Theorem iftrued 3569

Description: Value of the conditional operator when its first argument is true. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
iftrued.1	⊢ (𝜑 → 𝜒)

Assertion

Ref	Expression
iftrued	⊢ (𝜑 → if(𝜒, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem iftrued

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrued.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
2		iftrue 3567	. 2 ⊢ (𝜒 → if(𝜒, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜒, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364  ifcif 3562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-11 1520  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-if 3563

This theorem is referenced by:  ifeq2dadc  3593  eqifdc  3597  mposnif  6020  fimax2gtrilemstep  6970  updjudhcoinlf  7155  omp1eomlem  7169  difinfsnlem  7174  ctssdclemn0  7185  ctssdc  7188  enumctlemm  7189  nnnninfeq  7203  nninfisollemne  7206  fodju0  7222  nninfwlpoimlemg  7250  nninfwlpoimlemginf  7251  iseqf1olemnab  10612  iseqf1olemab  10613  iseqf1olemqk  10618  iseqf1olemfvp  10621  seq3f1olemqsumkj  10622  seq3f1olemqsum  10624  seq3f1oleml  10627  seq3f1o  10628  fser0const  10646  expnnval  10653  2zsupmax  11410  2zinfmin  11427  xrmaxifle  11430  xrmaxiflemab  11431  xrmaxiflemlub  11432  xrmaxiflemcom  11433  summodclem3  11564  summodclem2a  11565  isum  11569  fsum3  11571  isumss  11575  fsumcl2lem  11582  fsumadd  11590  fsummulc2  11632  cvgratz  11716  prodmodclem3  11759  prodmodclem2a  11760  fprodseq  11767  prod1dc  11770  fprodmul  11775  ef0lem  11844  gcdval  12153  nninfctlemfo  12234  pcmpt  12539  pcmpt2  12540  ennnfonelemss  12654  ennnfonelemkh  12656  ennnfonelemhf1o  12657  fvprif  13047  gsumfzz  13199  gsumfzcl  13203  mulgnn  13334  gsumfzreidx  13545  gsumfzsubmcl  13546  gsumfzmptfidmadd  13547  gsumfzmhm  13551  znf1o  14285  dvply1  15109  lgsdir2  15382  lgsne0  15387  gausslemma2dlem1a  15407  gausslemma2dlem1f1o  15409  gausslemma2dlem2  15411  bj-charfun  15561  bj-charfundc  15562  2omap  15750  subctctexmid  15755  nninfsellemeq  15769  nninfsellemeqinf  15771  nninffeq  15775  dcapnconst  15818