Theorem inelr 8754

Description: The imaginary unit i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ine0 8563	. . 3 ⊢ i ≠ 0
2	1	neii 2402	. 2 ⊢ ¬ i = 0
3		0lt1 8296	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
4		0re 8169	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 8168	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
6	4, 5	ltnsymi 8269	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ¬ 1 < 0
8		ixi 8753	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) = -1
9	5	renegcli 8431	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
10	8, 9	eqeltri 2302	. . . . . . 7 ⊢ (i · i) ∈ ℝ
11	4, 10, 5	ltadd1i 8672	. . . . . 6 ⊢ (0 < (i · i) ↔ (0 + 1) < ((i · i) + 1))
12		ax-1cn 8115	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	addlidi 8312	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
14		ax-i2m1 8127	. . . . . . 7 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
15	13, 14	breq12i 4095	. . . . . 6 ⊢ ((0 + 1) < ((i · i) + 1) ↔ 1 < 0)
16	11, 15	bitri 184	. . . . 5 ⊢ (0 < (i · i) ↔ 1 < 0)
17	7, 16	mtbir 675	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < (i · i)
18		mullt0 8650	. . . . . 6 ⊢ (((i ∈ ℝ ∧ i < 0) ∧ (i ∈ ℝ ∧ i < 0)) → 0 < (i · i))
19	18	anidms 397	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ i < 0) → 0 < (i · i))
20	19	ex 115	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 → 0 < (i · i)))
21	17, 20	mtoi 668	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ i < 0)
22		mulgt0 8244	. . . . . 6 ⊢ (((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) ∧ (i ∈ ℝ ∧ 0 < i)) → 0 < (i · i))
23	22	anidms 397	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (i · i))
24	23	ex 115	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < i → 0 < (i · i)))
25	17, 24	mtoi 668	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ 0 < i)
26		lttri3 8249	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (i = 0 ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ 0 < i)))
27	4, 26	mpan2 425	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → (i = 0 ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ 0 < i)))
28	21, 25, 27	mpbir2and 950	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → i = 0)
29	2, 28	mto 666	1 ⊢ ¬ i ∈ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  ℝcr 8021  0cc0 8022  1c1 8023  ici 8024   + caddc 8025   · cmul 8027   < clt 8204  -cneg 8341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-sub 8342  df-neg 8343

This theorem is referenced by:  rimul  8755