Theorem lmod0vs 13953

Description: Zero times a vector is the zero vector. Equation 1a of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod0vs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmod0vs.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmod0vs.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmod0vs.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
lmod0vs.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmod0vs	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem lmod0vs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmod0vs.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodring 13927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ Ring)
5		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6		lmod0vs.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐹)
7	5, 6	ring0cl 13653	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝑂 ∈ (Base‘𝐹))
8	4, 7	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑂 ∈ (Base‘𝐹))
9		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lmod0vs.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
12		lmod0vs.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
13		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
14	10, 11, 2, 12, 5, 13	lmodvsdir 13944	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑂 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑂(+g‘𝐹)𝑂) · 𝑋) = ((𝑂 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑂 · 𝑋)))
15	1, 8, 8, 9, 14	syl13anc 1251	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑂(+g‘𝐹)𝑂) · 𝑋) = ((𝑂 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑂 · 𝑋)))
16		ringgrp 13633	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
17	4, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ Grp)
18	5, 13, 6	grplid 13233	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑂(+g‘𝐹)𝑂) = 𝑂)
19	17, 8, 18	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂(+g‘𝐹)𝑂) = 𝑂)
20	19	oveq1d 5940	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑂(+g‘𝐹)𝑂) · 𝑋) = (𝑂 · 𝑋))
21	15, 20	eqtr3d 2231	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑂 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑂 · 𝑋)) = (𝑂 · 𝑋))
22	10, 2, 12, 5	lmodvscl 13937	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑂 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂 · 𝑋) ∈ 𝑉)
23	1, 8, 9, 22	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂 · 𝑋) ∈ 𝑉)
24		lmod0vs.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
25	10, 11, 24	lmod0vid 13952	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑂 · 𝑋) ∈ 𝑉) → (((𝑂 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑂 · 𝑋)) = (𝑂 · 𝑋) ↔ 0 = (𝑂 · 𝑋)))
26	23, 25	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑂 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑂 · 𝑋)) = (𝑂 · 𝑋) ↔ 0 = (𝑂 · 𝑋)))
27	21, 26	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 0 = (𝑂 · 𝑋))
28	27	eqcomd 2202	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑂 · 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Basecbs 12703  +_gcplusg 12780  Scalarcsca 12783   ·_𝑠 cvsca 12784  0_gc0g 12958  Grpcgrp 13202  Ringcrg 13628  LModclmod 13919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-sca 12796  df-vsca 12797  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-ring 13630  df-lmod 13921

This theorem is referenced by:  lmodvs0  13954  lmodvsmmulgdi  13955  lmodvneg1  13962