ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmod0vs GIF version
Theorem lmod0vs 13411
Description: Zero times a vector is the zero vector. Equation 1a of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmod0vs.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmod0vs.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmod0vs.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lmod0vs.o 𝑂 = (0gβ€˜πΉ)
lmod0vs.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lmod0vs ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑂 Β· 𝑋) = 0 )
Proof of Theorem lmod0vs
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lmod0vs.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
32lmodring 13385 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
43adantr 276 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ Ring)
5 eqid 2177 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
6 lmod0vs.o . . . . . . 7 𝑂 = (0gβ€˜πΉ)
75, 6ring0cl 13204 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝑂 ∈ (Baseβ€˜πΉ))
84, 7syl 14 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑂 ∈ (Baseβ€˜πΉ))
9 simpr 110 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
10 lmod0vs.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
11 eqid 2177 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
12 lmod0vs.s . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
13 eqid 2177 . . . . . 6 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
1410, 11, 2, 12, 5, 13lmodvsdir 13402 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑂 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑂 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑂(+gβ€˜πΉ)𝑂) Β· 𝑋) = ((𝑂 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑂 Β· 𝑋)))
151, 8, 8, 9, 14syl13anc 1240 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑂(+gβ€˜πΉ)𝑂) Β· 𝑋) = ((𝑂 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑂 Β· 𝑋)))
16 ringgrp 13184 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ Grp)
174, 16syl 14 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ Grp)
185, 13, 6grplid 12906 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑂 ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ (𝑂(+gβ€˜πΉ)𝑂) = 𝑂)
1917, 8, 18syl2anc 411 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑂(+gβ€˜πΉ)𝑂) = 𝑂)
2019oveq1d 5890 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑂(+gβ€˜πΉ)𝑂) Β· 𝑋) = (𝑂 Β· 𝑋))
2115, 20eqtr3d 2212 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑂 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑂 Β· 𝑋)) = (𝑂 Β· 𝑋))
2210, 2, 12, 5lmodvscl 13395 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑂 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑂 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
231, 8, 9, 22syl3anc 1238 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑂 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
24 lmod0vs.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘Š)
2510, 11, 24lmod0vid 13410 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑂 Β· 𝑋) ∈ 𝑉) β†’ (((𝑂 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑂 Β· 𝑋)) = (𝑂 Β· 𝑋) ↔ 0 = (𝑂 Β· 𝑋)))
2623, 25syldan 282 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (((𝑂 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝑂 Β· 𝑋)) = (𝑂 Β· 𝑋) ↔ 0 = (𝑂 Β· 𝑋)))
2721, 26mpbid 147 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 0 = (𝑂 Β· 𝑋))
2827eqcomd 2183 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑂 Β· 𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  Basecbs 12462  +gcplusg 12536  Scalarcsca 12539   ·𝑠 cvsca 12540  0gc0g 12705  Grpcgrp 12877  Ringcrg 13179  LModclmod 13377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1re 7905  ax-addrcl 7908
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-5 8981  df-6 8982  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-plusg 12549  df-mulr 12550  df-sca 12552  df-vsca 12553  df-0g 12707  df-mgm 12775  df-sgrp 12808  df-mnd 12818  df-grp 12880  df-ring 13181  df-lmod 13379
This theorem is referenced by:  lmodvs0  13412  lmodvsmmulgdi  13413  lmodvneg1  13420
  Copyright terms: Public domain W3C validator