ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  letri3 GIF version

Theorem letri3 7487
Description: Tightness of real apartness. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
letri3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))

Proof of Theorem letri3
StepHypRef Expression
1 lttri3 7486 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
2 ancom 262 . . 3 ((¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
31, 2syl6bbr 196 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
4 lenlt 7482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5 lenlt 7482 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
65ancoms 264 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
74, 6anbi12d 457 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
83, 7bitr4d 189 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1287  wcel 1436   class class class wbr 3814  cr 7270   < clt 7443  cle 7444
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-apti 7381
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2616  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-opab 3869  df-xp 4410  df-cnv 4412  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449
This theorem is referenced by:  letri3i  7504  letri3d  7521  lesub0  7878  lbreu  8318  nnle1eq1  8358  nn0le0eq0  8611  nn0lt10b  8737  zextle  8747  uz11  8950  uzin  8960  nn01to3  9011  elfz1eq  9358  dvdsabseq  10642  nn0seqcvgd  10817
  Copyright terms: Public domain W3C validator