Theorem ringgrp 13813

Description: A ring is a group. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ringgrp	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)

Proof of Theorem ringgrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2206	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2206	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2206	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isring 13812	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))))
6	5	simp1bi 1015	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  ‘cfv 5277  (class class class)co 5954  Basecbs 12882  +_gcplusg 12959  ._rcmulr 12960  Mndcmnd 13298  Grpcgrp 13382  mulGrpcmgp 13732  Ringcrg 13808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1re 8032  ax-addrcl 8035

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-fv 5285  df-ov 5957  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-ndx 12885  df-slot 12886  df-base 12888  df-plusg 12972  df-mulr 12973  df-ring 13810

This theorem is referenced by:  ringgrpd  13817  ringmnd  13818  ring0cl  13833  ringacl  13842  ringcom  13843  ringabl  13844  ringlz  13855  ringrz  13856  ringnegl  13863  ringnegr  13864  ringmneg1  13865  ringmneg2  13866  ringm2neg  13867  ringsubdi  13868  ringsubdir  13869  mulgass2  13870  ringlghm  13873  ringrghm  13874  ringressid  13875  imasring  13876  opprring  13891  dvdsrneg  13915  unitnegcl  13942  dvrdir  13955  dfrhm2  13966  isrhm  13970  isrhmd  13978  rhmfn  13984  rhmval  13985  subrgsubg  14039  lmodfgrp  14108  lmod0vs  14133  lmodvsneg  14143  lmodsubvs  14155  lmodsubdi  14156  lmodsubdir  14157  rmodislmodlem  14162  rmodislmod  14163  issubrgd  14264  lidlsubg  14298  cnfld0  14383  cnfldneg  14385  cnfldsub  14387  cnsubglem  14391  zringgrp  14407  mulgrhm  14421  zrhmulg  14432