Theorem inelr 8858

Description: The imaginary unit i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ine0 8667	. . 3 ⊢ i ≠ 0
2	1	neii 2414	. 2 ⊢ ¬ i = 0
3		0lt1 8400	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
4		0re 8274	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 8273	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
6	4, 5	ltnsymi 8373	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ¬ 1 < 0
8		ixi 8857	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) = -1
9	5	renegcli 8535	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
10	8, 9	eqeltri 2305	. . . . . . 7 ⊢ (i · i) ∈ ℝ
11	4, 10, 5	ltadd1i 8776	. . . . . 6 ⊢ (0 < (i · i) ↔ (0 + 1) < ((i · i) + 1))
12		ax-1cn 8220	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	addlidi 8416	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
14		ax-i2m1 8232	. . . . . . 7 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
15	13, 14	breq12i 4118	. . . . . 6 ⊢ ((0 + 1) < ((i · i) + 1) ↔ 1 < 0)
16	11, 15	bitri 184	. . . . 5 ⊢ (0 < (i · i) ↔ 1 < 0)
17	7, 16	mtbir 678	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < (i · i)
18		mullt0 8754	. . . . . 6 ⊢ (((i ∈ ℝ ∧ i < 0) ∧ (i ∈ ℝ ∧ i < 0)) → 0 < (i · i))
19	18	anidms 397	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ i < 0) → 0 < (i · i))
20	19	ex 115	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 → 0 < (i · i)))
21	17, 20	mtoi 670	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ i < 0)
22		mulgt0 8348	. . . . . 6 ⊢ (((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) ∧ (i ∈ ℝ ∧ 0 < i)) → 0 < (i · i))
23	22	anidms 397	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (i · i))
24	23	ex 115	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < i → 0 < (i · i)))
25	17, 24	mtoi 670	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ 0 < i)
26		lttri3 8353	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (i = 0 ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ 0 < i)))
27	4, 26	mpan2 425	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → (i = 0 ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ 0 < i)))
28	21, 25, 27	mpbir2and 953	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → i = 0)
29	2, 28	mto 668	1 ⊢ ¬ i ∈ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050  ℝcr 8126  0cc0 8127  1c1 8128  ici 8129   + caddc 8130   · cmul 8132   < clt 8308  -cneg 8445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-sub 8446  df-neg 8447

This theorem is referenced by:  rimul  8859