Theorem lmod0vs 14641

Description: Zero times a vector is the zero vector. Equation 1a of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod0vs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmod0vs.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmod0vs.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmod0vs.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
lmod0vs.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmod0vs	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem lmod0vs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmod0vs.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodring 14614	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ Ring)
5		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6		lmod0vs.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
7	5, 6	ring0cl 14309	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝑂 ∈ (Base‘𝐹))
8	4, 7	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐹))
9		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lmod0vs.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
12		lmod0vs.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
14	10, 11, 2, 12, 5, 13	lmodvsdir 14632	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑂 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑂(+g‘𝐹)𝑂) · 𝑋) = ((𝑂 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑂 · 𝑋)))
15	1, 8, 8, 9, 14	syl13anc 1280	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑂(+g‘𝐹)𝑂) · 𝑋) = ((𝑂 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑂 · 𝑋)))
16		ringgrp 14288	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
17	4, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ Grp)
18	5, 13, 6	grplid 13819	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑂(+g‘𝐹)𝑂) = 𝑂)
19	17, 8, 18	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂(+g‘𝐹)𝑂) = 𝑂)
20	19	oveq1d 6094	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑂(+g‘𝐹)𝑂) · 𝑋) = (𝑂 · 𝑋))
21	15, 20	eqtr3d 2273	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑂 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑂 · 𝑋)) = (𝑂 · 𝑋))
22	10, 2, 12, 5	lmodvscl 14624	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂 · 𝑋) ∈ 𝑉)
23	1, 8, 9, 22	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂 · 𝑋) ∈ 𝑉)
24		lmod0vs.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
25	10, 11, 24	lmod0vid 14640	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑂 · 𝑋) ∈ 𝑉) → (((𝑂 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑂 · 𝑋)) = (𝑂 · 𝑋) ↔ 0 = (𝑂 · 𝑋)))
26	23, 25	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑂 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑂 · 𝑋)) = (𝑂 · 𝑋) ↔ 0 = (𝑂 · 𝑋)))
27	21, 26	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 = (𝑂 · 𝑋))
28	27	eqcomd 2244	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Basecbs 13335  +_gcplusg 13414  Scalarcsca 13417   ·_𝑠 cvsca 13418  0_gc0g 13593  Grpcgrp 13788  Ringcrg 14283  LModclmod 14606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-ring 14285  df-lmod 14608

This theorem is referenced by:  lmodvs0  14642  lmodvsmmulgdi  14643  lmodvneg1  14650  ascl0  15010