ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  inelr GIF version

Theorem inelr 8528
Description: The imaginary unit i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
inelr ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem inelr
StepHypRef Expression
1 ine0 8338 . . 3 i ≠ 0
21neii 2349 . 2 ¬ i = 0
3 0lt1 8071 . . . . . 6 0 < 1
4 0re 7945 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
5 1re 7944 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
64, 5ltnsymi 8044 . . . . . 6 (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
73, 6ax-mp 5 . . . . 5 ¬ 1 < 0
8 ixi 8527 . . . . . . . 8 (i · i) = -1
95renegcli 8206 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
108, 9eqeltri 2250 . . . . . . 7 (i · i) ∈ ℝ
114, 10, 5ltadd1i 8446 . . . . . 6 (0 < (i · i) ↔ (0 + 1) < ((i · i) + 1))
12 ax-1cn 7892 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
1312addid2i 8087 . . . . . . 7 (0 + 1) = 1
14 ax-i2m1 7904 . . . . . . 7 ((i · i) + 1) = 0
1513, 14breq12i 4009 . . . . . 6 ((0 + 1) < ((i · i) + 1) ↔ 1 < 0)
1611, 15bitri 184 . . . . 5 (0 < (i · i) ↔ 1 < 0)
177, 16mtbir 671 . . . 4 ¬ 0 < (i · i)
18 mullt0 8424 . . . . . 6 (((i ∈ ℝ ∧ i < 0) ∧ (i ∈ ℝ ∧ i < 0)) → 0 < (i · i))
1918anidms 397 . . . . 5 ((i ∈ ℝ ∧ i < 0) → 0 < (i · i))
2019ex 115 . . . 4 (i ∈ ℝ → (i < 0 → 0 < (i · i)))
2117, 20mtoi 664 . . 3 (i ∈ ℝ → ¬ i < 0)
22 mulgt0 8019 . . . . . 6 (((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) ∧ (i ∈ ℝ ∧ 0 < i)) → 0 < (i · i))
2322anidms 397 . . . . 5 ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (i · i))
2423ex 115 . . . 4 (i ∈ ℝ → (0 < i → 0 < (i · i)))
2517, 24mtoi 664 . . 3 (i ∈ ℝ → ¬ 0 < i)
26 lttri3 8024 . . . 4 ((i ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (i = 0 ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ 0 < i)))
274, 26mpan2 425 . . 3 (i ∈ ℝ → (i = 0 ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ 0 < i)))
2821, 25, 27mpbir2and 944 . 2 (i ∈ ℝ → i = 0)
292, 28mto 662 1 ¬ i ∈ ℝ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  cr 7798  0cc0 7799  1c1 7800  ici 7801   + caddc 7802   · cmul 7804   < clt 7979  -cneg 8116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-mulrcl 7898  ax-addcom 7899  ax-mulcom 7900  ax-addass 7901  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-apti 7914  ax-pre-ltadd 7915  ax-pre-mulgt0 7916
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-ltxr 7984  df-sub 8117  df-neg 8118
This theorem is referenced by:  rimul  8529
  Copyright terms: Public domain W3C validator