Theorem ringgrp 13985

Description: A ring is a group. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ringgrp	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)

Proof of Theorem ringgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2229	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2229	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2229	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isring 13984	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))))
6	5	simp1bi 1036	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  Basecbs 13053  +_gcplusg 13131  ._rcmulr 13132  Mndcmnd 13470  Grpcgrp 13554  mulGrpcmgp 13904  Ringcrg 13980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1re 8109  ax-addrcl 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-fv 5329  df-ov 6013  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-ring 13982

This theorem is referenced by:  ringgrpd  13989  ringmnd  13990  ring0cl  14005  ringacl  14014  ringcom  14015  ringabl  14016  ringlz  14027  ringrz  14028  ringnegl  14035  ringnegr  14036  ringmneg1  14037  ringmneg2  14038  ringm2neg  14039  ringsubdi  14040  ringsubdir  14041  mulgass2  14042  ringlghm  14045  ringrghm  14046  ringressid  14047  imasring  14048  opprring  14063  dvdsrneg  14088  unitnegcl  14115  dvrdir  14128  dfrhm2  14139  isrhm  14143  isrhmd  14151  rhmfn  14157  rhmval  14158  subrgsubg  14212  lmodfgrp  14281  lmod0vs  14306  lmodvsneg  14316  lmodsubvs  14328  lmodsubdi  14329  lmodsubdir  14330  rmodislmodlem  14335  rmodislmod  14336  issubrgd  14437  lidlsubg  14471  cnfld0  14556  cnfldneg  14558  cnfldsub  14560  cnsubglem  14564  zringgrp  14580  mulgrhm  14594  zrhmulg  14605