Theorem ringgrp 14413

Description: A ring is a group. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ringgrp	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)

Proof of Theorem ringgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2238	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2238	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2238	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isring 14412	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))))
6	5	simp1bi 1043	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Basecbs 13411  +_gcplusg 13491  ._rcmulr 13492  Mndcmnd 13789  Grpcgrp 13865  mulGrpcmgp 14325  Ringcrg 14408

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1re 8280  ax-addrcl 8283

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-ring 14410

This theorem is used by:  ringgrpd  14417  ringmnd  14418  ring0cl  14434  ringacl  14443  ringcom  14444  ringabl  14445  ringlz  14456  ringrz  14457  ringnegl  14464  ringnegr  14465  ringmneg1  14466  ringmneg2  14467  ringm2neg  14468  ringsubdi  14469  ringsubdir  14470  mulgass2  14471  ringlghm  14474  ringrghm  14475  ringressid  14478  imasring  14479  opprring  14494  dvdsrneg  14520  unitnegcl  14547  dvrdir  14560  dfrhm2  14571  isrhm  14575  isrhmd  14583  rhmfn  14589  rhmval  14590  subrgsubg  14645  lmodfgrp  14742  lmod0vs  14768  lmodvsneg  14778  lmodsubvs  14790  lmodsubdi  14791  lmodsubdir  14792  rmodislmodlem  14797  rmodislmod  14798  issubrgd  14899  lidlsubg  14933  cnfld0  15018  cnfldneg  15020  cnfldsub  15022  cnsubglem  15026  zringgrp  15040  mulgrhm  15054  zrhmulg  15065