Theorem lmodvneg1 14010

Description: Minus 1 times a vector is the negative of the vector. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvneg1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvneg1.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
lmodvneg1.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvneg1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvneg1.u	⊢ 1 = (1r‘𝐹)
lmodvneg1.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvneg1	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem lmodvneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodvneg1.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodfgrp 13976	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
4		eqid 2204	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
5		lmodvneg1.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
6	2, 4, 5	lmod1cl 13995	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 1 ∈ (Base‘𝐹))
8		lmodvneg1.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝐹)
9	4, 8	grpinvcl 13298	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑀‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐹))
10	3, 7, 9	syl2an2r 595	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐹))
11		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		lmodvneg1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		lmodvneg1.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14	12, 2, 13, 4	lmodvscl 13985	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑀‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉)
15	1, 10, 11, 14	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉)
16		eqid 2204	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
17		eqid 2204	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
18	12, 16, 17	lmod0vrid 13999	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋))
19	15, 18	syldan 282	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋))
20		lmodvneg1.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
21	12, 20	lmodvnegcl 14008	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑉)
22	12, 16	lmodass 13983	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑉)) → ((((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))))
23	1, 15, 11, 21, 22	syl13anc 1251	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))))
24	12, 2, 13, 5	lmodvs1 13996	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
25	24	oveq2d 5950	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋)) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋))
26		eqid 2204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
27		eqid 2204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
28	4, 26, 27, 8	grplinv 13300	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑀‘ 1 )(+g‘𝐹) 1 ) = (0g‘𝐹))
29	3, 7, 28	syl2an2r 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑀‘ 1 )(+g‘𝐹) 1 ) = (0g‘𝐹))
30	29	oveq1d 5949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 )(+g‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = ((0g‘𝐹) · 𝑋))
31	12, 16, 2, 13, 4, 26	lmodvsdir 13992	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑀‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((𝑀‘ 1 )(+g‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋)))
32	1, 10, 7, 11, 31	syl13anc 1251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 )(+g‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋)))
33	12, 2, 13, 27, 17	lmod0vs 14001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝐹) · 𝑋) = (0g‘𝑊))
34	30, 32, 33	3eqtr3d 2245	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋)) = (0g‘𝑊))
35	25, 34	eqtr3d 2239	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋) = (0g‘𝑊))
36	35	oveq1d 5949	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = ((0g‘𝑊)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)))
37	23, 36	eqtr3d 2239	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))) = ((0g‘𝑊)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)))
38	12, 16, 17, 20	lmodvnegid 14009	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝑊))
39	38	oveq2d 5950	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)))
40	12, 16, 17	lmod0vlid 13998	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑊)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
41	21, 40	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑊)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
42	37, 39, 41	3eqtr3d 2245	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (𝑁‘𝑋))
43	19, 42	eqtr3d 2239	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  Basecbs 12751  +_gcplusg 12828  Scalarcsca 12831   ·_𝑠 cvsca 12832  0_gc0g 13006  Grpcgrp 13250  inv_gcminusg 13251  1_rcur 13639  LModclmod 13967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-ltxr 8094  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-5 9080  df-6 9081  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-base 12757  df-sets 12758  df-plusg 12841  df-mulr 12842  df-sca 12844  df-vsca 12845  df-0g 13008  df-mgm 13106  df-sgrp 13152  df-mnd 13167  df-grp 13253  df-minusg 13254  df-mgp 13601  df-ur 13640  df-ring 13678  df-lmod 13969

This theorem is referenced by:  lmodvsneg  14011  lmodvsubval2  14022  lssvnegcl  14056  lspsnneg  14100