ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  inelr GIF version

Theorem inelr 8258
Description: The imaginary unit i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
inelr ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem inelr
StepHypRef Expression
1 ine0 8069 . . 3 i ≠ 0
21neii 2282 . 2 ¬ i = 0
3 0lt1 7806 . . . . . 6 0 < 1
4 0re 7684 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
5 1re 7683 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
64, 5ltnsymi 7780 . . . . . 6 (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
73, 6ax-mp 7 . . . . 5 ¬ 1 < 0
8 ixi 8257 . . . . . . . 8 (i · i) = -1
95renegcli 7941 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
108, 9eqeltri 2185 . . . . . . 7 (i · i) ∈ ℝ
114, 10, 5ltadd1i 8177 . . . . . 6 (0 < (i · i) ↔ (0 + 1) < ((i · i) + 1))
12 ax-1cn 7632 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
1312addid2i 7822 . . . . . . 7 (0 + 1) = 1
14 ax-i2m1 7644 . . . . . . 7 ((i · i) + 1) = 0
1513, 14breq12i 3902 . . . . . 6 ((0 + 1) < ((i · i) + 1) ↔ 1 < 0)
1611, 15bitri 183 . . . . 5 (0 < (i · i) ↔ 1 < 0)
177, 16mtbir 643 . . . 4 ¬ 0 < (i · i)
18 mullt0 8155 . . . . . 6 (((i ∈ ℝ ∧ i < 0) ∧ (i ∈ ℝ ∧ i < 0)) → 0 < (i · i))
1918anidms 392 . . . . 5 ((i ∈ ℝ ∧ i < 0) → 0 < (i · i))
2019ex 114 . . . 4 (i ∈ ℝ → (i < 0 → 0 < (i · i)))
2117, 20mtoi 636 . . 3 (i ∈ ℝ → ¬ i < 0)
22 mulgt0 7756 . . . . . 6 (((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) ∧ (i ∈ ℝ ∧ 0 < i)) → 0 < (i · i))
2322anidms 392 . . . . 5 ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (i · i))
2423ex 114 . . . 4 (i ∈ ℝ → (0 < i → 0 < (i · i)))
2517, 24mtoi 636 . . 3 (i ∈ ℝ → ¬ 0 < i)
26 lttri3 7761 . . . 4 ((i ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (i = 0 ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ 0 < i)))
274, 26mpan2 419 . . 3 (i ∈ ℝ → (i = 0 ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ 0 < i)))
2821, 25, 27mpbir2and 909 . 2 (i ∈ ℝ → i = 0)
292, 28mto 634 1 ¬ i ∈ ℝ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 103  wb 104   = wceq 1312  wcel 1461   class class class wbr 3893  (class class class)co 5726  cr 7540  0cc0 7541  1c1 7542  ici 7543   + caddc 7544   · cmul 7546   < clt 7718  -cneg 7851
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-ltxr 7723  df-sub 7852  df-neg 7853
This theorem is referenced by:  rimul  8259
  Copyright terms: Public domain W3C validator