Theorem indconst1 9303

Description: Indicator of the whole set. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
indconst1	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘𝑂) = (𝑂 × {1}))

Proof of Theorem indconst1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3268	. . . 4 ⊢ 𝑂 ⊆ 𝑂
2		indval 9296	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑂 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝑂) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑂, 1, 0)))
3	1, 2	mpan2 429	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘𝑂) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑂, 1, 0)))
4		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → 𝑥 ∈ 𝑂)
5	4	iftrued 3647	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → if(𝑥 ∈ 𝑂, 1, 0) = 1)
6		1re 8325	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
7	6	elexi 2834	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
8	7	elsn2 3743	. . . 4 ⊢ (if(𝑥 ∈ 𝑂, 1, 0) ∈ {1} ↔ if(𝑥 ∈ 𝑂, 1, 0) = 1)
9	5, 8	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑂) → if(𝑥 ∈ 𝑂, 1, 0) ∈ {1})
10	3, 9	fmpt3d 5864	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘𝑂):𝑂⟶{1})
11		fconst2g 5930	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℝ → (((𝟭‘𝑂)‘𝑂):𝑂⟶{1} ↔ ((𝟭‘𝑂)‘𝑂) = (𝑂 × {1})))
12	6, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (((𝟭‘𝑂)‘𝑂):𝑂⟶{1} ↔ ((𝟭‘𝑂)‘𝑂) = (𝑂 × {1}))
13	10, 12	sylib 122	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((𝟭‘𝑂)‘𝑂) = (𝑂 × {1}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ifcif 3638  {csn 3709   ↦ cmpt 4192   × cxp 4772  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  ℝcr 8178  0cc0 8179  1c1 8180  𝟭cind 9293

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-1re 8273

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ind 9294

This theorem is used by: (None)