Theorem lmod0vs 13877

Description: Zero times a vector is the zero vector. Equation 1a of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod0vs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmod0vs.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmod0vs.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmod0vs.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
lmod0vs.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmod0vs	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem lmod0vs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmod0vs.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodring 13851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ Ring)
5		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6		lmod0vs.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
7	5, 6	ring0cl 13577	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝑂 ∈ (Base‘𝐹))
8	4, 7	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐹))
9		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lmod0vs.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
12		lmod0vs.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
14	10, 11, 2, 12, 5, 13	lmodvsdir 13868	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑂 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑂(+g‘𝐹)𝑂) · 𝑋) = ((𝑂 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑂 · 𝑋)))
15	1, 8, 8, 9, 14	syl13anc 1251	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑂(+g‘𝐹)𝑂) · 𝑋) = ((𝑂 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑂 · 𝑋)))
16		ringgrp 13557	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
17	4, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ Grp)
18	5, 13, 6	grplid 13163	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑂(+g‘𝐹)𝑂) = 𝑂)
19	17, 8, 18	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂(+g‘𝐹)𝑂) = 𝑂)
20	19	oveq1d 5937	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑂(+g‘𝐹)𝑂) · 𝑋) = (𝑂 · 𝑋))
21	15, 20	eqtr3d 2231	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑂 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑂 · 𝑋)) = (𝑂 · 𝑋))
22	10, 2, 12, 5	lmodvscl 13861	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂 · 𝑋) ∈ 𝑉)
23	1, 8, 9, 22	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂 · 𝑋) ∈ 𝑉)
24		lmod0vs.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
25	10, 11, 24	lmod0vid 13876	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑂 · 𝑋) ∈ 𝑉) → (((𝑂 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑂 · 𝑋)) = (𝑂 · 𝑋) ↔ 0 = (𝑂 · 𝑋)))
26	23, 25	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑂 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑂 · 𝑋)) = (𝑂 · 𝑋) ↔ 0 = (𝑂 · 𝑋)))
27	21, 26	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 = (𝑂 · 𝑋))
28	27	eqcomd 2202	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  Basecbs 12678  +_gcplusg 12755  Scalarcsca 12758   ·_𝑠 cvsca 12759  0_gc0g 12927  Grpcgrp 13132  Ringcrg 13552  LModclmod 13843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-ring 13554  df-lmod 13845

This theorem is referenced by:  lmodvs0  13878  lmodvsmmulgdi  13879  lmodvneg1  13886