Theorem ringgrp 14076

Description: A ring is a group. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ringgrp	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)

Proof of Theorem ringgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2231	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2231	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2231	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isring 14075	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))))
6	5	simp1bi 1039	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  Basecbs 13143  +_gcplusg 13221  ._rcmulr 13222  Mndcmnd 13560  Grpcgrp 13644  mulGrpcmgp 13995  Ringcrg 14071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-ov 6031  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-plusg 13234  df-mulr 13235  df-ring 14073

This theorem is referenced by:  ringgrpd  14080  ringmnd  14081  ring0cl  14096  ringacl  14105  ringcom  14106  ringabl  14107  ringlz  14118  ringrz  14119  ringnegl  14126  ringnegr  14127  ringmneg1  14128  ringmneg2  14129  ringm2neg  14130  ringsubdi  14131  ringsubdir  14132  mulgass2  14133  ringlghm  14136  ringrghm  14137  ringressid  14138  imasring  14139  opprring  14154  dvdsrneg  14179  unitnegcl  14206  dvrdir  14219  dfrhm2  14230  isrhm  14234  isrhmd  14242  rhmfn  14248  rhmval  14249  subrgsubg  14303  lmodfgrp  14372  lmod0vs  14397  lmodvsneg  14407  lmodsubvs  14419  lmodsubdi  14420  lmodsubdir  14421  rmodislmodlem  14426  rmodislmod  14427  issubrgd  14528  lidlsubg  14562  cnfld0  14647  cnfldneg  14649  cnfldsub  14651  cnsubglem  14655  zringgrp  14671  mulgrhm  14685  zrhmulg  14696