Theorem grpid 13773

Description: Two ways of saying that an element of a group is the identity element. Provides a convenient way to compute the value of the identity element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinveu.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinveu.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpinveu.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) = 𝑋 ↔ 0 = 𝑋))

Proof of Theorem grpid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2236	. 2 ⊢ ( 0 = 𝑋 ↔ 𝑋 = 0 )
2		grpinveu.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpinveu.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	2, 3	grpidcl 13763	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5		grpinveu.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6	2, 5	grprcan 13771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑋) = ( 0 + 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 ))
7	6	3exp2 1252	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐵 → ( 0 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑋 + 𝑋) = ( 0 + 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 )))))
8	4, 7	mpid 42	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑋 + 𝑋) = ( 0 + 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 ))))
9	8	pm2.43d 50	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑋 + 𝑋) = ( 0 + 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 )))
10	9	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) = ( 0 + 𝑋) ↔ 𝑋 = 0 ))
11	2, 5, 3	grplid 13765	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
12	11	eqeq2d 2246	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) = ( 0 + 𝑋) ↔ (𝑋 + 𝑋) = 𝑋))
13	10, 12	bitr3d 190	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 = 0 ↔ (𝑋 + 𝑋) = 𝑋))
14	1, 13	bitr2id 193	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) = 𝑋 ↔ 0 = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  Basecbs 13233  +_gcplusg 13311  0_gc0g 13490  Grpcgrp 13734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1re 8226  ax-addrcl 8229

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-inn 9243  df-2 9301  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-plusg 13324  df-0g 13492  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651  df-grp 13737

This theorem is referenced by:  isgrpid2  13774  grpidd2  13775  subg0  13918  qus0  13973  ghmid  13987  lmod0vid  14517  cnfld0  14768  psr0  14890