ’ 𝑁))
2321, 22breq12d 4028 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑁 β†’ ((πΉβ€˜π‘š) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘š) ↔ (πΉβ€˜π‘) ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑁)))
2423imbi2d 230 . . . . . 6 (π‘š = 𝑁 β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘š) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘š)) ↔ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑁))))
251, 8eqbrtrrd 4039 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) ≀ 𝑁)
267recnd 7999 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
2726subid1d 8270 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 0) = 𝑁)
2825, 27breqtrrd 4043 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) ≀ (𝑁 βˆ’ 0))
2928a1i 9 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) ≀ (𝑁 βˆ’ 0)))
30 nn0re 9198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
31 posdif 8425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 βˆ’ π‘˜)))
3230, 7, 31syl2anr 290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 βˆ’ π‘˜)))
3332adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = 0) β†’ (π‘˜ < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 βˆ’ π‘˜)))
34 breq1 4018 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = 0 β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (𝑁 βˆ’ π‘˜) ↔ 0 < (𝑁 βˆ’ π‘˜)))
3534adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = 0) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (𝑁 βˆ’ π‘˜) ↔ 0 < (𝑁 βˆ’ π‘˜)))
36 peano2nn0 9229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0)
37 ffvelcdm 5662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ β„•0)
382, 36, 37syl2an 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ β„•0)
3938nn0zd 9386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ β„€)
406nn0zd 9386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
41 nn0z 9286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ β„€)
42 zsubcl 9307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (𝑁 βˆ’ π‘˜) ∈ β„€)
4340, 41, 42syl2an 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑁 βˆ’ π‘˜) ∈ β„€)
44 zltlem1 9323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ β„€ ∧ (𝑁 βˆ’ π‘˜) ∈ β„€) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (𝑁 βˆ’ π‘˜) ↔ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑁 βˆ’ π‘˜) βˆ’ 1)))
4539, 43, 44syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (𝑁 βˆ’ π‘˜) ↔ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑁 βˆ’ π‘˜) βˆ’ 1)))
46 nn0cn 9199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
47 ax-1cn 7917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ β„‚
48 subsub4 8203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 βˆ’ π‘˜) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1)))
4947, 48mp3an3 1336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 βˆ’ π‘˜) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1)))
5026, 46, 49syl2an 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 βˆ’ π‘˜) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1)))
5150breq2d 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑁 βˆ’ π‘˜) βˆ’ 1) ↔ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1))))
5245, 51bitrd 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (𝑁 βˆ’ π‘˜) ↔ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1))))
5352adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = 0) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (𝑁 βˆ’ π‘˜) ↔ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1))))
5433, 35, 533bitr2d 216 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = 0) β†’ (π‘˜ < 𝑁 ↔ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1))))
5554biimpa 296 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = 0) ∧ π‘˜ < 𝑁) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1)))
5655an32s 568 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘˜ < 𝑁) ∧ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = 0) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1)))
5756a1d 22 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘˜ < 𝑁) ∧ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = 0) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘˜) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1))))
58 nn0seqcvgd.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) β‰  0 β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (πΉβ€˜π‘˜)))
5938nn0red 9243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
602ffvelcdmda 5664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„•0)
6160nn0red 9243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
6243zred 9388 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑁 βˆ’ π‘˜) ∈ ℝ)
63 ltletr 8060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (𝑁 βˆ’ π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (𝑁 βˆ’ π‘˜)))
6459, 61, 62, 63syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (𝑁 βˆ’ π‘˜)))
6564, 52sylibd 149 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) < (πΉβ€˜π‘˜) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1))))
6658, 65syland 293 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) β‰  0 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1))))
6766adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘˜ < 𝑁) β†’ (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) β‰  0 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1))))
6867expdimp 259 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘˜ < 𝑁) ∧ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) β‰  0) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘˜) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1))))
6939adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘˜ < 𝑁) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ β„€)
70 0zd 9278 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘˜ < 𝑁) β†’ 0 ∈ β„€)
71 zdceq 9341 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€) β†’ DECID (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = 0)
7269, 70, 71syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘˜ < 𝑁) β†’ DECID (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = 0)
73 dcne 2368 . . . . . . . . . . . 12 (DECID (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = 0 ↔ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = 0 ∨ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) β‰  0))
7472, 73sylib 122 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘˜ < 𝑁) β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = 0 ∨ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) β‰  0))
7557, 68, 74mpjaodan 799 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘˜ < 𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘˜) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1))))
7675anasss 399 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ π‘˜ < 𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘˜) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1))))
7776expcom 116 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ π‘˜ < 𝑁) β†’ (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘˜) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1)))))
7877a2d 26 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ π‘˜ < 𝑁) β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘˜)) β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1)))))
79783adant1 1016 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ β„•0 ∧ π‘˜ < 𝑁) β†’ ((πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑁 βˆ’ π‘˜)) β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (𝑁 βˆ’ (π‘˜ + 1)))))
8012, 16, 20, 24, 29, 79fnn0ind 9382 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑁 ≀ 𝑁) β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑁)))
816, 6, 8, 80syl3anc 1248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑁)))
8281pm2.43i 49 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑁))
8326subidd 8269 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 𝑁) = 0)
8482, 83breqtrd 4041 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ 0)
852, 6ffvelcdmd 5665 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„•0)
8685nn0ge0d 9245 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘))
8785nn0red 9243 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
88 0re 7970 . . 3 0 ∈ ℝ
89 letri3 8051 . . 3 (((πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘) = 0 ↔ ((πΉβ€˜π‘) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘))))
9087, 88, 89sylancl 413 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) = 0 ↔ ((πΉβ€˜π‘) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘))))
9184, 86, 90mpbir2and 945 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   β‰  wne 2357   class class class wbr 4015  βŸΆwf 5224  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  β„‚cc 7822  β„cr 7823  0cc0 7824  1c1 7825   + caddc 7827   < clt 8005   ≀ cle 8006   βˆ’ cmin 8141  β„•0cn0 9189  β„€cz 9266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267
This theorem is referenced by:  algcvg  12061
  Copyright terms: Public domain W3C validator