Theorem iftrued 3564

Description: Value of the conditional operator when its first argument is true. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
iftrued.1	⊢ (𝜑 → 𝜒)

Assertion

Ref	Expression
iftrued	⊢ (𝜑 → if(𝜒, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem iftrued

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrued.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
2		iftrue 3562	. 2 ⊢ (𝜒 → if(𝜒, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → if(𝜒, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364  ifcif 3557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-11 1517  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-if 3558

This theorem is referenced by:  ifeq2dadc  3588  eqifdc  3592  mposnif  6012  fimax2gtrilemstep  6956  updjudhcoinlf  7139  omp1eomlem  7153  difinfsnlem  7158  ctssdclemn0  7169  ctssdc  7172  enumctlemm  7173  nnnninfeq  7187  nninfisollemne  7190  fodju0  7206  nninfwlpoimlemg  7234  nninfwlpoimlemginf  7235  iseqf1olemnab  10572  iseqf1olemab  10573  iseqf1olemqk  10578  iseqf1olemfvp  10581  seq3f1olemqsumkj  10582  seq3f1olemqsum  10584  seq3f1oleml  10587  seq3f1o  10588  fser0const  10606  expnnval  10613  2zsupmax  11369  2zinfmin  11386  xrmaxifle  11389  xrmaxiflemab  11390  xrmaxiflemlub  11391  xrmaxiflemcom  11392  summodclem3  11523  summodclem2a  11524  isum  11528  fsum3  11530  isumss  11534  fsumcl2lem  11541  fsumadd  11549  fsummulc2  11591  cvgratz  11675  prodmodclem3  11718  prodmodclem2a  11719  fprodseq  11726  prod1dc  11729  fprodmul  11734  ef0lem  11803  gcdval  12096  nninfctlemfo  12177  pcmpt  12481  pcmpt2  12482  ennnfonelemss  12567  ennnfonelemkh  12569  ennnfonelemhf1o  12570  fvprif  12926  gsumfzz  13067  gsumfzcl  13071  mulgnn  13196  gsumfzreidx  13407  gsumfzsubmcl  13408  gsumfzmptfidmadd  13409  gsumfzmhm  13413  znf1o  14139  lgsdir2  15149  lgsne0  15154  gausslemma2dlem1a  15174  gausslemma2dlem1f1o  15176  gausslemma2dlem2  15178  bj-charfun  15299  bj-charfundc  15300  subctctexmid  15491  nninfsellemeq  15504  nninfsellemeqinf  15506  nninffeq  15510  dcapnconst  15551