Theorem ringgrp 14229

Description: A ring is a group. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ringgrp	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)

Proof of Theorem ringgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2234	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2234	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2234	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isring 14228	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))))
6	5	simp1bi 1039	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Basecbs 13296  +_gcplusg 13374  ._rcmulr 13375  Mndcmnd 13713  Grpcgrp 13797  mulGrpcmgp 14148  Ringcrg 14224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-ov 6061  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-ring 14226

This theorem is referenced by:  ringgrpd  14233  ringmnd  14234  ring0cl  14249  ringacl  14258  ringcom  14259  ringabl  14260  ringlz  14271  ringrz  14272  ringnegl  14279  ringnegr  14280  ringmneg1  14281  ringmneg2  14282  ringm2neg  14283  ringsubdi  14284  ringsubdir  14285  mulgass2  14286  ringlghm  14289  ringrghm  14290  ringressid  14291  imasring  14292  opprring  14307  dvdsrneg  14333  unitnegcl  14360  dvrdir  14373  dfrhm2  14384  isrhm  14388  isrhmd  14396  rhmfn  14402  rhmval  14403  subrgsubg  14458  lmodfgrp  14556  lmod0vs  14581  lmodvsneg  14591  lmodsubvs  14603  lmodsubdi  14604  lmodsubdir  14605  rmodislmodlem  14610  rmodislmod  14611  issubrgd  14712  lidlsubg  14746  cnfld0  14831  cnfldneg  14833  cnfldsub  14835  cnsubglem  14839  zringgrp  14855  mulgrhm  14869  zrhmulg  14880