Theorem ringgrp 13633

Description: A ring is a group. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ringgrp	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)

Proof of Theorem ringgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2196	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2196	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2196	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isring 13632	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))))
6	5	simp1bi 1014	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Basecbs 12703  +_gcplusg 12780  ._rcmulr 12781  Mndcmnd 13118  Grpcgrp 13202  mulGrpcmgp 13552  Ringcrg 13628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-ring 13630

This theorem is referenced by:  ringgrpd  13637  ringmnd  13638  ring0cl  13653  ringacl  13662  ringcom  13663  ringabl  13664  ringlz  13675  ringrz  13676  ringnegl  13683  ringnegr  13684  ringmneg1  13685  ringmneg2  13686  ringm2neg  13687  ringsubdi  13688  ringsubdir  13689  mulgass2  13690  ringlghm  13693  ringrghm  13694  ringressid  13695  imasring  13696  opprring  13711  dvdsrneg  13735  unitnegcl  13762  dvrdir  13775  dfrhm2  13786  isrhm  13790  isrhmd  13798  rhmfn  13804  rhmval  13805  subrgsubg  13859  lmodfgrp  13928  lmod0vs  13953  lmodvsneg  13963  lmodsubvs  13975  lmodsubdi  13976  lmodsubdir  13977  rmodislmodlem  13982  rmodislmod  13983  issubrgd  14084  lidlsubg  14118  cnfld0  14203  cnfldneg  14205  cnfldsub  14207  cnsubglem  14211  zringgrp  14227  mulgrhm  14241  zrhmulg  14252