Theorem lmod0vs 14397

Description: Zero times a vector is the zero vector. Equation 1a of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod0vs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmod0vs.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmod0vs.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmod0vs.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
lmod0vs.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmod0vs	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem lmod0vs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmod0vs.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodring 14371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ Ring)
5		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6		lmod0vs.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
7	5, 6	ring0cl 14096	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝑂 ∈ (Base‘𝐹))
8	4, 7	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐹))
9		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lmod0vs.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
12		lmod0vs.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
14	10, 11, 2, 12, 5, 13	lmodvsdir 14388	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑂 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑂(+g‘𝐹)𝑂) · 𝑋) = ((𝑂 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑂 · 𝑋)))
15	1, 8, 8, 9, 14	syl13anc 1276	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑂(+g‘𝐹)𝑂) · 𝑋) = ((𝑂 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑂 · 𝑋)))
16		ringgrp 14076	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
17	4, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ Grp)
18	5, 13, 6	grplid 13675	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑂(+g‘𝐹)𝑂) = 𝑂)
19	17, 8, 18	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂(+g‘𝐹)𝑂) = 𝑂)
20	19	oveq1d 6043	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑂(+g‘𝐹)𝑂) · 𝑋) = (𝑂 · 𝑋))
21	15, 20	eqtr3d 2266	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑂 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑂 · 𝑋)) = (𝑂 · 𝑋))
22	10, 2, 12, 5	lmodvscl 14381	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂 · 𝑋) ∈ 𝑉)
23	1, 8, 9, 22	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂 · 𝑋) ∈ 𝑉)
24		lmod0vs.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
25	10, 11, 24	lmod0vid 14396	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑂 · 𝑋) ∈ 𝑉) → (((𝑂 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑂 · 𝑋)) = (𝑂 · 𝑋) ↔ 0 = (𝑂 · 𝑋)))
26	23, 25	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑂 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑂 · 𝑋)) = (𝑂 · 𝑋) ↔ 0 = (𝑂 · 𝑋)))
27	21, 26	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 = (𝑂 · 𝑋))
28	27	eqcomd 2237	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  Basecbs 13143  +_gcplusg 13221  Scalarcsca 13224   ·_𝑠 cvsca 13225  0_gc0g 13400  Grpcgrp 13644  Ringcrg 14071  LModclmod 14363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-plusg 13234  df-mulr 13235  df-sca 13237  df-vsca 13238  df-0g 13402  df-mgm 13500  df-sgrp 13546  df-mnd 13561  df-grp 13647  df-ring 14073  df-lmod 14365

This theorem is referenced by:  lmodvs0  14398  lmodvsmmulgdi  14399  lmodvneg1  14406