Theorem inelr 8764

Description: The imaginary unit i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ine0 8573	. . 3 ⊢ i ≠ 0
2	1	neii 2404	. 2 ⊢ ¬ i = 0
3		0lt1 8306	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
4		0re 8179	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 8178	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
6	4, 5	ltnsymi 8279	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
7	3, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ¬ 1 < 0
8		ixi 8763	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) = -1
9	5	renegcli 8441	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
10	8, 9	eqeltri 2304	. . . . . . 7 ⊢ (i · i) ∈ ℝ
11	4, 10, 5	ltadd1i 8682	. . . . . 6 ⊢ (0 < (i · i) ↔ (0 + 1) < ((i · i) + 1))
12		ax-1cn 8125	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
13	12	addlidi 8322	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
14		ax-i2m1 8137	. . . . . . 7 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
15	13, 14	breq12i 4097	. . . . . 6 ⊢ ((0 + 1) < ((i · i) + 1) ↔ 1 < 0)
16	11, 15	bitri 184	. . . . 5 ⊢ (0 < (i · i) ↔ 1 < 0)
17	7, 16	mtbir 677	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < (i · i)
18		mullt0 8660	. . . . . 6 ⊢ (((i ∈ ℝ ∧ i < 0) ∧ (i ∈ ℝ ∧ i < 0)) → 0 < (i · i))
19	18	anidms 397	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ i < 0) → 0 < (i · i))
20	19	ex 115	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 → 0 < (i · i)))
21	17, 20	mtoi 670	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ i < 0)
22		mulgt0 8254	. . . . . 6 ⊢ (((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) ∧ (i ∈ ℝ ∧ 0 < i)) → 0 < (i · i))
23	22	anidms 397	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (i · i))
24	23	ex 115	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < i → 0 < (i · i)))
25	17, 24	mtoi 670	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ 0 < i)
26		lttri3 8259	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (i = 0 ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ 0 < i)))
27	4, 26	mpan2 425	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → (i = 0 ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ 0 < i)))
28	21, 25, 27	mpbir2and 952	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → i = 0)
29	2, 28	mto 668	1 ⊢ ¬ i ∈ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  ℝcr 8031  0cc0 8032  1c1 8033  ici 8034   + caddc 8035   · cmul 8037   < clt 8214  -cneg 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-sub 8352  df-neg 8353

This theorem is referenced by:  rimul  8765