ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lssvsubcl GIF version
Theorem lssvsubcl 13459
Description: Closure of vector subtraction in a subspace. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvsubcl.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
lssvsubcl.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lssvsubcl (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
Proof of Theorem lssvsubcl
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 simplr 528 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
3 simprl 529 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
4 eqid 2177 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
5 lssvsubcl.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
64, 5lsselg 13454 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
71, 2, 3, 6syl3anc 1238 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
8 simprr 531 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
94, 5lsselg 13454 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
101, 2, 8, 9syl3anc 1238 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
11 eqid 2177 . . . 4 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
12 lssvsubcl.m . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
13 eqid 2177 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
14 eqid 2177 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
15 eqid 2177 . . . 4 (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
16 eqid 2177 . . . 4 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
174, 11, 12, 13, 14, 15, 16lmodvsubval2 13438 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
181, 7, 10, 17syl3anc 1238 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
1913lmodfgrp 13392 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp)
201, 19syl 14 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp)
21 eqid 2177 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
2213, 21, 16lmod1cl 13411 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
231, 22syl 14 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2421, 15grpinvcl 12927 . . . . . 6 (((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2520, 23, 24syl2anc 411 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
264, 13, 14, 21lmodvscl 13401 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
271, 25, 10, 26syl3anc 1238 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
284, 11lmodcom 13429 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) = ((((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋))
291, 7, 27, 28syl3anc 1238 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) = ((((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋))
3013, 21, 11, 14, 5lssclg 13457 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋) ∈ π‘ˆ)
311, 2, 25, 8, 3, 30syl113anc 1250 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ ((((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋) ∈ π‘ˆ)
3229, 31eqeltrd 2254 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ π‘ˆ)
3318, 32eqeltrd 2254 1 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5878  Basecbs 12465  +gcplusg 12539  Scalarcsca 12542   ·𝑠 cvsca 12543  Grpcgrp 12883  invgcminusg 12884  -gcsg 12885  1rcur 13148  LModclmod 13383  LSubSpclss 13448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltadd 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-ltxr 8000  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-base 12471  df-sets 12472  df-plusg 12552  df-mulr 12553  df-sca 12555  df-vsca 12556  df-0g 12713  df-mgm 12781  df-sgrp 12814  df-mnd 12824  df-grp 12886  df-minusg 12887  df-sbg 12888  df-mgp 13137  df-ur 13149  df-ring 13187  df-lmod 13385  df-lssm 13449
This theorem is referenced by:  lssvancl1  13460  lss0cl  13462
  Copyright terms: Public domain W3C validator