Theorem ringgrp 13500

Description: A ring is a group. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ringgrp	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)

Proof of Theorem ringgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2193	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2193	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2193	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isring 13499	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))))
6	5	simp1bi 1014	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  Basecbs 12621  +_gcplusg 12698  ._rcmulr 12699  Mndcmnd 13000  Grpcgrp 13075  mulGrpcmgp 13419  Ringcrg 13495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-ov 5922  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-ring 13497

This theorem is referenced by:  ringgrpd  13504  ringmnd  13505  ring0cl  13520  ringacl  13529  ringcom  13530  ringabl  13531  ringlz  13542  ringrz  13543  ringnegl  13550  ringnegr  13551  ringmneg1  13552  ringmneg2  13553  ringm2neg  13554  ringsubdi  13555  ringsubdir  13556  mulgass2  13557  ringlghm  13560  ringrghm  13561  ringressid  13562  imasring  13563  opprring  13578  dvdsrneg  13602  unitnegcl  13629  dvrdir  13642  dfrhm2  13653  isrhm  13657  isrhmd  13665  rhmfn  13671  rhmval  13672  subrgsubg  13726  lmodfgrp  13795  lmod0vs  13820  lmodvsneg  13830  lmodsubvs  13842  lmodsubdi  13843  lmodsubdir  13844  rmodislmodlem  13849  rmodislmod  13850  issubrgd  13951  lidlsubg  13985  cnfld0  14070  cnfldneg  14072  cnfldsub  14074  cnsubglem  14078  zringgrp  14094  mulgrhm  14108  zrhmulg  14119