HomeHome Intuitionistic Logic Explorer
Theorem List (p. 87 of 149)
< Previous  Next >
Bad symbols? Try the
GIF version.

Mirrors  >  Metamath Home Page  >  ILE Home Page  >  Theorem List Contents  >  Recent Proofs       This page: Page List

Theorem List for Intuitionistic Logic Explorer - 8601-8700   *Has distinct variable group(s)
TypeLabelDescription
Statement
 
Theoremapsub1 8601 Subtraction respects apartness. Analogue of subcan2 8184 for apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jan-2022.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด # ๐ต โ†” (๐ด โˆ’ ๐ถ) # (๐ต โˆ’ ๐ถ)))
 
Theoremsubap0 8602 Two numbers being apart is equivalent to their difference being apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Dec-2022.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) # 0 โ†” ๐ด # ๐ต))
 
Theoremsubap0d 8603 Two numbers apart from each other have difference apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.) (Proof shortened by BJ, 15-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด # ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) # 0)
 
Theoremcnstab 8604 Equality of complex numbers is stable. Stability here means ยฌ ยฌ ๐ด = ๐ต โ†’ ๐ด = ๐ต as defined at df-stab 831. This theorem for real numbers is Proposition 5.2 of [BauerHanson], p. 27. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2023.) (Proof shortened by BJ, 15-Aug-2024.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ STAB ๐ด = ๐ต)
 
Theoremaprcl 8605 Reverse closure for apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2023.)
(๐ด # ๐ต โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
 
Theoremapsscn 8606* The points apart from a given point are complex numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2023.)
{๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆฃ ๐‘ฅ # ๐ต} โІ โ„‚
 
Theoremlt0ap0 8607 A number which is less than zero is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2024.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด # 0)
 
Theoremlt0ap0d 8608 A real number less than zero is apart from zero. Deduction form. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 0)
 
Theoremaptap 8609 Complex apartness (as defined at df-ap 8541) is a tight apartness (as defined at df-tap 7251). (Contributed by Jim Kingdon, 16-Feb-2025.)
# TAp โ„‚
 
4.3.7  Reciprocals
 
Theoremrecextlem1 8610 Lemma for recexap 8612. (Contributed by Eric Schmidt, 23-May-2007.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ (i ยท ๐ต))) = ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)))
 
Theoremrecexaplem2 8611 Lemma for recexap 8612. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) # 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)) # 0)
 
Theoremrecexap 8612* Existence of reciprocal of nonzero complex number. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1)
 
Theoremmulap0 8613 The product of two numbers apart from zero is apart from zero. Lemma 2.15 of [Geuvers], p. 6. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) # 0)
 
Theoremmulap0b 8614 The product of two numbers apart from zero is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด # 0 โˆง ๐ต # 0) โ†” (๐ด ยท ๐ต) # 0))
 
Theoremmulap0i 8615 The product of two numbers apart from zero is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ด # 0    &   ๐ต # 0    โ‡’   (๐ด ยท ๐ต) # 0
 
Theoremmulap0bd 8616 The product of two numbers apart from zero is apart from zero. Exercise 11.11 of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด # 0 โˆง ๐ต # 0) โ†” (๐ด ยท ๐ต) # 0))
 
Theoremmulap0d 8617 The product of two numbers apart from zero is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) # 0)
 
Theoremmulap0bad 8618 A factor of a complex number apart from zero is apart from zero. Partial converse of mulap0d 8617 and consequence of mulap0bd 8616. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 0)
 
Theoremmulap0bbd 8619 A factor of a complex number apart from zero is apart from zero. Partial converse of mulap0d 8617 and consequence of mulap0bd 8616. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)
 
Theoremmulcanapd 8620 Cancellation law for multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ต))
 
Theoremmulcanap2d 8621 Cancellation law for multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ # 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ) โ†” ๐ด = ๐ต))
 
Theoremmulcanapad 8622 Cancellation of a nonzero factor on the left in an equation. One-way deduction form of mulcanapd 8620. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ # 0)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)
 
Theoremmulcanap2ad 8623 Cancellation of a nonzero factor on the right in an equation. One-way deduction form of mulcanap2d 8621. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ # 0)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ๐ต)
 
Theoremmulcanap 8624 Cancellation law for multiplication (full theorem form). (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ต))
 
Theoremmulcanap2 8625 Cancellation law for multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ) โ†” ๐ด = ๐ต))
 
Theoremmulcanapi 8626 Cancellation law for multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    &   ๐ต โˆˆ โ„‚    &   ๐ถ โˆˆ โ„‚    &   ๐ถ # 0    โ‡’   ((๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ต)
 
Theoremmuleqadd 8627 Property of numbers whose product equals their sum. Equation 5 of [Kreyszig] p. 12. (Contributed by NM, 13-Nov-2006.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) = (๐ด + ๐ต) โ†” ((๐ด โˆ’ 1) ยท (๐ต โˆ’ 1)) = 1))
 
Theoremreceuap 8628* Existential uniqueness of reciprocals. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด)
 
Theoremmul0eqap 8629 If two numbers are apart from each other and their product is zero, one of them must be zero. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2023.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด # ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด = 0 โˆจ ๐ต = 0))
 
Theoremrecapb 8630* A complex number has a multiplicative inverse if and only if it is apart from zero. Theorem 11.2.4 of [HoTT], p. (varies), generalized from real to complex numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jan-2025.)
(๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด # 0 โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = 1))
 
4.3.8  Division
 
Syntaxcdiv 8631 Extend class notation to include division.
class /
 
Definitiondf-div 8632* Define division. Theorem divmulap 8634 relates it to multiplication, and divclap 8637 and redivclap 8690 prove its closure laws. (Contributed by NM, 2-Feb-1995.) Use divvalap 8633 instead. (Revised by Mario Carneiro, 1-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
/ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ง โˆˆ โ„‚ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) = ๐‘ฅ))
 
Theoremdivvalap 8633* Value of division: the (unique) element ๐‘ฅ such that (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด. This is meaningful only when ๐ต is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โ†’ (๐ด / ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ต ยท ๐‘ฅ) = ๐ด))
 
Theoremdivmulap 8634 Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) = ๐ต โ†” (๐ถ ยท ๐ต) = ๐ด))
 
Theoremdivmulap2 8635 Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) = ๐ต โ†” ๐ด = (๐ถ ยท ๐ต)))
 
Theoremdivmulap3 8636 Relationship between division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) = ๐ต โ†” ๐ด = (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremdivclap 8637 Closure law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
 
Theoremrecclap 8638 Closure law for reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
 
Theoremdivcanap2 8639 A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โ†’ (๐ต ยท (๐ด / ๐ต)) = ๐ด)
 
Theoremdivcanap1 8640 A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ต) = ๐ด)
 
Theoremdiveqap0 8641 A ratio is zero iff the numerator is zero. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โ†’ ((๐ด / ๐ต) = 0 โ†” ๐ด = 0))
 
Theoremdivap0b 8642 The ratio of numbers apart from zero is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โ†’ (๐ด # 0 โ†” (๐ด / ๐ต) # 0))
 
Theoremdivap0 8643 The ratio of numbers apart from zero is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Feb-2020.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โ†’ (๐ด / ๐ต) # 0)
 
Theoremrecap0 8644 The reciprocal of a number apart from zero is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โ†’ (1 / ๐ด) # 0)
 
Theoremrecidap 8645 Multiplication of a number and its reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โ†’ (๐ด ยท (1 / ๐ด)) = 1)
 
Theoremrecidap2 8646 Multiplication of a number and its reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โ†’ ((1 / ๐ด) ยท ๐ด) = 1)
 
Theoremdivrecap 8647 Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โ†’ (๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต)))
 
Theoremdivrecap2 8648 Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โ†’ (๐ด / ๐ต) = ((1 / ๐ต) ยท ๐ด))
 
Theoremdivassap 8649 An associative law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ถ) = (๐ด ยท (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremdiv23ap 8650 A commutative/associative law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) ยท ๐ต))
 
Theoremdiv32ap 8651 A commutative/associative law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ถ) = (๐ด ยท (๐ถ / ๐ต)))
 
Theoremdiv13ap 8652 A commutative/associative law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ถ / ๐ต) ยท ๐ด))
 
Theoremdiv12ap 8653 A commutative/associative law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0)) โ†’ (๐ด ยท (๐ต / ๐ถ)) = (๐ต ยท (๐ด / ๐ถ)))
 
Theoremdivmulassap 8654 An associative law for division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jan-2022.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0)) โ†’ ((๐ด ยท (๐ต / ๐ท)) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ท)))
 
Theoremdivmulasscomap 8655 An associative/commutative law for division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jan-2022.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0)) โ†’ ((๐ด ยท (๐ต / ๐ท)) ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ((๐ด ยท ๐ถ) / ๐ท)))
 
Theoremdivdirap 8656 Distribution of division over addition. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) + (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremdivcanap3 8657 A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โ†’ ((๐ต ยท ๐ด) / ๐ต) = ๐ด)
 
Theoremdivcanap4 8658 A cancellation law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = ๐ด)
 
Theoremdiv11ap 8659 One-to-one relationship for division. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) = (๐ต / ๐ถ) โ†” ๐ด = ๐ต))
 
Theoremdividap 8660 A number divided by itself is one. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โ†’ (๐ด / ๐ด) = 1)
 
Theoremdiv0ap 8661 Division into zero is zero. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โ†’ (0 / ๐ด) = 0)
 
Theoremdiv1 8662 A number divided by 1 is itself. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด / 1) = ๐ด)
 
Theorem1div1e1 8663 1 divided by 1 is 1 (common case). (Contributed by David A. Wheeler, 7-Dec-2018.)
(1 / 1) = 1
 
Theoremdiveqap1 8664 Equality in terms of unit ratio. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โ†’ ((๐ด / ๐ต) = 1 โ†” ๐ด = ๐ต))
 
Theoremdivnegap 8665 Move negative sign inside of a division. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โ†’ -(๐ด / ๐ต) = (-๐ด / ๐ต))
 
Theoremmuldivdirap 8666 Distribution of division over addition with a multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Nov-2021.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0)) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด) + ๐ต) / ๐ถ) = (๐ด + (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremdivsubdirap 8667 Distribution of division over subtraction. (Contributed by NM, 4-Mar-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0)) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) โˆ’ (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremrecrecap 8668 A number is equal to the reciprocal of its reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โ†’ (1 / (1 / ๐ด)) = ๐ด)
 
Theoremrec11ap 8669 Reciprocal is one-to-one. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โ†’ ((1 / ๐ด) = (1 / ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ต))
 
Theoremrec11rap 8670 Mutual reciprocals. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โ†’ ((1 / ๐ด) = ๐ต โ†” (1 / ๐ต) = ๐ด))
 
Theoremdivmuldivap 8671 Multiplication of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) ยท (๐ต / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ต) / (๐ถ ยท ๐ท)))
 
Theoremdivdivdivap 8672 Division of two ratios. Theorem I.15 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ด / ๐ต) / (๐ถ / ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ท) / (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremdivcanap5 8673 Cancellation of common factor in a ratio. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) / (๐ถ ยท ๐ต)) = (๐ด / ๐ต))
 
Theoremdivmul13ap 8674 Swap the denominators in the product of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) ยท (๐ต / ๐ท)) = ((๐ต / ๐ถ) ยท (๐ด / ๐ท)))
 
Theoremdivmul24ap 8675 Swap the numerators in the product of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) ยท (๐ต / ๐ท)) = ((๐ด / ๐ท) ยท (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremdivmuleqap 8676 Cross-multiply in an equality of ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) = (๐ต / ๐ท) โ†” (๐ด ยท ๐ท) = (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremrecdivap 8677 The reciprocal of a ratio. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โ†’ (1 / (๐ด / ๐ต)) = (๐ต / ๐ด))
 
Theoremdivcanap6 8678 Cancellation of inverted fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ต / ๐ด)) = 1)
 
Theoremdivdiv32ap 8679 Swap denominators in a division. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) / ๐ต))
 
Theoremdivcanap7 8680 Cancel equal divisors in a division. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) / (๐ต / ๐ถ)) = (๐ด / ๐ต))
 
Theoremdmdcanap 8681 Cancellation law for division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ด)) = (๐ถ / ๐ต))
 
Theoremdivdivap1 8682 Division into a fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) / ๐ถ) = (๐ด / (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremdivdivap2 8683 Division by a fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0)) โ†’ (๐ด / (๐ต / ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ถ) / ๐ต))
 
Theoremrecdivap2 8684 Division into a reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โ†’ ((1 / ๐ด) / ๐ต) = (1 / (๐ด ยท ๐ต)))
 
Theoremddcanap 8685 Cancellation in a double division. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0)) โ†’ (๐ด / (๐ด / ๐ต)) = ๐ต)
 
Theoremdivadddivap 8686 Addition of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) + (๐ต / ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) + (๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท)))
 
Theoremdivsubdivap 8687 Subtraction of two ratios. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
(((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท # 0))) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) โˆ’ (๐ต / ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ท) โˆ’ (๐ต ยท ๐ถ)) / (๐ถ ยท ๐ท)))
 
Theoremconjmulap 8688 Two numbers whose reciprocals sum to 1 are called "conjugates" and satisfy this relationship. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
(((๐‘ƒ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ # 0) โˆง (๐‘„ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘„ # 0)) โ†’ (((1 / ๐‘ƒ) + (1 / ๐‘„)) = 1 โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) ยท (๐‘„ โˆ’ 1)) = 1))
 
Theoremrerecclap 8689 Closure law for reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด # 0) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„)
 
Theoremredivclap 8690 Closure law for division of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต # 0) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
 
Theoremeqneg 8691 A number equal to its negative is zero. (Contributed by NM, 12-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด = -๐ด โ†” ๐ด = 0))
 
Theoremeqnegd 8692 A complex number equals its negative iff it is zero. Deduction form of eqneg 8691. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด = -๐ด โ†” ๐ด = 0))
 
Theoremeqnegad 8693 If a complex number equals its own negative, it is zero. One-way deduction form of eqneg 8691. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด = -๐ด)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด = 0)
 
Theoremdiv2negap 8694 Quotient of two negatives. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โ†’ (-๐ด / -๐ต) = (๐ด / ๐ต))
 
Theoremdivneg2ap 8695 Move negative sign inside of a division. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต # 0) โ†’ -(๐ด / ๐ต) = (๐ด / -๐ต))
 
Theoremrecclapzi 8696 Closure law for reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    โ‡’   (๐ด # 0 โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
 
Theoremrecap0apzi 8697 The reciprocal of a number apart from zero is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    โ‡’   (๐ด # 0 โ†’ (1 / ๐ด) # 0)
 
Theoremrecidapzi 8698 Multiplication of a number and its reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2020.)
๐ด โˆˆ โ„‚    โ‡’   (๐ด # 0 โ†’ (๐ด ยท (1 / ๐ด)) = 1)
 
Theoremdiv1i 8699 A number divided by 1 is itself. (Contributed by NM, 9-Jan-2002.)
๐ด โˆˆ โ„‚    โ‡’   (๐ด / 1) = ๐ด
 
Theoremeqnegi 8700 A number equal to its negative is zero. (Contributed by NM, 29-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„‚    โ‡’   (๐ด = -๐ด โ†” ๐ด = 0)
    < Previous  Next >

Page List
Jump to page: Contents  1 1-100 2 101-200 3 201-300 4 301-400 5 401-500 6 501-600 7 601-700 8 701-800 9 801-900 10 901-1000 11 1001-1100 12 1101-1200 13 1201-1300 14 1301-1400 15 1401-1500 16 1501-1600 17 1601-1700 18 1701-1800 19 1801-1900 20 1901-2000 21 2001-2100 22 2101-2200 23 2201-2300 24 2301-2400 25 2401-2500 26 2501-2600 27 2601-2700 28 2701-2800 29 2801-2900 30 2901-3000 31 3001-3100 32 3101-3200 33 3201-3300 34 3301-3400 35 3401-3500 36 3501-3600 37 3601-3700 38 3701-3800 39 3801-3900 40 3901-4000 41 4001-4100 42 4101-4200 43 4201-4300 44 4301-4400 45 4401-4500 46 4501-4600 47 4601-4700 48 4701-4800 49 4801-4900 50 4901-5000 51 5001-5100 52 5101-5200 53 5201-5300 54 5301-5400 55 5401-5500 56 5501-5600 57 5601-5700 58 5701-5800 59 5801-5900 60 5901-6000 61 6001-6100 62 6101-6200 63 6201-6300 64 6301-6400 65 6401-6500 66 6501-6600 67 6601-6700 68 6701-6800 69 6801-6900 70 6901-7000 71 7001-7100 72 7101-7200 73 7201-7300 74 7301-7400 75 7401-7500 76 7501-7600 77 7601-7700 78 7701-7800 79 7801-7900 80 7901-8000 81 8001-8100 82 8101-8200 83 8201-8300 84 8301-8400 85 8401-8500 86 8501-8600 87 8601-8700 88 8701-8800 89 8801-8900 90 8901-9000 91 9001-9100 92 9101-9200 93 9201-9300 94 9301-9400 95 9401-9500 96 9501-9600 97 9601-9700 98 9701-9800 99 9801-9900 100 9901-10000 101 10001-10100 102 10101-10200 103 10201-10300 104 10301-10400 105 10401-10500 106 10501-10600 107 10601-10700 108 10701-10800 109 10801-10900 110 10901-11000 111 11001-11100 112 11101-11200 113 11201-11300 114 11301-11400 115 11401-11500 116 11501-11600 117 11601-11700 118 11701-11800 119 11801-11900 120 11901-12000 121 12001-12100 122 12101-12200 123 12201-12300 124 12301-12400 125 12401-12500 126 12501-12600 127 12601-12700 128 12701-12800 129 12801-12900 130 12901-13000 131 13001-13100 132 13101-13200 133 13201-13300 134 13301-13400 135 13401-13500 136 13501-13600 137 13601-13700 138 13701-13800 139 13801-13900 140 13901-14000 141 14001-14100 142 14101-14200 143 14201-14300 144 14301-14400 145 14401-14500 146 14501-14600 147 14601-14700 148 14701-14800 149 14801-14871
  Copyright terms: Public domain < Previous  Next >