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Theorem nn0seqcvgd 11116
Description: A strictly-decreasing nonnegative integer sequence with initial term 𝑁 reaches zero by the 𝑁 th term. Deduction version. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0seqcvgd.1 (𝜑𝐹:ℕ0⟶ℕ0)
nn0seqcvgd.2 (𝜑𝑁 = (𝐹‘0))
nn0seqcvgd.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
nn0seqcvgd (𝜑 → (𝐹𝑁) = 0)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem nn0seqcvgd
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0seqcvgd.2 . . . . . 6 (𝜑𝑁 = (𝐹‘0))
2 nn0seqcvgd.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℕ0⟶ℕ0)
3 0nn0 8658 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
4 ffvelrn 5416 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ0⟶ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹‘0) ∈ ℕ0)
52, 3, 4sylancl 404 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ ℕ0)
61, 5eqeltrd 2164 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
76nn0red 8697 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
87leidd 7968 . . . . 5 (𝜑𝑁𝑁)
9 fveq2 5289 . . . . . . . 8 (𝑚 = 0 → (𝐹𝑚) = (𝐹‘0))
10 oveq2 5642 . . . . . . . 8 (𝑚 = 0 → (𝑁𝑚) = (𝑁 − 0))
119, 10breq12d 3850 . . . . . . 7 (𝑚 = 0 → ((𝐹𝑚) ≤ (𝑁𝑚) ↔ (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0)))
1211imbi2d 228 . . . . . 6 (𝑚 = 0 → ((𝜑 → (𝐹𝑚) ≤ (𝑁𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0))))
13 fveq2 5289 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
14 oveq2 5642 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → (𝑁𝑚) = (𝑁𝑘))
1513, 14breq12d 3850 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑚) ≤ (𝑁𝑚) ↔ (𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘)))
1615imbi2d 228 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝐹𝑚) ≤ (𝑁𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘))))
17 fveq2 5289 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑚) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
18 oveq2 5642 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑁𝑚) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
1917, 18breq12d 3850 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑚) ≤ (𝑁𝑚) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
2019imbi2d 228 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝐹𝑚) ≤ (𝑁𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
21 fveq2 5289 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑁 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑁))
22 oveq2 5642 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑁 → (𝑁𝑚) = (𝑁𝑁))
2321, 22breq12d 3850 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑁 → ((𝐹𝑚) ≤ (𝑁𝑚) ↔ (𝐹𝑁) ≤ (𝑁𝑁)))
2423imbi2d 228 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝐹𝑚) ≤ (𝑁𝑚)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝑁𝑁))))
251, 8eqbrtrrd 3859 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ 𝑁)
267recnd 7495 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2726subid1d 7761 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 − 0) = 𝑁)
2825, 27breqtrrd 3863 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0))
2928a1i 9 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝐹‘0) ≤ (𝑁 − 0)))
30 nn0re 8652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
31 posdif 7912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁𝑘)))
3230, 7, 31syl2anr 284 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁𝑘)))
3332adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → (𝑘 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁𝑘)))
34 breq1 3840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁𝑘) ↔ 0 < (𝑁𝑘)))
3534adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁𝑘) ↔ 0 < (𝑁𝑘)))
36 peano2nn0 8683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
37 ffvelrn 5416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
382, 36, 37syl2an 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
3938nn0zd 8836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
406nn0zd 8836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
41 nn0z 8740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
42 zsubcl 8761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
4340, 41, 42syl2an 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
44 zltlem1 8777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℤ) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑁𝑘) − 1)))
4539, 43, 44syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑁𝑘) − 1)))
46 nn0cn 8653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
47 ax-1cn 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℂ
48 subsub4 7694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑘) − 1) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
4947, 48mp3an3 1262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑘) − 1) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
5026, 46, 49syl2an 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝑘) − 1) = (𝑁 − (𝑘 + 1)))
5150breq2d 3849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑁𝑘) − 1) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
5245, 51bitrd 186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
5352adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
5433, 35, 533bitr2d 214 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → (𝑘 < 𝑁 ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
5554biimpa 290 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))
5655an32s 535 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))
5756a1d 22 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0) → ((𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
58 nn0seqcvgd.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹𝑘)))
5938nn0red 8697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
602ffvelrnda 5418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℕ0)
6160nn0red 8697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
6243zred 8838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑘) ∈ ℝ)
63 ltletr 7553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℝ) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁𝑘)))
6459, 61, 62, 63syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝑁𝑘)))
6564, 52sylibd 147 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) < (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
6658, 65syland 287 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
6766adantr 270 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0 ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
6867expdimp 255 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0) → ((𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
6939adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ)
70 0zd 8732 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → 0 ∈ ℤ)
71 zdceq 8792 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0)
7269, 70, 71syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → DECID (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0)
73 dcne 2266 . . . . . . . . . . . 12 (DECID (𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0 ↔ ((𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0 ∨ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0))
7472, 73sylib 120 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) = 0 ∨ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≠ 0))
7557, 68, 74mpjaodan 747 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝑁) → ((𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
7675anasss 391 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 < 𝑁)) → ((𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1))))
7776expcom 114 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑘 < 𝑁) → (𝜑 → ((𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
7877a2d 26 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑘 < 𝑁) → ((𝜑 → (𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
79783adant1 961 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0𝑘 < 𝑁) → ((𝜑 → (𝐹𝑘) ≤ (𝑁𝑘)) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑁 − (𝑘 + 1)))))
8012, 16, 20, 24, 29, 79fnn0ind 8832 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑁𝑁) → (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝑁𝑁)))
816, 6, 8, 80syl3anc 1174 . . . 4 (𝜑 → (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝑁𝑁)))
8281pm2.43i 48 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝑁𝑁))
8326subidd 7760 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑁) = 0)
8482, 83breqtrd 3861 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ 0)
852, 6ffvelrnd 5419 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℕ0)
8685nn0ge0d 8699 . 2 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹𝑁))
8785nn0red 8697 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
88 0re 7467 . . 3 0 ∈ ℝ
89 letri3 7545 . . 3 (((𝐹𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑁) = 0 ↔ ((𝐹𝑁) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐹𝑁))))
9087, 88, 89sylancl 404 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑁) = 0 ↔ ((𝐹𝑁) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝐹𝑁))))
9184, 86, 90mpbir2and 890 1 (𝜑 → (𝐹𝑁) = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wo 664  DECID wdc 780   = wceq 1289  wcel 1438  wne 2255   class class class wbr 3837  wf 4998  cfv 5002  (class class class)co 5634  cc 7327  cr 7328  0cc0 7329  1c1 7330   + caddc 7332   < clt 7501  cle 7502  cmin 7632  0cn0 8643  cz 8720
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721
This theorem is referenced by:  ialgcvg  11123
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