Theorem ringgrp 14137

Description: A ring is a group. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ringgrp	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)

Proof of Theorem ringgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2232	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2232	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2232	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isring 14136	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))))
6	5	simp1bi 1039	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Basecbs 13204  +_gcplusg 13282  ._rcmulr 13283  Mndcmnd 13621  Grpcgrp 13705  mulGrpcmgp 14056  Ringcrg 14132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1re 8220  ax-addrcl 8223

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-fv 5359  df-ov 6052  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-plusg 13295  df-mulr 13296  df-ring 14134

This theorem is referenced by:  ringgrpd  14141  ringmnd  14142  ring0cl  14157  ringacl  14166  ringcom  14167  ringabl  14168  ringlz  14179  ringrz  14180  ringnegl  14187  ringnegr  14188  ringmneg1  14189  ringmneg2  14190  ringm2neg  14191  ringsubdi  14192  ringsubdir  14193  mulgass2  14194  ringlghm  14197  ringrghm  14198  ringressid  14199  imasring  14200  opprring  14215  dvdsrneg  14240  unitnegcl  14267  dvrdir  14280  dfrhm2  14291  isrhm  14295  isrhmd  14303  rhmfn  14309  rhmval  14310  subrgsubg  14364  lmodfgrp  14436  lmod0vs  14461  lmodvsneg  14471  lmodsubvs  14483  lmodsubdi  14484  lmodsubdir  14485  rmodislmodlem  14490  rmodislmod  14491  issubrgd  14592  lidlsubg  14626  cnfld0  14711  cnfldneg  14713  cnfldsub  14715  cnsubglem  14719  zringgrp  14735  mulgrhm  14749  zrhmulg  14760