Theorem lmodvneg1 14288

Description: Minus 1 times a vector is the negative of the vector. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvneg1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvneg1.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
lmodvneg1.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvneg1.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvneg1.u	⊢ 1 = (1r‘𝐹)
lmodvneg1.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvneg1	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem lmodvneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodvneg1.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodfgrp 14254	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
4		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
5		lmodvneg1.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝐹)
6	2, 4, 5	lmod1cl 14273	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 1 ∈ (Base‘𝐹))
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 1 ∈ (Base‘𝐹))
8		lmodvneg1.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝐹)
9	4, 8	grpinvcl 13576	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑀‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐹))
10	3, 7, 9	syl2an2r 597	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐹))
11		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		lmodvneg1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		lmodvneg1.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14	12, 2, 13, 4	lmodvscl 14263	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑀‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉)
15	1, 10, 11, 14	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉)
16		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
17		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
18	12, 16, 17	lmod0vrid 14277	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋))
19	15, 18	syldan 282	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋))
20		lmodvneg1.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
21	12, 20	lmodvnegcl 14286	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑉)
22	12, 16	lmodass 14261	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑉)) → ((((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))))
23	1, 15, 11, 21, 22	syl13anc 1273	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))))
24	12, 2, 13, 5	lmodvs1 14274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
25	24	oveq2d 6016	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋)) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋))
26		eqid 2229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
27		eqid 2229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
28	4, 26, 27, 8	grplinv 13578	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑀‘ 1 )(+g‘𝐹) 1 ) = (0g‘𝐹))
29	3, 7, 28	syl2an2r 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑀‘ 1 )(+g‘𝐹) 1 ) = (0g‘𝐹))
30	29	oveq1d 6015	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 )(+g‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = ((0g‘𝐹) · 𝑋))
31	12, 16, 2, 13, 4, 26	lmodvsdir 14270	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑀‘ 1 ) ∈ (Base‘𝐹) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((𝑀‘ 1 )(+g‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋)))
32	1, 10, 7, 11, 31	syl13anc 1273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 )(+g‘𝐹) 1 ) · 𝑋) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋)))
33	12, 2, 13, 27, 17	lmod0vs 14279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝐹) · 𝑋) = (0g‘𝑊))
34	30, 32, 33	3eqtr3d 2270	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)( 1 · 𝑋)) = (0g‘𝑊))
35	25, 34	eqtr3d 2264	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋) = (0g‘𝑊))
36	35	oveq1d 6015	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)𝑋)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = ((0g‘𝑊)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)))
37	23, 36	eqtr3d 2264	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))) = ((0g‘𝑊)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)))
38	12, 16, 17, 20	lmodvnegid 14287	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝑊))
39	38	oveq2d 6016	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))) = (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)))
40	12, 16, 17	lmod0vlid 14276	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑊)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
41	21, 40	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝑊)(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘𝑋))
42	37, 39, 41	3eqtr3d 2270	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑀‘ 1 ) · 𝑋)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (𝑁‘𝑋))
43	19, 42	eqtr3d 2264	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑀‘ 1 ) · 𝑋) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  Basecbs 13027  +_gcplusg 13105  Scalarcsca 13108   ·_𝑠 cvsca 13109  0_gc0g 13284  Grpcgrp 13528  inv_gcminusg 13529  1_rcur 13917  LModclmod 14245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-sets 13034  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-sca 13121  df-vsca 13122  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-minusg 13532  df-mgp 13879  df-ur 13918  df-ring 13956  df-lmod 14247

This theorem is referenced by:  lmodvsneg  14289  lmodvsubval2  14300  lssvnegcl  14334  lspsnneg  14378