ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  inelr GIF version

Theorem inelr 8566
Description: The imaginary unit i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
inelr ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem inelr
StepHypRef Expression
1 ine0 8376 . . 3 i ≠ 0
21neii 2362 . 2 ¬ i = 0
3 0lt1 8109 . . . . . 6 0 < 1
4 0re 7982 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
5 1re 7981 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
64, 5ltnsymi 8082 . . . . . 6 (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
73, 6ax-mp 5 . . . . 5 ¬ 1 < 0
8 ixi 8565 . . . . . . . 8 (i · i) = -1
95renegcli 8244 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
108, 9eqeltri 2262 . . . . . . 7 (i · i) ∈ ℝ
114, 10, 5ltadd1i 8484 . . . . . 6 (0 < (i · i) ↔ (0 + 1) < ((i · i) + 1))
12 ax-1cn 7929 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
1312addid2i 8125 . . . . . . 7 (0 + 1) = 1
14 ax-i2m1 7941 . . . . . . 7 ((i · i) + 1) = 0
1513, 14breq12i 4027 . . . . . 6 ((0 + 1) < ((i · i) + 1) ↔ 1 < 0)
1611, 15bitri 184 . . . . 5 (0 < (i · i) ↔ 1 < 0)
177, 16mtbir 672 . . . 4 ¬ 0 < (i · i)
18 mullt0 8462 . . . . . 6 (((i ∈ ℝ ∧ i < 0) ∧ (i ∈ ℝ ∧ i < 0)) → 0 < (i · i))
1918anidms 397 . . . . 5 ((i ∈ ℝ ∧ i < 0) → 0 < (i · i))
2019ex 115 . . . 4 (i ∈ ℝ → (i < 0 → 0 < (i · i)))
2117, 20mtoi 665 . . 3 (i ∈ ℝ → ¬ i < 0)
22 mulgt0 8057 . . . . . 6 (((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) ∧ (i ∈ ℝ ∧ 0 < i)) → 0 < (i · i))
2322anidms 397 . . . . 5 ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (i · i))
2423ex 115 . . . 4 (i ∈ ℝ → (0 < i → 0 < (i · i)))
2517, 24mtoi 665 . . 3 (i ∈ ℝ → ¬ 0 < i)
26 lttri3 8062 . . . 4 ((i ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (i = 0 ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ 0 < i)))
274, 26mpan2 425 . . 3 (i ∈ ℝ → (i = 0 ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ 0 < i)))
2821, 25, 27mpbir2and 946 . 2 (i ∈ ℝ → i = 0)
292, 28mto 663 1 ¬ i ∈ ℝ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5892  cr 7835  0cc0 7836  1c1 7837  ici 7838   + caddc 7839   · cmul 7841   < clt 8017  -cneg 8154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-mulrcl 7935  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952  ax-pre-mulgt0 7953
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-ltxr 8022  df-sub 8155  df-neg 8156
This theorem is referenced by:  rimul  8567
  Copyright terms: Public domain W3C validator