Theorem ringgrp 13807

Description: A ring is a group. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ringgrp	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)

Proof of Theorem ringgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2206	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2206	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2206	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isring 13806	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))))
6	5	simp1bi 1015	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  Basecbs 12876  +_gcplusg 12953  ._rcmulr 12954  Mndcmnd 13292  Grpcgrp 13376  mulGrpcmgp 13726  Ringcrg 13802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1re 8026  ax-addrcl 8029

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-fv 5284  df-ov 5954  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-ring 13804

This theorem is referenced by:  ringgrpd  13811  ringmnd  13812  ring0cl  13827  ringacl  13836  ringcom  13837  ringabl  13838  ringlz  13849  ringrz  13850  ringnegl  13857  ringnegr  13858  ringmneg1  13859  ringmneg2  13860  ringm2neg  13861  ringsubdi  13862  ringsubdir  13863  mulgass2  13864  ringlghm  13867  ringrghm  13868  ringressid  13869  imasring  13870  opprring  13885  dvdsrneg  13909  unitnegcl  13936  dvrdir  13949  dfrhm2  13960  isrhm  13964  isrhmd  13972  rhmfn  13978  rhmval  13979  subrgsubg  14033  lmodfgrp  14102  lmod0vs  14127  lmodvsneg  14137  lmodsubvs  14149  lmodsubdi  14150  lmodsubdir  14151  rmodislmodlem  14156  rmodislmod  14157  issubrgd  14258  lidlsubg  14292  cnfld0  14377  cnfldneg  14379  cnfldsub  14381  cnsubglem  14385  zringgrp  14401  mulgrhm  14415  zrhmulg  14426