ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  inelr GIF version

Theorem inelr 8037
Description: The imaginary unit i is not a real number. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
inelr ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem inelr
StepHypRef Expression
1 ine0 7851 . . 3 i ≠ 0
21neii 2257 . 2 ¬ i = 0
3 0lt1 7589 . . . . . 6 0 < 1
4 0re 7467 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
5 1re 7466 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
64, 5ltnsymi 7563 . . . . . 6 (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
73, 6ax-mp 7 . . . . 5 ¬ 1 < 0
8 ixi 8036 . . . . . . . 8 (i · i) = -1
95renegcli 7723 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
108, 9eqeltri 2160 . . . . . . 7 (i · i) ∈ ℝ
114, 10, 5ltadd1i 7956 . . . . . 6 (0 < (i · i) ↔ (0 + 1) < ((i · i) + 1))
12 ax-1cn 7417 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
1312addid2i 7604 . . . . . . 7 (0 + 1) = 1
14 ax-i2m1 7429 . . . . . . 7 ((i · i) + 1) = 0
1513, 14breq12i 3846 . . . . . 6 ((0 + 1) < ((i · i) + 1) ↔ 1 < 0)
1611, 15bitri 182 . . . . 5 (0 < (i · i) ↔ 1 < 0)
177, 16mtbir 631 . . . 4 ¬ 0 < (i · i)
18 mullt0 7937 . . . . . 6 (((i ∈ ℝ ∧ i < 0) ∧ (i ∈ ℝ ∧ i < 0)) → 0 < (i · i))
1918anidms 389 . . . . 5 ((i ∈ ℝ ∧ i < 0) → 0 < (i · i))
2019ex 113 . . . 4 (i ∈ ℝ → (i < 0 → 0 < (i · i)))
2117, 20mtoi 625 . . 3 (i ∈ ℝ → ¬ i < 0)
22 mulgt0 7539 . . . . . 6 (((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) ∧ (i ∈ ℝ ∧ 0 < i)) → 0 < (i · i))
2322anidms 389 . . . . 5 ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (i · i))
2423ex 113 . . . 4 (i ∈ ℝ → (0 < i → 0 < (i · i)))
2517, 24mtoi 625 . . 3 (i ∈ ℝ → ¬ 0 < i)
26 lttri3 7544 . . . 4 ((i ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (i = 0 ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ 0 < i)))
274, 26mpan2 416 . . 3 (i ∈ ℝ → (i = 0 ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ 0 < i)))
2821, 25, 27mpbir2and 890 . 2 (i ∈ ℝ → i = 0)
292, 28mto 623 1 ¬ i ∈ ℝ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634  cr 7328  0cc0 7329  1c1 7330  ici 7331   + caddc 7332   · cmul 7334   < clt 7501  -cneg 7633
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-ltxr 7506  df-sub 7634  df-neg 7635
This theorem is referenced by:  rimul  8038
  Copyright terms: Public domain W3C validator