Type | Label | Description |
Statement |
|
Theorem | subap0d 8601 |
Two numbers apart from each other have difference apart from zero.
(Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.) (Proof shortened by BJ,
15-Aug-2024.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ด # ๐ต) โ โข (๐ โ (๐ด โ ๐ต) # 0) |
|
Theorem | cnstab 8602 |
Equality of complex numbers is stable. Stability here means
ยฌ ยฌ ๐ด = ๐ต โ ๐ด = ๐ต as defined at df-stab 831. This theorem for real
numbers is Proposition 5.2 of [BauerHanson], p. 27. (Contributed by Jim
Kingdon, 1-Aug-2023.) (Proof shortened by BJ, 15-Aug-2024.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ STAB
๐ด = ๐ต) |
|
Theorem | aprcl 8603 |
Reverse closure for apartness. (Contributed by Jim Kingdon,
19-Dec-2023.)
|
โข (๐ด # ๐ต โ (๐ด โ โ โง ๐ต โ โ)) |
|
Theorem | apsscn 8604* |
The points apart from a given point are complex numbers. (Contributed
by Jim Kingdon, 19-Dec-2023.)
|
โข {๐ฅ โ ๐ด โฃ ๐ฅ # ๐ต} โ โ |
|
Theorem | lt0ap0 8605 |
A number which is less than zero is apart from zero. (Contributed by Jim
Kingdon, 25-Feb-2024.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ด < 0) โ ๐ด # 0) |
|
Theorem | lt0ap0d 8606 |
A real number less than zero is apart from zero. Deduction form.
(Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2024.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ด < 0) โ โข (๐ โ ๐ด # 0) |
|
Theorem | aptap 8607 |
Complex apartness (as defined at df-ap 8539) is a tight apartness (as
defined at df-tap 7249). (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2025.)
|
โข # TAp โ |
|
4.3.7 Reciprocals
|
|
Theorem | recextlem1 8608 |
Lemma for recexap 8610. (Contributed by Eric Schmidt, 23-May-2007.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ด โ (i ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต))) |
|
Theorem | recexaplem2 8609 |
Lemma for recexap 8610. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด + (i ยท ๐ต)) # 0) โ ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)) # 0) |
|
Theorem | recexap 8610* |
Existence of reciprocal of nonzero complex number. (Contributed by Jim
Kingdon, 20-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โ โ๐ฅ โ โ (๐ด ยท ๐ฅ) = 1) |
|
Theorem | mulap0 8611 |
The product of two numbers apart from zero is apart from zero. Lemma
2.15 of [Geuvers], p. 6. (Contributed
by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0)) โ (๐ด ยท ๐ต) # 0) |
|
Theorem | mulap0b 8612 |
The product of two numbers apart from zero is apart from zero.
(Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด # 0 โง ๐ต # 0) โ (๐ด ยท ๐ต) # 0)) |
|
Theorem | mulap0i 8613 |
The product of two numbers apart from zero is apart from zero.
(Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ด # 0 & โข ๐ต # 0
โ โข (๐ด ยท ๐ต) # 0 |
|
Theorem | mulap0bd 8614 |
The product of two numbers apart from zero is apart from zero. Exercise
11.11 of [HoTT], p. (varies).
(Contributed by Jim Kingdon,
24-Feb-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ)
โ โข (๐ โ ((๐ด # 0 โง ๐ต # 0) โ (๐ด ยท ๐ต) # 0)) |
|
Theorem | mulap0d 8615 |
The product of two numbers apart from zero is apart from zero.
(Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ด # 0) & โข (๐ โ ๐ต # 0) โ โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ต) # 0) |
|
Theorem | mulap0bad 8616 |
A factor of a complex number apart from zero is apart from zero.
Partial converse of mulap0d 8615 and consequence of mulap0bd 8614.
(Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ต) # 0) โ โข (๐ โ ๐ด # 0) |
|
Theorem | mulap0bbd 8617 |
A factor of a complex number apart from zero is apart from zero.
Partial converse of mulap0d 8615 and consequence of mulap0bd 8614.
(Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ต) # 0) โ โข (๐ โ ๐ต # 0) |
|
Theorem | mulcanapd 8618 |
Cancellation law for multiplication. (Contributed by Jim Kingdon,
21-Feb-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ # 0) โ โข (๐ โ ((๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต) โ ๐ด = ๐ต)) |
|
Theorem | mulcanap2d 8619 |
Cancellation law for multiplication. (Contributed by Jim Kingdon,
21-Feb-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ # 0) โ โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ) โ ๐ด = ๐ต)) |
|
Theorem | mulcanapad 8620 |
Cancellation of a nonzero factor on the left in an equation. One-way
deduction form of mulcanapd 8618. (Contributed by Jim Kingdon,
21-Feb-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ # 0) & โข (๐ โ (๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต)) โ โข (๐ โ ๐ด = ๐ต) |
|
Theorem | mulcanap2ad 8621 |
Cancellation of a nonzero factor on the right in an equation. One-way
deduction form of mulcanap2d 8619. (Contributed by Jim Kingdon,
21-Feb-2020.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ # 0) & โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ)) โ โข (๐ โ ๐ด = ๐ต) |
|
Theorem | mulcanap 8622 |
Cancellation law for multiplication (full theorem form). (Contributed by
Jim Kingdon, 21-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ # 0)) โ ((๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต) โ ๐ด = ๐ต)) |
|
Theorem | mulcanap2 8623 |
Cancellation law for multiplication. (Contributed by Jim Kingdon,
21-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ # 0)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ) โ ๐ด = ๐ต)) |
|
Theorem | mulcanapi 8624 |
Cancellation law for multiplication. (Contributed by Jim Kingdon,
21-Feb-2020.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ถ โ โ & โข ๐ถ # 0
โ โข ((๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต) โ ๐ด = ๐ต) |
|
Theorem | muleqadd 8625 |
Property of numbers whose product equals their sum. Equation 5 of
[Kreyszig] p. 12. (Contributed by NM,
13-Nov-2006.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ต) = (๐ด + ๐ต) โ ((๐ด โ 1) ยท (๐ต โ 1)) = 1)) |
|
Theorem | receuap 8626* |
Existential uniqueness of reciprocals. (Contributed by Jim Kingdon,
21-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต # 0) โ โ!๐ฅ โ โ (๐ต ยท ๐ฅ) = ๐ด) |
|
Theorem | mul0eqap 8627 |
If two numbers are apart from each other and their product is zero, one
of them must be zero. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2023.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ด # ๐ต)
& โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ต) = 0) โ โข (๐ โ (๐ด = 0 โจ ๐ต = 0)) |
|
Theorem | recapb 8628* |
A complex number has a multiplicative inverse if and only if it is apart
from zero. Theorem 11.2.4 of [HoTT], p.
(varies), generalized from
real to complex numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jan-2025.)
|
โข (๐ด โ โ โ (๐ด # 0 โ โ๐ฅ โ โ (๐ด ยท ๐ฅ) = 1)) |
|
4.3.8 Division
|
|
Syntax | cdiv 8629 |
Extend class notation to include division.
|
class / |
|
Definition | df-div 8630* |
Define division. Theorem divmulap 8632 relates it to multiplication, and
divclap 8635 and redivclap 8688 prove its closure laws. (Contributed by NM,
2-Feb-1995.) Use divvalap 8631 instead. (Revised by Mario Carneiro,
1-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
|
โข / = (๐ฅ โ โ, ๐ฆ โ (โ โ {0}) โฆ
(โฉ๐ง โ
โ (๐ฆ ยท ๐ง) = ๐ฅ)) |
|
Theorem | divvalap 8631* |
Value of division: the (unique) element ๐ฅ such that
(๐ต
ยท ๐ฅ) = ๐ด. This is meaningful
only when ๐ต is apart from
zero. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต # 0) โ (๐ด / ๐ต) = (โฉ๐ฅ โ โ (๐ต ยท ๐ฅ) = ๐ด)) |
|
Theorem | divmulap 8632 |
Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim
Kingdon, 22-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ # 0)) โ ((๐ด / ๐ถ) = ๐ต โ (๐ถ ยท ๐ต) = ๐ด)) |
|
Theorem | divmulap2 8633 |
Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim
Kingdon, 22-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ # 0)) โ ((๐ด / ๐ถ) = ๐ต โ ๐ด = (๐ถ ยท ๐ต))) |
|
Theorem | divmulap3 8634 |
Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim
Kingdon, 22-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ # 0)) โ ((๐ด / ๐ถ) = ๐ต โ ๐ด = (๐ต ยท ๐ถ))) |
|
Theorem | divclap 8635 |
Closure law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต # 0) โ (๐ด / ๐ต) โ โ) |
|
Theorem | recclap 8636 |
Closure law for reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โ (1 / ๐ด) โ โ) |
|
Theorem | divcanap2 8637 |
A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon,
22-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต # 0) โ (๐ต ยท (๐ด / ๐ต)) = ๐ด) |
|
Theorem | divcanap1 8638 |
A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon,
22-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต # 0) โ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐ด) |
|
Theorem | diveqap0 8639 |
A ratio is zero iff the numerator is zero. (Contributed by Jim Kingdon,
22-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต # 0) โ ((๐ด / ๐ต) = 0 โ ๐ด = 0)) |
|
Theorem | divap0b 8640 |
The ratio of numbers apart from zero is apart from zero. (Contributed by
Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต # 0) โ (๐ด # 0 โ (๐ด / ๐ต) # 0)) |
|
Theorem | divap0 8641 |
The ratio of numbers apart from zero is apart from zero. (Contributed by
Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0)) โ (๐ด / ๐ต) # 0) |
|
Theorem | recap0 8642 |
The reciprocal of a number apart from zero is apart from zero.
(Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โ (1 / ๐ด) # 0) |
|
Theorem | recidap 8643 |
Multiplication of a number and its reciprocal. (Contributed by Jim
Kingdon, 24-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โ (๐ด ยท (1 / ๐ด)) = 1) |
|
Theorem | recidap2 8644 |
Multiplication of a number and its reciprocal. (Contributed by Jim
Kingdon, 24-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โ ((1 / ๐ด) ยท ๐ด) = 1) |
|
Theorem | divrecap 8645 |
Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Jim
Kingdon, 24-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต # 0) โ (๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต))) |
|
Theorem | divrecap2 8646 |
Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Jim
Kingdon, 25-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต # 0) โ (๐ด / ๐ต) = ((1 / ๐ต) ยท ๐ด)) |
|
Theorem | divassap 8647 |
An associative law for division. (Contributed by Jim Kingdon,
25-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ # 0)) โ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ถ) = (๐ด ยท (๐ต / ๐ถ))) |
|
Theorem | div23ap 8648 |
A commutative/associative law for division. (Contributed by Jim Kingdon,
25-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ # 0)) โ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) ยท ๐ต)) |
|
Theorem | div32ap 8649 |
A commutative/associative law for division. (Contributed by Jim Kingdon,
25-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0) โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ถ) = (๐ด ยท (๐ถ / ๐ต))) |
|
Theorem | div13ap 8650 |
A commutative/associative law for division. (Contributed by Jim Kingdon,
25-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0) โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ด)) |
|
Theorem | div12ap 8651 |
A commutative/associative law for division. (Contributed by Jim Kingdon,
25-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ # 0)) โ (๐ด ยท (๐ต / ๐ถ)) = (๐ต ยท (๐ด / ๐ถ))) |
|
Theorem | divmulassap 8652 |
An associative law for division and multiplication. (Contributed by Jim
Kingdon, 24-Jan-2022.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โง (๐ท โ โ โง ๐ท # 0)) โ ((๐ด ยท (๐ต / ๐ท)) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ท))) |
|
Theorem | divmulasscomap 8653 |
An associative/commutative law for division and multiplication.
(Contributed by Jim Kingdon, 24-Jan-2022.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โง (๐ท โ โ โง ๐ท # 0)) โ ((๐ด ยท (๐ต / ๐ท)) ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐ถ) / ๐ท))) |
|
Theorem | divdirap 8654 |
Distribution of division over addition. (Contributed by Jim Kingdon,
25-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ # 0)) โ ((๐ด + ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) + (๐ต / ๐ถ))) |
|
Theorem | divcanap3 8655 |
A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon,
25-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต # 0) โ ((๐ต ยท ๐ด) / ๐ต) = ๐ด) |
|
Theorem | divcanap4 8656 |
A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon,
25-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต # 0) โ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = ๐ด) |
|
Theorem | div11ap 8657 |
One-to-one relationship for division. (Contributed by Jim Kingdon,
25-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ # 0)) โ ((๐ด / ๐ถ) = (๐ต / ๐ถ) โ ๐ด = ๐ต)) |
|
Theorem | dividap 8658 |
A number divided by itself is one. (Contributed by Jim Kingdon,
25-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โ (๐ด / ๐ด) = 1) |
|
Theorem | div0ap 8659 |
Division into zero is zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โ (0 / ๐ด) = 0) |
|
Theorem | div1 8660 |
A number divided by 1 is itself. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.) (Proof
shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
|
โข (๐ด โ โ โ (๐ด / 1) = ๐ด) |
|
Theorem | 1div1e1 8661 |
1 divided by 1 is 1 (common case). (Contributed by David A. Wheeler,
7-Dec-2018.)
|
โข (1 / 1) = 1 |
|
Theorem | diveqap1 8662 |
Equality in terms of unit ratio. (Contributed by Jim Kingdon,
25-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต # 0) โ ((๐ด / ๐ต) = 1 โ ๐ด = ๐ต)) |
|
Theorem | divnegap 8663 |
Move negative sign inside of a division. (Contributed by Jim Kingdon,
25-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต # 0) โ -(๐ด / ๐ต) = (-๐ด / ๐ต)) |
|
Theorem | muldivdirap 8664 |
Distribution of division over addition with a multiplication.
(Contributed by Jim Kingdon, 11-Nov-2021.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ # 0)) โ (((๐ถ ยท ๐ด) + ๐ต) / ๐ถ) = (๐ด + (๐ต / ๐ถ))) |
|
Theorem | divsubdirap 8665 |
Distribution of division over subtraction. (Contributed by NM,
4-Mar-2005.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ # 0)) โ ((๐ด โ ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) โ (๐ต / ๐ถ))) |
|
Theorem | recrecap 8666 |
A number is equal to the reciprocal of its reciprocal. (Contributed by
Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โ (1 / (1 / ๐ด)) = ๐ด) |
|
Theorem | rec11ap 8667 |
Reciprocal is one-to-one. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0)) โ ((1 / ๐ด) = (1 / ๐ต) โ ๐ด = ๐ต)) |
|
Theorem | rec11rap 8668 |
Mutual reciprocals. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0)) โ ((1 / ๐ด) = ๐ต โ (1 / ๐ต) = ๐ด)) |
|
Theorem | divmuldivap 8669 |
Multiplication of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon,
25-Feb-2020.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง ((๐ถ โ โ โง ๐ถ # 0) โง (๐ท โ โ โง ๐ท # 0))) โ ((๐ด / ๐ถ) ยท (๐ต / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ต) / (๐ถ ยท ๐ท))) |
|
Theorem | divdivdivap 8670 |
Division of two ratios. Theorem I.15 of [Apostol] p. 18. (Contributed by
Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
|
โข (((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0)) โง ((๐ถ โ โ โง ๐ถ # 0) โง (๐ท โ โ โง ๐ท # 0))) โ ((๐ด / ๐ต) / (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ))) |
|
Theorem | divcanap5 8671 |
Cancellation of common factor in a ratio. (Contributed by Jim Kingdon,
25-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0) โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ # 0)) โ ((๐ถ ยท ๐ด) / (๐ถ ยท ๐ต)) = (๐ด / ๐ต)) |
|
Theorem | divmul13ap 8672 |
Swap the denominators in the product of two ratios. (Contributed by Jim
Kingdon, 26-Feb-2020.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง ((๐ถ โ โ โง ๐ถ # 0) โง (๐ท โ โ โง ๐ท # 0))) โ ((๐ด / ๐ถ) ยท (๐ต / ๐ท)) = ((๐ต / ๐ถ) ยท (๐ด / ๐ท))) |
|
Theorem | divmul24ap 8673 |
Swap the numerators in the product of two ratios. (Contributed by Jim
Kingdon, 26-Feb-2020.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง ((๐ถ โ โ โง ๐ถ # 0) โง (๐ท โ โ โง ๐ท # 0))) โ ((๐ด / ๐ถ) ยท (๐ต / ๐ท)) = ((๐ด / ๐ท) ยท (๐ต / ๐ถ))) |
|
Theorem | divmuleqap 8674 |
Cross-multiply in an equality of ratios. (Contributed by Jim Kingdon,
26-Feb-2020.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง ((๐ถ โ โ โง ๐ถ # 0) โง (๐ท โ โ โง ๐ท # 0))) โ ((๐ด / ๐ถ) = (๐ต / ๐ท) โ (๐ด ยท ๐ท) = (๐ต ยท ๐ถ))) |
|
Theorem | recdivap 8675 |
The reciprocal of a ratio. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0)) โ (1 / (๐ด / ๐ต)) = (๐ต / ๐ด)) |
|
Theorem | divcanap6 8676 |
Cancellation of inverted fractions. (Contributed by Jim Kingdon,
26-Feb-2020.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0)) โ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ต / ๐ด)) = 1) |
|
Theorem | divdiv32ap 8677 |
Swap denominators in a division. (Contributed by Jim Kingdon,
26-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0) โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ # 0)) โ ((๐ด / ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) / ๐ต)) |
|
Theorem | divcanap7 8678 |
Cancel equal divisors in a division. (Contributed by Jim Kingdon,
26-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0) โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ # 0)) โ ((๐ด / ๐ถ) / (๐ต / ๐ถ)) = (๐ด / ๐ต)) |
|
Theorem | dmdcanap 8679 |
Cancellation law for division and multiplication. (Contributed by Jim
Kingdon, 26-Feb-2020.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0) โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ด)) = (๐ถ / ๐ต)) |
|
Theorem | divdivap1 8680 |
Division into a fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0) โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ # 0)) โ ((๐ด / ๐ต) / ๐ถ) = (๐ด / (๐ต ยท ๐ถ))) |
|
Theorem | divdivap2 8681 |
Division by a fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0) โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ # 0)) โ (๐ด / (๐ต / ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / ๐ต)) |
|
Theorem | recdivap2 8682 |
Division into a reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0)) โ ((1 / ๐ด) / ๐ต) = (1 / (๐ด ยท ๐ต))) |
|
Theorem | ddcanap 8683 |
Cancellation in a double division. (Contributed by Jim Kingdon,
26-Feb-2020.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต # 0)) โ (๐ด / (๐ด / ๐ต)) = ๐ต) |
|
Theorem | divadddivap 8684 |
Addition of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง ((๐ถ โ โ โง ๐ถ # 0) โง (๐ท โ โ โง ๐ท # 0))) โ ((๐ด / ๐ถ) + (๐ต / ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท))) |
|
Theorem | divsubdivap 8685 |
Subtraction of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง ((๐ถ โ โ โง ๐ถ # 0) โง (๐ท โ โ โง ๐ท # 0))) โ ((๐ด / ๐ถ) โ (๐ต / ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) โ (๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท))) |
|
Theorem | conjmulap 8686 |
Two numbers whose reciprocals sum to 1 are called "conjugates" and
satisfy
this relationship. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
|
โข (((๐ โ โ โง ๐ # 0) โง (๐ โ โ โง ๐ # 0)) โ (((1 / ๐) + (1 / ๐)) = 1 โ ((๐ โ 1) ยท (๐ โ 1)) = 1)) |
|
Theorem | rerecclap 8687 |
Closure law for reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon,
26-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ด # 0) โ (1 / ๐ด) โ โ) |
|
Theorem | redivclap 8688 |
Closure law for division of reals. (Contributed by Jim Kingdon,
26-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต # 0) โ (๐ด / ๐ต) โ โ) |
|
Theorem | eqneg 8689 |
A number equal to its negative is zero. (Contributed by NM, 12-Jul-2005.)
(Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
|
โข (๐ด โ โ โ (๐ด = -๐ด โ ๐ด = 0)) |
|
Theorem | eqnegd 8690 |
A complex number equals its negative iff it is zero. Deduction form of
eqneg 8689. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ)
โ โข (๐ โ (๐ด = -๐ด โ ๐ด = 0)) |
|
Theorem | eqnegad 8691 |
If a complex number equals its own negative, it is zero. One-way
deduction form of eqneg 8689. (Contributed by David Moews,
28-Feb-2017.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ด = -๐ด) โ โข (๐ โ ๐ด = 0) |
|
Theorem | div2negap 8692 |
Quotient of two negatives. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต # 0) โ (-๐ด / -๐ต) = (๐ด / ๐ต)) |
|
Theorem | divneg2ap 8693 |
Move negative sign inside of a division. (Contributed by Jim Kingdon,
27-Feb-2020.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ต # 0) โ -(๐ด / ๐ต) = (๐ด / -๐ต)) |
|
Theorem | recclapzi 8694 |
Closure law for reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon,
27-Feb-2020.)
|
โข ๐ด โ โ
โ โข (๐ด # 0 โ (1 / ๐ด) โ โ) |
|
Theorem | recap0apzi 8695 |
The reciprocal of a number apart from zero is apart from zero.
(Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)
|
โข ๐ด โ โ
โ โข (๐ด # 0 โ (1 / ๐ด) # 0) |
|
Theorem | recidapzi 8696 |
Multiplication of a number and its reciprocal. (Contributed by Jim
Kingdon, 27-Feb-2020.)
|
โข ๐ด โ โ
โ โข (๐ด # 0 โ (๐ด ยท (1 / ๐ด)) = 1) |
|
Theorem | div1i 8697 |
A number divided by 1 is itself. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)
|
โข ๐ด โ โ
โ โข (๐ด / 1) = ๐ด |
|
Theorem | eqnegi 8698 |
A number equal to its negative is zero. (Contributed by NM,
29-May-1999.)
|
โข ๐ด โ โ
โ โข (๐ด = -๐ด โ ๐ด = 0) |
|
Theorem | recclapi 8699 |
Closure law for reciprocal. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ด # 0
โ โข (1 / ๐ด) โ โ |
|
Theorem | recidapi 8700 |
Multiplication of a number and its reciprocal. (Contributed by NM,
9-Feb-1995.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ด # 0
โ โข (๐ด ยท (1 / ๐ด)) = 1 |