Theorem nn0seqcvgd 12734

Description: A strictly-decreasing nonnegative integer sequence with initial term 𝑁 reaches zero by the 𝑁 th term. Deduction version. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0seqcvgd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶ℕ0)
nn0seqcvgd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝐹‘0))
nn0seqcvgd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
nn0seqcvgd	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) = 0)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem nn0seqcvgd

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0seqcvgd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝐹‘0))
2		nn0seqcvgd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶ℕ0)
3		0nn0 9510	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		ffvelcdm 5809	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ0⟶ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹‘0) ∈ ℕ0)
5	2, 3, 4	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ ℕ0)
6	1, 5	eqeltrd 2309	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 9553	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
8	7	leidd 8787	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑁)
9		fveq2 5669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘0))
10		oveq2 6057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑁 − 𝑚) = (𝑁 − 0))
11	9, 10	breq12d 4121	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚) ↔ (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0)))
12	11	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0))))
13		fveq2 5669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
14		oveq2 6057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑁 − 𝑚) = (𝑁 − 𝑘))
15	13, 14	breq12d 4121	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚) ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)))
16	15	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘))))
17		fveq2 5669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
18		oveq2 6057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑁 − 𝑚) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
19	17, 18	breq12d 4121	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
20	19	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
21		fveq2 5669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑁))
22		oveq2 6057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑁 − 𝑚) = (𝑁 − 𝑁))
23	21, 22	breq12d 4121	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚) ↔ (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑁 − 𝑁)))
24	23	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹‘𝑚) ≤ (𝑁 − 𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑁 − 𝑁))))
25	1, 8	eqbrtrrd 4132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ 𝑁)
26	7	recnd 8301	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
27	26	subid1d 8572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 0) = 𝑁)
28	25, 27	breqtrrd 4136	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0))
29	28	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0)))
30		nn0re 9504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
31		posdif 8728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
32	30, 7, 31	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
34		breq1 4111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ 0 < (𝑁 − 𝑘)))
36		peano2nn0 9535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
37		ffvelcdm 5809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
38	2, 36, 37	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
39	38	nn0zd 9697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
40	6	nn0zd 9697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
41		nn0z 9596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
42		zsubcl 9617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
43	40, 41, 42	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
44		zltlem1 9634	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑁 − 𝑘) − 1)))
45	39, 43, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑁 − 𝑘) − 1)))
46		nn0cn 9505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
47		ax-1cn 8219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℂ
48		subsub4 8505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
49	47, 48	mp3an3 1363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
50	26, 46, 49	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝑘) − 1) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
51	50	breq2d 4120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑁 − 𝑘) − 1) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
52	45, 51	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
53	52	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
54	33, 35, 53	3bitr2d 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → (𝑘 < 𝑁 ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
55	54	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))
56	55	an32s 570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))
57	56	a1d 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
58		nn0seqcvgd.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘)))
59	38	nn0red 9553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
60	2	ffvelcdmda 5811	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℕ0)
61	60	nn0red 9553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
62	43	zred 9699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℝ)
63		ltletr 8362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑘) ∈ ℝ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘)))
64	59, 61, 62, 63	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁 − 𝑘)))
65	64, 52	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹‘𝑘) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
66	58, 65	syland 293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
67	66	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
68	67	expdimp 259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0) → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
69	39	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
70		0zd 9588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → 0 ∈ ℤ)
71		zdceq 9652	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0)
72	69, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → DECID (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0)
73		dcne 2423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (DECID (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0 ↔ ((𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0 ∨ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0))
74	72, 73	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0 ∨ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0))
75	57, 68, 74	mpjaodan 806	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
76	75	anasss 399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 < 𝑁)) → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
77	76	expcom 116	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 < 𝑁) → (𝜑 → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
78	77	a2d 26	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 < 𝑁) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
79	78	3adant1 1042	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 < 𝑁) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
80	12, 16, 20, 24, 29, 79	fnn0ind 9693	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑁 − 𝑁)))
81	6, 6, 8, 80	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑁 − 𝑁)))
82	81	pm2.43i 49	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝑁 − 𝑁))
83	26	subidd 8571	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑁) = 0)
84	82, 83	breqtrd 4134	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ 0)
85	2, 6	ffvelcdmd 5812	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℕ0)
86	85	nn0ge0d 9555	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘𝑁))
87	85	nn0red 9553	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
88		0re 8273	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
89		letri3 8353	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑁) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑁) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑁))))
90	87, 88, 89	sylancl 413	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑁) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑁))))
91	84, 86, 90	mpbir2and 953	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412   class class class wbr 4108  ⟶wf 5347  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℂcc 8124  ℝcr 8125  0cc0 8126  1c1 8127   + caddc 8129   < clt 8307   ≤ cle 8308   − cmin 8443  ℕ₀cn0 9495  ℤcz 9576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-n0 9496  df-z 9577

This theorem is referenced by:  algcvg  12741