Theorem grpid 13007

Description: Two ways of saying that an element of a group is the identity element. Provides a convenient way to compute the value of the identity element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinveu.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinveu.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpinveu.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) = 𝑋 ↔ 0 = 𝑋))

Proof of Theorem grpid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2191	. 2 ⊢ ( 0 = 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 )
2		grpinveu.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpinveu.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	2, 3	grpidcl 12997	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5		grpinveu.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6	2, 5	grprcan 13005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑋) = ( 0 + 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 ))
7	6	3exp2 1227	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐵 → ( 0 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑋 + 𝑋) = ( 0 + 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 )))))
8	4, 7	mpid 42	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑋 + 𝑋) = ( 0 + 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 ))))
9	8	pm2.43d 50	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑋 + 𝑋) = ( 0 + 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 )))
10	9	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) = ( 0 + 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 ))
11	2, 5, 3	grplid 12999	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
12	11	eqeq2d 2201	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) = ( 0 + 𝑋) ↔ (𝑋 + 𝑋) = 𝑋))
13	10, 12	bitr3d 190	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 0 ↔ (𝑋 + 𝑋) = 𝑋))
14	1, 13	bitr2id 193	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) = 𝑋 ↔ 0 = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ‘cfv 5238  (class class class)co 5900  Basecbs 12524  +_gcplusg 12601  0_gc0g 12773  Grpcgrp 12969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1re 7940  ax-addrcl 7943

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-inn 8956  df-2 9014  df-ndx 12527  df-slot 12528  df-base 12530  df-plusg 12614  df-0g 12775  df-mgm 12844  df-sgrp 12889  df-mnd 12902  df-grp 12972

This theorem is referenced by:  isgrpid2  13008  grpidd2  13009  subg0  13145  qus0  13200  ghmid  13214  lmod0vid  13662  cnfld0  13900