Theorem ringgrp 14288

Description: A ring is a group. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ringgrp	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)

Proof of Theorem ringgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2238	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2238	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2238	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isring 14287	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))))
6	5	simp1bi 1043	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Basecbs 13335  +_gcplusg 13414  ._rcmulr 13415  Mndcmnd 13712  Grpcgrp 13788  mulGrpcmgp 14200  Ringcrg 14283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-fv 5383  df-ov 6082  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-ring 14285

This theorem is referenced by:  ringgrpd  14292  ringmnd  14293  ring0cl  14309  ringacl  14318  ringcom  14319  ringabl  14320  ringlz  14331  ringrz  14332  ringnegl  14339  ringnegr  14340  ringmneg1  14341  ringmneg2  14342  ringm2neg  14343  ringsubdi  14344  ringsubdir  14345  mulgass2  14346  ringlghm  14349  ringrghm  14350  ringressid  14351  imasring  14352  opprring  14367  dvdsrneg  14393  unitnegcl  14420  dvrdir  14433  dfrhm2  14444  isrhm  14448  isrhmd  14456  rhmfn  14462  rhmval  14463  subrgsubg  14518  lmodfgrp  14615  lmod0vs  14641  lmodvsneg  14651  lmodsubvs  14663  lmodsubdi  14664  lmodsubdir  14665  rmodislmodlem  14670  rmodislmod  14671  issubrgd  14772  lidlsubg  14806  cnfld0  14891  cnfldneg  14893  cnfldsub  14895  cnsubglem  14899  zringgrp  14913  mulgrhm  14927  zrhmulg  14938