Theorem ringgrp 14020

Description: A ring is a group. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ringgrp	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)

Proof of Theorem ringgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2231	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2231	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2231	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isring 14019	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))))
6	5	simp1bi 1038	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13087  +_gcplusg 13165  ._rcmulr 13166  Mndcmnd 13504  Grpcgrp 13588  mulGrpcmgp 13939  Ringcrg 14015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6021  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-plusg 13178  df-mulr 13179  df-ring 14017

This theorem is referenced by:  ringgrpd  14024  ringmnd  14025  ring0cl  14040  ringacl  14049  ringcom  14050  ringabl  14051  ringlz  14062  ringrz  14063  ringnegl  14070  ringnegr  14071  ringmneg1  14072  ringmneg2  14073  ringm2neg  14074  ringsubdi  14075  ringsubdir  14076  mulgass2  14077  ringlghm  14080  ringrghm  14081  ringressid  14082  imasring  14083  opprring  14098  dvdsrneg  14123  unitnegcl  14150  dvrdir  14163  dfrhm2  14174  isrhm  14178  isrhmd  14186  rhmfn  14192  rhmval  14193  subrgsubg  14247  lmodfgrp  14316  lmod0vs  14341  lmodvsneg  14351  lmodsubvs  14363  lmodsubdi  14364  lmodsubdir  14365  rmodislmodlem  14370  rmodislmod  14371  issubrgd  14472  lidlsubg  14506  cnfld0  14591  cnfldneg  14593  cnfldsub  14595  cnsubglem  14599  zringgrp  14615  mulgrhm  14629  zrhmulg  14640