Theorem ringgrp 14248

Description: A ring is a group. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ringgrp	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)

Proof of Theorem ringgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2234	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2234	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2234	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isring 14247	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))))
6	5	simp1bi 1039	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Basecbs 13300  +_gcplusg 13378  ._rcmulr 13379  Mndcmnd 13681  Grpcgrp 13759  mulGrpcmgp 14163  Ringcrg 14243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-ov 6061  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-ndx 13303  df-slot 13304  df-base 13306  df-plusg 13391  df-mulr 13392  df-ring 14245

This theorem is referenced by:  ringgrpd  14252  ringmnd  14253  ring0cl  14268  ringacl  14277  ringcom  14278  ringabl  14279  ringlz  14290  ringrz  14291  ringnegl  14298  ringnegr  14299  ringmneg1  14300  ringmneg2  14301  ringm2neg  14302  ringsubdi  14303  ringsubdir  14304  mulgass2  14305  ringlghm  14308  ringrghm  14309  ringressid  14310  imasring  14311  opprring  14326  dvdsrneg  14352  unitnegcl  14379  dvrdir  14392  dfrhm2  14403  isrhm  14407  isrhmd  14415  rhmfn  14421  rhmval  14422  subrgsubg  14477  lmodfgrp  14574  lmod0vs  14599  lmodvsneg  14609  lmodsubvs  14621  lmodsubdi  14622  lmodsubdir  14623  rmodislmodlem  14628  rmodislmod  14629  issubrgd  14730  lidlsubg  14764  cnfld0  14849  cnfldneg  14851  cnfldsub  14853  cnsubglem  14857  zringgrp  14873  mulgrhm  14887  zrhmulg  14898